Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman

Fie E o multime de nr. C

f o functie (univoca) definite pe E (f:E)

z_o E

Spunem ca f are limita l=l₁+il₂, , daca (" e>0,( s e)>0, (")z z₀,z E,  |z-z₀|<s |f(z)-l|<e

Def echivalenta: pt (")(z_n),z_n E,z_n->z₀ f(z_n)->l

w=f(z), w=u+iv,

z₀=x₀+iy_0, z=x+iy

functia f are limita l in pctul z₀ u(x,y),v(x,y) au lim l₁,l₂ in punctual (x₀,y₀),adica :

daca l=f(z₀), z₀ E, functia este continua in z₀, fe derivabila in z daca f'(z)=, limita nu depinde de curba Dz->0, Dz=Dx-iDy

Presupunem ca f dervabila in z

RELATIILE LUI  COUCHY-RIEMAN(CN,nu S)

Def. Functia analitica pt mult E, este o functie derivabila in (") pct al unei multimi E.

f derivabil in punctul z=x+iy, daca derivatele partiale de ordinul 1 , car everifica relatia (1) si sunt continue in punctul (x,y), derivatele parrtiale contine ->formula lui Taylor de ord 1 pt. Fctiile u,v in punctul (x,y)

sa aratam :

Def:O functie u(x,y) este armonica pe domeniul D daca admite continue in (")(x,y) D si verifica ceuatia lui Laplace in domeniul D

Daca f(z)=u(x,y)+iv(x,y analitica, pe dom D atunci u si v este armonic pe domeniul D din plan(armonic conjugate)

T.Couchy-Rieman

Fie f:D C->C, f(z)=u(x,y)+iv(x,y) derivabila in z₀=x₀+iy₀ D u,v : D C->C, diferentiabila in (), si in acest pct au lo egalitatile (Cond. Couchy-Rieman)

Daca f mongena in z₀=x₀+iy₀ partea reala si cea imaginara a unei fctii olomorfe sunt functii armonice (Du=0,Dv=0)

Daca g:D C->C, g=u(x,y)+iv(x,y) data  rpin u,v olomorfa pe D se poate scrie z=x+iy

g=f(z)=u(z,0)+iv(z,0)

Transformari conforme

Fie f analitica pe dom D,z₀ D a.i. f '(z₀) 0, dom. D C reprezentat conform pe D C prin f:D->D, sau D f(D), este o imagine conforma daca f satisface cond,

-f bijectie

-f bicontinua(f,f ^-1, continue)

-f pestreaza unghiul dintre curba de raportul dintre lungimile arcelor elementare

se numeste TRANSFORMARE CONFORMA

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy, f '(z₀)

|z|²=x²+y²

f(z)=

z₀, f '(z₀) )Vz₀ sa-i corespunda Vw₀, w₀=f(z₀), f inversabila

w=f(z)

z= f' (w), w V(w₀)

sa consideram o curba (g )z=z₁(t), t [a₁,b₁], z₀=z₁(t₀),z₁(t₀)

g ) are tg (G )=f(g .

2.Formula intergrala al lui Couchy.Consideratii ale formulei integrale

Fie f functie analitica pe dom D a carui frontiera este o curba neteda (C), f continu pe D (C), a D atunci , forma integrala a lui Couchy.

Dem.

a D Va D )(C_e),|z-a|=e D

analitica in domeniul C_e

T.Couchy

; z-a=e e^iq q p ,

aratam

=2p i f(a). OBS.

3.Serii Taylor. Serii Laurent. Reziduuri

Fie f: D C->C functie analitica (olomorfa), pt (")z₀ D, ( )V(z₀) D a.i. (")z V(z₀) atunci are lo egalitatea:, z V numita Seria Taylor a functiei f in pctul z_0.

Daca f este olomorfa , conv, pt R₁<|z-z₀|<R₂, daca R₁<R₂ atunci are loc formula de dezvoltare a functiei f in serie Laurent.: , unde

(C)-cerc arbitrar cu centrul in z₀ si raza r (r₁,r₂)

partea principala a Seriei Laurent

partea intreaga(Taylor) a seriei Laurent

Daca z=z₀ pol de ordinul P->serie polara (parte principala finita) primul termen:

a _-p(z-z₀)^-p, a _-p

z=z₀ punct singular esential izolat-> serie esentiala cu infinitate de termemi la partea principala.

z=z₀ punct ordinal-> serie Taylor (nici un termen la partea principala).

Teorema rezidurilor

Fie f o functie analitica intr-un domeniu D cu exceptia singurului punct singular z₀ D,

(C)-frontiera acestui domeniu:

Rez (f,z₀)=a _-1

Daca z₀-pol m ordinul

T.Rezidurilor

Fie  f o functie analitica D cu exceptia unui nr finit de singuralitati izolata z₁,z₂,.,z_n continua pe (C, atunci

4.Ecuatii cu derivate de ordinul 2 in 2 variabile independente liniare

F(x,., ecuatia cu derivate partiale

") functie continua cu derivatele ei partiale solutie

functia necunoscuta si deriv, intra liniar

f(x) 0 liniara neomogena

f(x)=0 liniara omogena

D form. gen.  a ecuatiei liniare de ord 2 cu 2 variabile identice ii asociem

a,b,c,d,e,f,g - functii date

Daca,(")(x,y) D, D

Reducerea la forma normala(canonica,redusa)a undei ecuatii cu derivate partiale liniare de ord 2 in 2 variabile independente.

") solutie l(x,y)=C a ecuatiei (2) curba caracteristica a ec (1)

a dy²-2b dxdy+c dx²=0 - ecuatia directiilor caracteristice

,

HIPERBOLIC

PARABOLIC

v(x h)=u[x(x h),y(x h

b₁²-a₁c=(b₂-ac)- hiperbolic

b²-ac=0 , a 0 , - parabolic

b²-ac<0

l₁(x,y)+iy(x,y)=c₁

l₁(x,y)-iy(x,y)=c₂

- eliptic

Contitii suplimentare asigurand existenta si unitatea sol unei scuatii cu derivate partiale

pr.Couchy, y(x)=?

oscilatii transversale ale unei membrane: , u(x,y,l), (x,y) D

5.Ec. Oscilatiilor transversale a unei coarde finite cu solutia D'Alambert

Se  pune problema sa gasim sol ec:

dx²-a²dt²=0

(dx-a dt)(dx+a dt)=0

x+at=C

x-at=C

,

g(x)=

f(x)=

6.Metoda separariivariabilelor pt rezolvarea ec-lor cu derivate partiale de ordinul al 2-lea in variabile independete

f(0)=g(0)=f(l)=g(l), cautam solutia u(x,t) data sub forma U(x,t)=X(x) T(t)

X(x) T''(t)=a²X''(x) T(x)

X''(x)+ lX(x)=0 (1)

T''(t)+ la²T(t)=0 (2)

U(0,t)=X(0)T(t)=0, (")t>0 X(0)=0

U(l,t)=X(l)T(t)=0 X(l)=0

(1)+con , ecuatia liniara cu coef. Cst asociem ec caracteristica solutiei generale, o scriem in functie de natura radacinii caracteristice

l<0 r_1,2 R

l ,r₁=r₂=0

y₁=e^0x=1  y₂=xe^0x=x

X(x)=Ax+B,X(0)=0=B,X(l)=0 A=0 X(x)=0 u(x,t)=0

l>0,r_1,2= i l

X(x)=Ccos l x+Dsin l x

X(0)=0=C

X(l)=0=Dsin l l

D=0 X(x)=0 u(x,t)=0 dar

k=n=1,2,. l_n

NU micsoram generalitatea luand D=1

X_n(x)=sin (np/l),n=1,2,... l_n=(np/l)²

T_n''(t)+(npa/l)²+n(t)=0, n=1,2,..

T_n(t)=a_ncos(anp/l)t+b_n sin(anp/l)t, n=1,2,...

U_n(x,t)=X_n(t)T_n(t)

Solutia sub forma U(x,t)=

p

conditia. U(x,0)=f(x)-

7.Problema Dirichlet pentru cerc

Stim ca u(x,y) armonica in D R daca admite derivate partiale pana la ordinul 2, continu in D, este continu DU(C),(C)frontiera lui D shi satisface ec Laplace Du=0, (")(x,y) D. Daca D este nemarginit se cere ca u sa ramana marginita la

Problema Dirichlet pt. Domeniul D se formuleaza astfel : Sa se determine functia u care satisface comditiile lui Laplace in domeniul D, continu pe DU(C) si:

Problema interioara Dirichlet: D=

Problema exterioara Dirichlet D=

u(x,y)|_x2+y2=R2=l(x,y)  ,(Frontiera)

, ecuatia lui Laplace in coord. polare.

r X''(r rX'(r lX(r (1)

T''(q lT(q (2)

r²+l r_1,2= l>0

r_1,2= i

r X_n''(r rX_n'(r)-n²X_n(r)=0, (1), n=0,1,2,.

r=e^t

ecuatia generala:r²-n²=0

solutia generala:

solutia: q_n=X_nT_n=(A_nr^-n+B_nrⁿ a_ncosnq b_nsinnq

pentru problema interioara: q_n rⁿ a_ncos nq b_nsin nq)

pentru problema exterioara: q_n r^-n a_ncos nq b_nsin nq)

Elemente de calcul variational.Notniune de functionala.Variatia unei Functionale.Extreme

L(y(x))=L(y), se numeste functionala daca :

L(a_y aL(y), (" a

L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂), (")y₁,y₂

Daca: Dl=T(y,dy)+w(y, dy)max|dy|, unde T-liniar, in raport cu al 2lea argument;

w(y,dy)->0, pt. dy->0 Variatia functionala.

Notam dL:

Functionala L are un minim pe curba y₀ daca L(y) L(y₀) pt y Vy₀

maxim pe curba y_0, daca intr-un punct al unei functionale

8.Lema fundamentala a calculului variational.Ec. lui Euler pt functionale de forma:

Daca f este functioe continua pe [a,b], (") l-continu f(x)=0,(")x [a,b]

)x₀ (a,b), a.i. f(x₀) 0, f(x₀)>0 )(x₁,x₂) (a,b), a.i. x₀ (x₁,x₂) si f(x₁)>0, (")x (x₁,x₂).

y(x) realizeaza extremul functional satisface ecuatia diferentiala de ord 2.

Ec. Lui Euler

Solutia generala :

y=y(x, a b) depunde de 2 constante arbitrare, se numeste familia extremelor functionale date.

9.Conditii suficiente de existenta a transformatei Laplace. Transformata Laplace a unei functii.

O functie f se zice ca es\te continua pe portiuni pe un interval (a, b) R , daca exista o diviziune al lui (a,b). a=t₀<t₁<.<t_i-1<.<t_n=b ,a.i. fct continua pe fiecare interval partial si sunt finite limitele laterale.

f(t_i-1,+0)=

f(t_i-1,-0)=,

f de ordin exponential pt. t-> daca exista constantele M>0 , a R, a.i |f(t)| M.e^at, t destul de mare. Aratam daca f cont. pe portiuni , pe orice interval finit, [0,T] este de ordin exponential |f(t)| M.e^at ) transformata Laplace.

Obs Conditiile de mai sus, sunt suficiente  pt ( ) transformatei Laplace a unei functii dar nu neaparat si conditie necesara.Fie f functie de ordin exponential f, f '-continue pe portiuni pt, orice interval finit:[O,T]. exista transformata Laplace shi avem

L(f ')=pL(f)-f(0)

L(f)=F(p)=

10.Eveniment .Camp de evenimente.Functie de probabilitate.Camp de probabilitate.

Fie W-multime , elementele =evenimente elementare K-familie de submultimi al lui W cu urmatoarele proprietati:

1. ")A K K, -complementara multimii A.
2. A,B K AuB K.

Daca W cintine o infinitate de elemente atunci

3. A₁,A_2,. K

W,K)- camp de evenimente.

Principiul contructiei teoremeio probabilitatilor consta in a considera evenimentele ca si parti ale unei multimi. Conceptul de eveniment semnifica realizarea sau nerealiazarea unui fenomen intro experienta oarecare.

Multimea evenimentelor : 3 aplicatii de baza"si", "sau", "non".

A B (A+B)fie A fie B au loc.

A B (A B) si A si B au loc

A

Distingem :

-evenimentul sigur,

-evenimentul imposibil.

Fie P:K->R cu urmatoarele proprietati:

1.P(A) ")A K

2.P(W

3.P( A_i A_j =0, (") i j

W,K,P)-camp de probabilitate.

Caz particular:

W=

w ,.-evenimentele elementare =posibile

P(w_k)=1/m, k=1,m

P(A)=, m-numarul elementelor din care se compune A.

Spatii de probabilitate discret.

W - format dintr-un numar finit de evenimente sau infinit , ecuatia se scrie ca un sirt finit.

W

w_k->P(w_k)=P_k 0,

11.Exemple de repartitii.Repartitia binominala.Repartitia Poisson.Rep. normala

Presupunem ca se fac n experimente independente si probabilitatea aparitiei sumei eveniment A in fiecare dintre cele n experimente este constanta=p. Numarul de aparitii ale evenimentelor A in cele n experimente este o variabila aleatoare , care ia valorile 0,1,.,n,.

X:

q=1-p

presupunem ca: n creste foarte mult , p scade , a.i. n p=constanta=l

X:

Repartitia normala.

-repartitia fundamentala

-repartitia unei variabile aleatoare continue a carei densitate de probabilitate este functia:

, - <x<

m, s - parametrii specificati.

x=m - Axa de simetrie

Curbele au un maxim in punctual de abscisa x=m iar in pucntul x=m+s, curba are punct de infelxiune. Cu cat este mai mic, clopotul gaus este mai ascutit.

Fie: x-variabile aleatoare , f - densitatea de probabilitate al lui X.

Presupunem : calculam valoarea medie din: