Functii integrabile
Definitie:1) Fie 
interval [nchis ]I marginit
din R. Se nume]te diviziune a intervalului un sistem de puncte 
=(x1,x2,.,xn) din astfel [nc@t a=x0<x1<x2<.<xn-1<xn=b.
2) Cea mai mare
dintre lungimile intervalelor x0,x1 x1,x2 xn-1,xn se nume]te norma diviziunii ]i se noteaza cu 
(xI-1,xI)
Definitie: Consideram functia f:[a,b] R,diviziunea =(a=x0<x1<x2.....
...<xn-1<xn=b) si sistemul de intermediare 
=( 1, 2,......, n),unde i
[xi-1,xi],
i=1,n.Numarul real 
(f, )=
f(i)( fi-fi-1) se numeste suma
Riemann asociata functiei f, diviziunii ]i
sistemului de puncte intermediare
Observatie: Daca functia f 
R este pozitiva ,atunci 
(f,) aproximeaza aria multimii din plan denumita subgraficul lui f:
f =
delimitata de axa Ox,graficul functiei f ]i dreptele paralele la axa Oy:
x=a,respectiv x=b.
Definitie: O functie f a,b R se
numeste integrabila Riemann pe a,b daca exista IfR'cu proprietatea : ()
>0 (
)
>0,a.[. () a=x0<x1<x2.....
...<xn-1<xn=b) cu < si () sistemul de puncte intermediare =( 1, 2,......, n), i[xi-1,xi] are ,loc inegaliatea 
<
Numarul If se nume]te integrala definita a functiei pe intervalul
.Proprietati:
1)Pentru orice
functie f: R
integrabila Riemann,numarul If este unic .
2)Orice functie
integrabila pe un interval este marginita.
3)Fie functia f: R
integrabila Riemann ]i functia g: R a.[. g(x)=f(x) () x ]i A, A- multime finita.Atunci ]i functia g este integrabila
]i 
=.
4)Teorema Fie functia f:R. Functia f este integrabila Riemann daca ]i numai daca
exista If R a.[.
pentru () ]ir
de diviziuni 
n(a=x0n<x1n<...<
=b), cu 
]i () punctele intermediare
xi-1n
inxin,(1 i kn nN), ]irul sumelor Riemann 
converge la If.
Deci: If=
5)Teorema (Formula lui Leibniz-Newton)
Fie f R o functie integrabila care admite primitive pe
Atunci pentru orice primitiva F a lui f are loc egalitatea: =F(b)-F(a) .
Integrarea functiilor continue:
1).Teorema de medie: Daca f: R este o functie continua,atunci exista a.[. =(b-a)f(
Interpretare geometrica: Daca f este functie continua ]i pozitiva pe ( a.[. subgraficul lui f,f,are aceea]i arie cu dreptunghiul de baza
b-a ]i [naltime f(
y
f(
0 a b x
2)Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue
Fie f R continua.Atunci functia F: R,F(x)=
x0 este o primitiva a
functie f care se anuleaza [n x0.
Metode de integrare:
1.Integrare prin parti:
Daca f,g : R sunt derivabile ]i au derivabilele continue,atunci 
2.Integrarea prin schimbare de variabila:
Fie 
J
R(J
R) doua functii cu proprietatile:
a)f este continua pe J;
b)g este
derivabila,cu derivata continua pe .Atunci:
. Daca [n plus g este ]i bijectiva
,g1(t)
)t atunci: 
Ex 1:Folosind metoda integrarii prin parti, sa se calculeze urmatoarele integrale definite:
I1=
;I2=
;I3=
Solutie: I1=
-
x
arctgx 
(arctg
-arctg 0)=3/ 
I2= 
(e3lne-13ln1)- -
x3
(e3-1)=
-
+=
+.
I3=
=
=
=
=
=
Ex2: Sa se calculeze integralele definite:
I1=
;I2=
;I3=
.
Solutie:
I1==
=
=
=
I2==
|
