Definitia IV.1.1. Fie A si B două multimi. Prin functie definită pe multimea A, cu valori în multimea B se întelege orice lege (procedeu sau conventie) f, în baza căreia oricărui ele 15215c219p ment a A i se asociază un unic element, notat f(a), din B. Multimea A se numeste domeniu de definitie, iar multimea B se numeste codomeniu de definitie sau domeniul valorilor functiei.
Definitia IV.1.2. Fie f:A B o functie. Prin graficul acestei functii întelegem submultimea Gf a produsului cartezian A x B formată din toate perechile (a,f(a)), a A. deci Gf =
Definitia IV.1.3. Se numeste functie numerică o functie f:A B, pentru care atât domeniul de definitie A cât si domeniul valorilor B sunt submultimi ale multimilor numerelor reale (deci A, B R).
Definitia IV.2.1. Fie f:A B o functie. Spunem că f este o functie injectivă, dacă pentru oricare două elemente x si y ale lui A, x y, avem f(x) f(y). Faptul că f este injectivă se mai exprimă si altfel: "x,y A: f(x) = f(y) x = y
De exemplu: f:N N, definită prin formula f(x) = x2, este injectivă, dar g:Z N, g(x) = x2 nu este o functie injectivă deoarece g(-2) = g(2) = 4.
Definitia IV.2.2. O functie f:A B este o functie surjectivă, dacă pentru orice b B există cel putin un element a A, astfel încât f(a) b. Deci f:A B nu este surjectivă dacă b B avem f(a) b(")a A.
De exemplu: f:R R, f(x) = ax, a 0 este surjectivă.
Definitia IV.2.3. O functie f:A B care este simultan injectivă si surjectivă se numeste functie bijectivă.
De exemplu: Fie A = si f:R R, f(x) = x2. Functia f este bijectivă.
Definitia IV.3.1. Fie functiile f:A B si f:B C (domeniul de definitie al functiei g coincide cu codomeniul functiei f). Fie a A, atunci f(a) B, deci există imaginea sa prin g, adică g(f(a)) C. Astfel putem defini o functie h:A C unde h(a) = g(f(a)) pentru "a A. Functia h astfel definită se notează g◦f (sau gf) si se numeste compunerea functiei g cu functia f.
Observatii:
Dacă f:A B si g:C D sunt două functii, are sens să vorbim de compunerea functiei g cu functia f numai dacă B = C.
Dacă f:A B si g:B A sunt două functii, are sens g◦f:A A si f◦g:B B. în general f◦g g◦f.
Teoremă. Fie f:A B si g:B C si h:C D trei functii. Atunci fiecare din functiile h g◦f), (h◦g)◦f are sens si există egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
Definitia IV.4.1. Fie A o multime oarecare. Notăm cu 1A:A A functia definită astfel: 1A(a) = a pentru "a A. 1A se numeste functia identică a multimii A.
Propozitie. Fie A o multime si 1A functia sa identică. Atunci:
Pentru orice multime B si pentru orice functie f:A B avem f◦1A= f
Pentru orice multime C si pentru orice functie g:C A avem 1A◦g = g
Definitia IV.4.2. O functie f:A B se numeste inversabilă dacă există o functie g:B A astfel încât g◦f = 1A si f◦g = 1B.
Teoremă. O functie este inversabilă dacă si numai dacă este bijectivă.
|
