Fuctii

Fuctii

Notiunea de functie

Fie doua multimi nevide A si B. Spunem ca am definit o functie pe multimea A cu valori in B daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element sa-i corespunda un singur element .

O functie definita pe A cu valori in B se noteaza f : A B sau .Uneori o functie se noteaza simbolic A B ; x y = f(x) , unde y este este imaginea elementului x din A prin functia f . 939f52j

A = domeniul de definitie

B = codomeniul

Graficul lui f

Def.Se numeste graficul functiei f multimea de cupluri

Functii egale

Def.Fie f : A B ; g : C D doua functii.Spunem ca functiile f si g sunt egale (f = g) daca :

1)A = C

2) B = D

3) f(x) = g(x)

Operatii cu functii

(f +g)(x) = f(x) +g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

3)

Compunerea functiilor

Def.Functia gf : A C definita prin (gf)(x) = g(f(x)), se numeste compusa lui f cu g.

Schema compunerii

Compunerea functiilor este asociativa : (fg)h = f(gh)

In general , compunerea functiilor nu este comutativa.

Functia identica a unei multimi

Def. Functia , definita prin se numeste aplicatia identica a multimii A.

Daca f : B A este o functie oarecare atunci f = f , iar daca g :AB este o functie arbitrara atunci g= g

Daca notam F(A) = atunci f =f = f ,

In acest caz spunem ca este element neutru in raport cu operatia de compunere a functiilor din F(A).

Functii monotone

f : A R ; I A

Def.1)Spunem ca functia f este strict crescatoare pe I daca :

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe I daca :

Def.1)Spunem ca f este crescatoare pe I daca:

2)Spunem ca f este descrescatoare pe I daca :

Th.Fie f : A R o functie numerica si I A. Atunci:

1)f este strict crescatoare (crescatoare) pe I

f este strict descrescatoare (descrescatoare) pe I

Operatii cu functii strict monotone

Th. 1)Daca f este strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci (-f) este strict descrescatoare (strict crescatoare)

2)Daca f ,g sunt strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci f + g este strict crescatoare (strict descrescatoare)

Daca f ,g sunt strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci f g este strict crescatoare.

4)Daca f , g au monotonii diferite atunci f g este strict descrescatoare.

Fie f inversabila.Daca f este strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci este strict crescatoare (strict descrescatoare).

Functii convexe si functii concave

concav - "nu tine apa"

convex - "tine apa"

Def. Fie functia f : I R , I interval.Se spune ca f este convexa pe I daca avem :

Def. Fie functia f : I R , I interval.Se spune ca f este concava pe I daca avem :

Obs. Daca f este convexa pe I atunci (-f) este concava pe I

- Graficul functiei convexe este situat sub orice coarda daca unim daca unim doua puncte situate pe graficul functiei.

- Graficul functiei convexe este situat deasupra oricarei tangente duse intr-un punct al graficului.

- Graficul functiei concave este situat deasupra oricarei coarde daca unim daca unim doua puncte situate pe graficul functiei.

- Graficul functiei concave este situat sub orice tangenta dusa intr-un punct al graficului.

Injectivitate

Fie f : AB

functia f se numeste injectiva (sau inca injectie) daca

functia f se numeste injectiva daca

orice functie strict monotona este injectiva

daca f : AB si g : BC sunt functii injective atunci gf : A C este o functie injectiva.

5)a) functia f se numeste injectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel mult un punct.

b) functia f nu este injectiva , daca exista cel putin o paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel putin doua puncte.

functia f : AB este injectiva daca pentru , ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie.

Surjectivitate

Fie f : AB

functia f se numeste surjectiva daca pentru cel putin un element astfel incat f(x) = y.

Obs.Elementul care apare in definitie se obtine rezolvand ecuatia f(x) = y.

2) a) functia f se numeste surjectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in cel putin un punct.

b) functia f nu este surjectiva , daca exista cel putin o paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox care nu intersecteaza graficul in nici un punct.

ecuatia in x , f(x) = y are cel putin o solutie .

Bijectivitate

Fie f : AB

o functie f este bijectiva daca este atat injectiva cat si surjectiva.

functia f este bijectiva daca ecuatia f(x) = y are o unica solutie in A.

functia f se numeste bijectiva daca orice paralela dusa printr-un punct al codomeniului la axa Ox intersecteaza graficul in exact un punct.

daca f : AB si g : BC sunt functii bijective atunci gf : A C este o functie bijectiva.

Inversabilitate

o functie f : AB se numeste inversabila daca exista o functie g : BA astfel incat gf = si fg =.

o functie f este inversabila daca si numai daca f este bijectiva.

inversa lui f : AB se determina prin rezolvarea ecuatiei in x , f(x) = y , .Solutia unica , x = g(y) precizeaza inversa lui f.

fie f : AB o functie bijectiva si strict crescatoare (strict descrescatoare).Atunci : AB este deasemenea strict crescatoare (strict descrescatoare).

Imaginea unei functii

Def.Fie f : AB o functie oarecare.Daca A' A este o submultime a lui A , multimea f(A') = care este o submultime a lui B , se numeste imaginea submultimii A' prin functia f. Daca A' = A , atunci multimea f(A') se numeste imaginea functiei f si se numeste Im f.

Def.Se numeste imaginea functiei f multimea notata f(A) si egala cu

f(A) = .

Uneori , in loc de f(A) se scrie Im f .

Def.Se numeste preimaginea functiei f multimea notata (B) si egala cu

(B) =

Functii pare : f(-x) = f(x)

Functii impare : f(-x) = - f(x)