Factorialitatea inelelor de polinoame.
Propozitia 5.1. Fie a A si f = a0 + a1X + a2X + ... + anX A[X] .
Daca a divide f , atunci a|ai , oricare ar fi i=0,1,2,....,n.
Demonstratie.
Cum a|f , exista g=b0 + b1X + b2X + ... +bmX , astfel incit
f = ag = ab0+ab1X+ab2X+...+abmX. Evident ca daca f=0, atunci ai = 0 si deci a|ai , oricare ar fi i. 22522f54w Putem presupune ca f 0 si , in acest caz , avem m=n si ai=abi adica a|ai
Propozitia 5.2. Fie A un domeniu de integritate. Daca p A este element
prim in A, atunci p este element prim in A[x].
Demonstratie.
Fie f, g A[x] astfel incit p|fg. Presupunem ca f=a0+a1X+...+anX si g=b0+b1X+b2X+...+bmX si ca p nu divide nici pe f si nici pe g, rezulta ca exista un an astfel incit p sa nu divida pe an . Alegem pe k cel mai mic numar cu aceasta proprietate. Deci p|a0, p|a1, ... ,p|an-1 si p nu divide pe ak
Analog , deoarece p nu divide pe g, exista un l a.i. p|b0 , p|b1 , .... , p|bl-1 dar p nu divide pe bl
Coeficientul lui x din produsul fg este elementul
Ck+1= a0bk+l + a1bk+l-1 + a2bk+l-2 + ... + akbl + ak+lb0.
Deoarece p|aibi , cu i k si j l si p nu divide akbl , rezulta ca p nu divide Ck+1 si, deci , p nu divide fg, contradictie.
Deci trebuie ca p|f sau p|g . Presupunem acum ca inelul A este factorial si fie f= a0+a1X+...+anX un polinim din A[x]. Vom nota cu c(f) c.m.m.d.c. al elementelor a0,a1,a2,...,an. Elementul c(f) se numeste continutul polinomului f.
Daca c(f) =1 , atunci polinomul se numeste primitiv.
Exemplu.
f=17X+7X+5X+3 Z[x] ; c(f)=(17,7,5,3,)=1
Orice polinom f A[x] se scrie sub forma c(f)·f ` , unde f ` este primitiv.
Exemplu.
f=21x+18x+33x+18x+6 Z[x] , c(f)=3 , f `= 7x+6x+11x+6x+2
Propozitia 5.3. (Gauss) Daca A este un inel factorial si f,g A[x], atunci
c(fg)=c(f)·c(g).
Demonstratie
Cum f=c(f)·f ` si g = c(g)·g` , unde f ` si g` sint polinoame primitive, obtinem fg= c(f)·c(g)·(f `g`) si , deci , c(fg)=c(f)·c(g)· c(f `g`). Deci trebuie probat ca c(f `g`) =1 . Presupunem c(f `g`) 1. Deci exista p A element prim astfel incit p|c(f `g`) . Deci p|f `g` si, conform proprietatii 5.2., rezulta p|f ` sau p|g`. Conform proprietatii 5.1. rezulta ca p|c(f `) sau p|c(g`) , contradictie deoarece f ` si g` sint primitive.
Propozitia 5.4. Fie A inel factorial si f.g A[x] , unde g este un polinom primitiv . Daca a A , a 0 si g|af atunci g|f.
Demonstratie. Din g|af avem af=gh, unde h A[x] . Din propozitia 5.3. obtinem:
ac(f)=c(g)·c(h) . Dar g primitiv c(g)=1 ac(f)=c(h). Cum h=c(h)·h` cu h` primitiv h=ac(f)·h` af = gac(f)·h`si simplificind cu a, avem f=c(f)·gh` si, deci, g|h.
Notam cu k corpul de fractii al domeniului de integritate A.
Propozitia 5.5. Fie A un inel factorial cu corpul de fractii K si f,g A[x] doua polinoame primitive. Atunci f si g sint asociate in A[x] daca si numai daca sint asociate in inelul K[x]
Demonstratie.
Evident ca daca f si g sint asociate in A[x], sint asociate si in K[x]. Invers,
presupunem ca f si g sint asociate in K[x] . Deci exista n K[x], element inversabil, astfel incit g=fn. Cum n K[x], atunci putem scrie ca n=a/b , cu a,b A si a 0, b 0. Deci bg=af. Aplicind propozitia 5.4. obtinem ca f|g si g|f, adica f si g sint asociate in divizibilitate in inelul A[x].
Propozitia 5.6. Fie A un inel factorial si k corpul sau de fractii. Fie f A[x] un polinom primitiv cu grad(f)>= 1. Atunci f este ireductibil in A[x], daca si numai daca f este ireductibil in K[x].
Demonstratie.
Presupunem ca f este ireductibil in A[x] si fie f=gh , unde g K[x] , h K[x], si grad(g)>=1 , grad(h)>=1. Evident ca putem scrie g=(a/b )·g1 , unde a,b A, (a,b)=1 si g A[x]. Analog h=(c/d)·h1 , unde c,d A, (c,d)=1 si h1 A[x]. In plus, grad(g)=grad(g1) si grad(h)=grad(h1). Deci f=(ac/bd)·g1h1. Cum g1=c(g1)·g1` si h1=c(h1)·h1`, unde h1` si g1` sint polinoame primitive , obtinem ca f=ng1`h1` , unde n este un element inversabil din K . Deci f si g1`h1` sint asociate in K[x].
Conform propozitiei 5.5., rezulta ca f si g1`h1` sint asociate in A[x] , adica f=vg1`h1` , unde v U(A). Cum gradul lui g1`>=1 si gradul lui h1`>=`1 , rezulta ca f nu este ireductibil in A[x] , contradictie. Invers , presupunem ca f este ireductibil in K[x] si ca f=gh, cu g,h A[x] . Cum f este ireductibil in K[x] , rezulta ca g este inversabil sau h este inversabil in K[x]. Daca g este inversabil in K[x] , rezulta ca g K, dar g A[x] g=a A. Prin urmare , f=ah cu a A, h A[x]. Cum f este primitiv , rezulta ca este inversabil in A. Deci f este ireductibil in A[x].
Rezultatul principal al acestui paragraf este :
Teorema 5.7. (Gauss) Daca A este inel factorial, atunci inelul A[x] este factorial.
Demonstratie.
Fie f A[x] . Putem scrie f=c(f)·f0, unde f0 este un polinom primitiv. Cum f0 K[x] , iar K[x] este inel factorial (fiind euclidian) , rezulta ca f0=f1f2f3...fn , unde f1,f2,f3,...,fn K[x] si sint polinoame ireductibile. Putem scrie , evident pentru fi , fi=(ai/bi)·gi, unde ai, bi A si gi A[x] este un polinom primitiv. Comform propozitiei 5.6. rezulta ca gi este ireductibil in A[x]. Rezulta ca f0 se scrie sub forma f0=(a/b)g1g2g3...gn, unde a,b A. Cum f0 este primitiv si produsul g1g2g...gn este un polinom primitiv , din propozitia 5.5 rezulta ca f0=ng1g2...gn , unde n U(A) . Cum c(f) este un produs finit de elemente prime din A , care sint prime si in A[x] , conform propozitiei 5.2 rezulta ca f este un produs finit de elemente ireductibile in A[x].
Vom demonstra unicitatea scrierii lui f ca produs de elemente ireductibile in A[x].
Intradevar, sa presupunem ca avem egalitatea f=f1f2f3...fn =g1g2g3...gm , unde fi si gi A[x] si sint elemnte ireductibile in A[x]. Daca grad(fi)>=1 , atunci evident c(fi)=1 , iar daca grad(gi)>=1 pentru r+1<= i <= m c(gi)=1.
Acum f=f1f2f3...fsfs+1...fn=g1g2g3...grgr+1...gm f1...fs si g1...gr sint asociate in divisibilitate in A cu f1,f2,..., fs,g1,g2,..., gr A ireductibile.
Cum A este factorial , rezulta ca r=s si abstractie facind de o renumerotare , avem gi~fi , (") 1<= i <= s.
Din egalitatea de mai sus rezulta ca fs+1,...,fn =gr+1,...,gn. Din propozitia 5.6. aceasta egalitate gasita in inelul K[x] implica m=n si gk~fk in K[x] , oricare ar fi k=s+1,...,n.
Aplicind, din nou, propozitia 5.5. , obtinem gk~fk in A[x] , oricare ar fi k=s+1,...,n . Cu aceasta s-a demonstrat si unicitatea lui f ca produs de elemente ireductibile in A[x].
Corolar 5.8. Daca A este un inel factorial , atunci inelul de polinoame in
variabilele X1,X2,.....,Xn , cu coeficienti in A este factorial. In particular , orice inel de polinoame de n nedeterminate , cu coeficienti intr-un corp, este factorial.
Demonstratie.
Se procedeaza prin inductie dupa n. Daca n=1 , atunci se aplica teorema. Presupunem afirmatia adevarata pentru n-1 . Deci inelul A[x1,x2,...,xn-1] este factorial . Cum A[x1,x2,...,xn]=A[x1,x2,...,xn-1][xn] aplicind din nou teorema precedenta, obtinem afirmatia noastra.
Exemple.
De mai sus avem ca inelele de polinoame Z[x1,x2,...,xn], n>=1 si K[x1,x2,....,xm] , K-corp , n>=2, sint factoriale , dar nu sint principale si nici euclidiene dupa cum rezulta din propozitia 3.2. Acest fapt este important in clasificarea din punct de vedere aritmetic a inelelor de polinoame a caror aritmetica se studieaza in scoala si anume : inelele de polinoame euclidiene si inele de polinoame factoriale care nu sint euclidiene.
|
