1.12. Formula integrala a divergentei
Divergenta vectorului 
este egala cu fluxul vectorului prin suprafata
unui volum elementar care înconjoara punctul considerat raportat la
unitatea de volum.
(1.118)
Fluxul unui vector printr-o suprafata închisa este egal cu integrala de volum din divergenta vectorului
(1.119)
Consideram câmpul vitezelor unui fluid real incompresibil. În acest caz, volumul fluidului care trece printr-o anumita suprafata va fi întotdeauna ega 646c27g l cu volumul fluidului care intra, fluxul total fiind nul, de aceea
(1.120)
Ecuatia de mai sus se numeste în hidrodinamica ecuatia de continuitate a unui fluid incompresibil. Aceste câmpuri se numesc câmpuri fara izvoare, solenoidale sau tubulare.
1.13. Potential scalar
Orice vector, functie de un punct M, al carui rotor este identic nul, poate fi considerat ca gradientul unei functii scalare de punctul M.
Fie 
un vector astfel incat
rot 
= 0.
Rezulta,
deci, ca daca rot = 0, atunci se poate gasi o functie
astfel încât
; 
(1.121)
Reciproc, daca
; (1.122)
atunci rot = 0.
Conditia
necesara si suficienta pentru ca un câmp de vectori sa fie
gradientul unui scalar f este ca rotorul vectorului sa fie nul. Daca
functia f este uniforma, se spune ca vectorul provine dintr-un
potential scalar V care, prin conventie, este egal cu - f. Egalitatea
= grad V si exprersia div(grad f) = Δf,
conduc la relatia:
div = -ΔV (1.123)
Se spune ca un astfel de câmp de vectori este newtonian, lamelar sau irotational.
Aceste denumiri ne spun ca si câmpul atractiei universale este de acest tip. Câmpul electric se determina dintr-un potential scalar.
1.14. Potential vector
Orice vector care este functie de un punct M si a carui divergenta este identic nula, poate fi considerat ca rotorul unui vector.
Fie
vectorul . Prin ipoteza avem:
(1.124)
Cautam
un vector 
astfel încât 
, adica
(1.125)
Într-adevar,
vom arata ca vectorul 
se poate obtine într-o infinitate de
moduri.
În aceasta infinitate de vectori, încercam sa cautam un vector particular a carui divergenta sa fie nula.
Fie 
acest vector. El va fi determinat prin functia
scalara al carui gradient trebuie sa se adauge vectorului 
definit mai sus.
Avem:
(1.126)
de unde rezulta:
= div grad f = Δ f (1.127)
(1.128)
cum 
,
rezulta ca functia f este determinata de ecuatia 
.
În
concluzie, daca , atunci exista un vector astfel încât 
si 
.
Vectorul 
se numeste potentialul vector al
vectorului 
.
Vectorul pentru care se numeste vector solenoidal. Câmpul de vectori se numeste laplacian sau solenoidal, deoarece câmpul magnetic al unui sistem
de curenti al caror câmp elementar este dat de legea lui Laplace este
de acest tip.
1.15. Integrale vectoriale.
1.15.1. Circulatia unui vector
Consideram un arc AB pe care se deplaseaza un punct M într-un sens precizat.(fig1.13).
Fig.1.13: Circulatia unui vector
Fie un vector,
functie de punct.
Definitie:
Se numeste circulatia vectorului de-a lungul arcului AB
valoarea integralei curbilinii
(1.129)
Daca
este o forta, circulatia acestei forte
de-a lungul arcului AB este lucrul mecanic al acestei forte.
Observatie: Daca vectorul deriva dintr-un potential scalar V, atunci din
formula 
rezulta:
(1.130)
În acest caz circulatia depinde doar de punctul de plecare si cel de sosire.
1.15.2. Fluxul unui vector
Consideram o
suprafata S pe care se disting doua fete. Fie M un punct din S, un vector functie de punctul M, MN normala la
suprafata S pe care a fost ales un sens pozitiv, dσ un element de
suprafata care înconjoara punctul M. Fixam pe normala
în sensul pozitiv un vector de lungime egala cu dσ. Notam cu 
acest vector.
Definitie: Se numeste fluxul vectorului prin suprafata S integrala dubla
(1.131)
1.16. Formule fundamentale
Consideram S o suprafata
închisa suficient de uniforma care margineste un volum D, M un
punct oarecare din D si fie vectorul definit mai
sus, orientat spre exteriorul lui D.
Alegem o functie scalara de
punct f si o functie vectoriala de punct continui si
finite împreuna cu primele lor derivate în toate punctele domeniului D, inclusiv în punctele
suprafetei S.
Exista trei formule care înlocuiesc o integrala tripla printr-o integrala dubla:
Formula gradientului
(1.132)
Formula divergentei sau teorema lui Ostrogradski
(1.133)
Formula rotorului
(1.134)
1.17. Semnificatia divergentei
Formula lui
Ostrogradscki ne arata ca fluxul total al unui vector printr-o
suprafata închisa care margineste un volum infinit mic
dτ are o expresie de forma 
. Divergenta unui câmp de vectori într-un punct este,
asadar fluxul care iese din unitatea de volum ce înconjoara acest
punct. Divergenta poate fi considerata ca fiind data de
expresia:
(1.135)
Consideram
un fluid a carui viteza este (functie vectoriala de punct) în fiecare punct din spatiu,
la momentul t si densitatea fluidului ρ(functie scalara de
punct). Alegem o suprafata si un vector unitar al normalei la
suprafata 
. Masa de fluid care trece prin suprafata S în unitatea
de timp este data de expresia:
(1.136)
Daca suprafata S este închisa si se delimiteaza un volum D, atunci expresia de mai sus reprezinta masa care iese din D în unitatea de timp.
Pe de alta parte, cresterea masei din interiorul volumului D în unitatea de timp va fi data de expresia:
(1.137)
Aplicam teorema lui Ostrogradski si obtinem:
(1.138)
Daca se considera ca nu avem variatii ale cantitatii de fluid, nici cresteri si nici pierderi în interiorul volumului D, atunci este adevarata expresia:
(1.139)
Daca tinem seama de continuitatea functiilor si a derivatelor lor, atunci, din formula de mai sus, putem deduce expresia
(1.140)
Expresia de mai sus reprezinta ecuatia de continuitate a unui fluid.
Daca fluidul este incompresibil atunci
(1.141)
Daca, în
plus, exista un potential scalar V al vitezei , atunci ecuatia de continuitate devine
ΔV = 0 (1.142)
1.18. Formula lui Green
Consideram o suprafata închisa S care margineste un volum D. Alegem doua functii scalare de punctul M, p si q .
Putem scrie formula
(1.143)
Demonstratie:
Cunoastem ca este adevarata expresia:
(1.144)
în care înlocuim pe prin p.grad q.
Expresia div devine:
div = div(p.grad q) = p.(div
grad q)+grad q.grad p (1.145)
însa div grad q = Δq
de unde deducem expresia:
div =div(p.grad q) = p.Δ q+grad q.grad p (1.146)
Înlocuim acum în formula divergentei si obtinem:
(1.147)
Calculam diferenta ultimelor doua formule si obtinem:
(1.148)
care reprezinta formula lui Green.
1.19. Formula lui Stokes
Consideram o suprafata S cu doua fete, marginita de o curba C pe care s-a fixat un sens de circulatie. Orientam fiecare normala astfel încât sensul de circulatie sa fie cel direct(fig.1.14).
Fig.1.14.
În fiecare punct
P al suprafetei S consideram pe normala o lungime
Daca lungimea
Din
punctul M ducem normala NP la suprafata S. Fie l lungimea MP. Avem
relatia 
,
în care 
este vectorul unitar al normalei (fig.1.13).
Consideram
un punct învecinat lui M, 
caruia îi corespunde un punct 
.
Putem scrie urmatoarea relatie
(1.149)
Înmultim
scalar relatia de mai sus cu 
si obtinem:
(1.150)
Însa 
, deoarece cei doi vectori sunt perpendiculari. În plus, 
deoarece un vector de lungime 
de unde rezulta
(1.151)
Cunoastem
ca 
. Deci 
oricare ar fi 
Rezulta:
(1.152)
Daca aplicam rotorul celor doi membri ai relatiei de mai sus, obtinem:
(1.153)
Aplicam acum teorema lui
Ostrogradscki vectorului 
si obtinem:
(1.154)
Însa 
este vectorul de
lungime dσ luat pe normala, pe suprafata S el este egal cu 
, unde 
reprezinta
vectorul unitar al normalei la suprafata Σ.
Rezulta
(1.155)
Consideram
acum produsul 
. Vectorul 
este ortogonal cu , deci produsul sau scalar cu este nul.
Rezulta:
(1.156)
Consideram
acum produsul 
. Acest produs este egal cu 
. Însa 
este vectorul unitate
al tangentei la curba C atunci când punctul P se afla pe C (fig.1.15).
Deci 
.
Fig.1.15
În plus,
(1.157)
Deoarece 
.
Rezulta
(1.158)
Daca facem ca distanta PP' = d δ sa descreasca, atunci avem dτ = dσ.dδ unde dσ este un element de suprafata a lui S.
Daca dσ este un element de suprafata a lui Σ, atunci dσ = dl .dδ, în care dl este un element de arc al curbei C.
Rezulta:
(1.159)
Deci,
(1.160)
Rezulta
ca circulatia unui vector de-a lungul unei curbe închise C este egala
cu fluxul rotorului sau printr-o suprafata marginita de C.
În cazul unui câmp laplacian sau solenoidal se stie ca acest câmp
deriva dintr-un potential vector 
astfel încât 
.
Conform formulei
lui Stokes, fluxul vectorului 
prin suprafata este egal cu
circulatia lui pe contur.
Deci, fluxul unui vector solenoidal printr-o suprafata este egal cu circulatia potentialului sau vector pe conturul acestei suprafete.
Teorema lui Stokes permite sa se dea vectorului rotor o alta definitie.
Fie de calculat
componenta într-un punct A pe o directie determinata AW a vectorului
rotor al unei functii vectoriale, 
de punct.
Din punctul A ca centru, cu o raza f, sa descriem o circumferinta C în planul perpendicular pe directia considerata (fig.1.16)
Fig.1.16. Rotorul
Componenta vectorului rotor va fi data de expresia:
(1.161)
|
