Fuctii
Notiunea de functie
Fie
doua multimi nevide A si B. Spunem ca am definit o functie pe multimea A cu
valori in B daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element sa-i corespunda un
singur element
.
O functie definita pe A cu valori in B se noteaza f : A B sau
.Uneori o functie se
noteaza simbolic A
B ; x
y = f(x) , unde y este
este imaginea elementului x din A prin functia f . 939f52j
A = domeniul de definitie
B = codomeniul
Graficul lui f
Def.Se numeste graficul functiei f multimea de cupluri
Functii egale
Def.Fie f : A B ; g : C
D doua functii.Spunem ca functiile f si g sunt egale (f =
g) daca :
1)A = C
2) B = D
3) f(x) = g(x)
Operatii cu functii
(f +g)(x) = f(x) +g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
3)
Compunerea functiilor
Def.Functia gf : A
C definita prin (g
f)(x) = g(f(x)),
se numeste compusa lui
f cu g.
Schema compunerii
Compunerea functiilor este asociativa : (f
g)
h = f
(g
h)
In general , compunerea functiilor nu este comutativa.
Functia identica a unei multimi
Def. Functia , definita prin
se numeste aplicatia
identica a multimii A.
Daca f : B A este o functie
oarecare atunci
f = f , iar daca g :A
B este o functie arbitrara atunci g
= g
Daca notam F(A) = atunci f =
f = f ,
In acest caz spunem
ca este element neutru in
raport cu operatia de compunere a functiilor din F(A).
Functii monotone
f : A R ; I
A
Def.1)Spunem ca functia f este strict crescatoare pe I daca :
Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe I daca :
Def.1)Spunem ca f este crescatoare pe I daca:
2)Spunem ca f este descrescatoare pe I daca :
Th.Fie f : A R o functie numerica
si I
A. Atunci:
1)f este
strict crescatoare (crescatoare) pe I
f este strict descrescatoare (descrescatoare)
pe I
Operatii cu functii strict monotone
Th. 1)Daca f este strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci (-f) este strict descrescatoare (strict crescatoare)
2)Daca f ,g sunt strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci f + g este strict crescatoare (strict descrescatoare)
Daca f ,g sunt strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci f g este strict crescatoare.
4)Daca
f , g au monotonii diferite atunci f g este strict descrescatoare.
Fie f inversabila.Daca f este strict crescatoare (strict
descrescatoare) atunci este strict
crescatoare (strict descrescatoare).
Functii convexe si functii concave
concav - "nu tine apa"
convex - "tine apa"
Def. Fie functia f : I R , I interval.Se
spune ca f este convexa pe I daca
avem :
Def. Fie functia f : I R , I interval.Se
spune ca f este concava pe I daca
avem :
Obs. Daca f este convexa pe I atunci (-f) este concava pe I
- Graficul functiei convexe este situat sub orice coarda daca unim daca unim doua puncte situate pe graficul functiei.
- Graficul functiei convexe este situat deasupra oricarei tangente duse intr-un punct al graficului.
- Graficul functiei concave este situat deasupra oricarei coarde daca unim daca unim doua puncte situate pe graficul functiei.
- Graficul functiei concave este situat sub orice tangenta dusa intr-un punct al graficului.
Injectivitate
Fie f : AB
functia f se numeste injectiva (sau inca injectie) daca
functia f se numeste injectiva daca
orice functie strict monotona este injectiva
daca f : AB si g : B
C sunt functii injective atunci g
f : A
C este o functie injectiva.
5)a) functia f se numeste injectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel mult un punct.
b) functia f nu este injectiva , daca exista cel putin o paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel putin doua puncte.
functia f
: AB este injectiva daca pentru
, ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie.
Surjectivitate
Fie f : AB
functia f
se numeste surjectiva daca pentru cel putin un element
astfel incat f(x) = y.
Obs.Elementul care apare in definitie se obtine rezolvand ecuatia f(x) = y.
2) a) functia f se numeste surjectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel putin un punct.
b) functia f nu este surjectiva , daca exista cel putin o paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox care nu intersecteaza graficul in nici un punct.
ecuatia in
x , f(x) = y are cel putin o solutie .
Bijectivitate
Fie f : AB
o functie f este bijectiva daca este atat injectiva cat si surjectiva.
functia f este bijectiva daca ecuatia f(x) = y are o unica solutie in A.
functia f se numeste bijectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in exact un punct.
daca f :
AB si g : B
C sunt functii bijective atunci g
f : A
C este o functie bijectiva.
Inversabilitate
o functie f
: AB se numeste inversabila daca exista o functie g : B
A astfel incat g
f =
si f
g =
.
o functie f este inversabila daca si numai daca f este bijectiva.
inversa
lui f : AB se determina prin rezolvarea ecuatiei in x , f(x) = y ,
.Solutia unica
, x = g(y) precizeaza
inversa lui f.
fie f : AB o functie bijectiva si strict crescatoare (strict
descrescatoare).Atunci
: A
B este deasemenea strict crescatoare (strict descrescatoare).
Imaginea unei functii
Def.Fie f :
AB o functie oarecare.Daca A'
A este o submultime a
lui A , multimea f(A') = care este o submultime a lui B , se numeste imaginea submultimii A' prin functia f. Daca A' =
A , atunci multimea f(A') se numeste imaginea functiei f si se numeste Im f.
Def.Se numeste imaginea functiei f multimea notata f(A) si egala cu
f(A) = .
Uneori , in loc de f(A) se scrie Im f .
Def.Se
numeste preimaginea functiei f multimea
notata (B) si egala cu
(B) =
Functii pare : f(-x) = f(x)
Functii impare : f(-x) = - f(x)
|