FUNCTIONALE LINIARE; BILINIARE; FORME PATRATICE

FUNCTIONALE LINIARE; BILINIARE; FORME PATRATICE

Functionale liniare, functionale biliniare, forme patratice

Fie X/K spatiu vectorial

Definitie Se numeste functionala o functie .

Definitie O functionala se numeste liniara daca

Exemplu:

Definitie Multimea se numeste spatiul dual al lui X.

Observatie Cum K este spatiu vectorial peste corpul K o functionala liniara este de fapt un operator liniar.

Fie X/K, Y/K doua spatii liniare peste acelasi corp K.

Definitie Functionala se numeste functionala biliniara daca este liniara in ambele argumente, adica:

si analog pentru variabila de pe pozitia a II-a, sau, echivalent cu cele 4 conditii din definitie:

Exemple:

Matricea functionalei biliniare in bazele E si G

Fie o baza in X, o baza in Y.

Pentru

Fie

Definitie Matricea se numeste matricea functionalei biliniare in bazele E si G.

Deci

Modificarea matricii unei functionale biliniare la schimbarea bazelor

In X presupunem trecerea de la E la baza cu matricea

In Y analog de la G la baza cu matricea

=

=. Deci iar

Daca X=Y si E=G, H=L rezulta

Definitie O functionala biliniara se numeste simetrica daca

Propozitie f este o functionala biliniara simetrica daca si numai daca matricea ei intr-o baza a lui X este simetrica i.e. .

Observatie: Cu orice functionala biliniara se poate defini o functionala biliniara simetrica

Fie o functionala biliniara simetrica.

Definitie Se numeste functionala patratica (forma patratica) restrictia unei functionale biliniare simetrice la diagonala produsului cartezian, D.

Daca baza a lui X si , functionala patratica devine:

este matricea atasata functionalei patratice V in baza E.

Functionala biliniara din care provine V, se numeste functionala polara a formei patratice V. Ea se obtine astfel:

deci

Modificarea matricii unei functionale patratice la schimbarea bazei se face analog cu cea a unei functionale biliniare.

Fie baza E G

matricea atasata lui V in baza G

Definitie Despre o forma patratica spunem ca are expresia canonica daca sau matricea atasata ei are forma diagonala:

Baza in care are loc aceasta scriere se numeste o baza canonica pentru functionala V.

Aducerea la expresia canonica a unei forme patratice; procedee(metoda Gauss, Jacobi, vectorilor proprii);

Metoda Gauss

Pentru orice forma patratica exista o baza canonica G in care forma ei este cu . Fie exemplele:

a) Cazul

b) Cazul Fie forma patratica Atunci cu transformarea

;

cu transformarea:.

2) Metoda Jacobi

Teorema Daca in baza E forma patratica V are matricea cu

atunci exista o baza G in care forma patratica are expresia canonica data de:

cu