Functia f(n) fiind continua in punctual

Functia f(n) fiind continua în punctual U₀ urmeaza ca daca U_n → U₀ si f(U_n)→f(U₀), deci:

f(u(x_n)) → f(u(x₀)), x_n Є x.

3. Functii inverse 24224e46y

Definitie: Functia inversa a unei functii continue este o functie continua.

Demonstratie: Fie o functie strict crescatoare pe X si functia inversa. Avem echivalenta:

Functia fiind continua in pentru orice sir convergent catre , sirul valorilor este un convergent catre .

Fie acum, un sir strict crescator, convergent catre . Functia f fiind biunivoca, sirului îi corespunde sirul unic .

Trebuie sa aratam ca sirul este convergent catre . sirul este strict crescator, deci are o limita . Deoarece f este continua pe X, avem:

,

dar sirul este convergent catre ξ, deci si, cum functia f este biunivoca, .

Se procedeaza în mod asemanator si pentru un sir strict crescator, convergent catre . Functia este deci continua pe domeniul valorilor.