Functii

Functii

IV.1. Notiunea de functie

Definitia IV.1.1. Fie A si B douã multimi. Prin functie definitã pe multimea A, cu valori în multimea B se întelege orice lege (procedeu sau conventie) f, în baza cãreia oricãrui ele 15215c219p ment a A i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Multimea A se numeste domeniu de definitie, iar multimea B se numeste codomeniu de definitie sau domeniul valorilor functiei.

Definitia IV.1.2. Fie f:A B o functie. Prin graficul acestei functii întelegem submultimea G_f a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), a A. deci G_f =

Definitia IV.1.3. Se numeste functie numericã o functie f:A B, pentru care atât domeniul de definitie A cât si domeniul valorilor B sunt submultimi ale multimilor numerelor reale (deci A, B R).

IV.2. Functii injective, surjective, bijective

Definitia IV.2.1. Fie f:A B o functie. Spunem cã f este o functie injectivã, dacã pentru oricare douã elemente x si y ale lui A, x y, avem f(x) f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã si altfel: "x,y A: f(x) = f(y) x = y

De exemplu: f:N N, definitã prin formula f(x) = x², este injectivã, dar g:Z N, g(x) = x² nu este o functie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4.

Definitia IV.2.2. O functie f:A B este o functie surjectivã, dacã pentru orice b B existã cel putin un element a A, astfel încât f(a) b. Deci f:A B nu este surjectivã dacã b B avem f(a) b(")a A.

De exemplu: f:R R, f(x) = ax, a 0 este surjectivã.

Definitia IV.2.3. O functie f:A B care este simultan injectivã si surjectivã se numeste functie bijectivã.

De exemplu: Fie A = si f:R R, f(x) = x². Functia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea functiilor

Definitia IV.3.1. Fie functiile f:A B si f:B C (domeniul de definitie al functiei g coincide cu codomeniul functiei f). Fie a A, atunci f(a) B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a)) C. Astfel putem defini o functie h:A C unde h(a) = g(f(a)) pentru "a A. Functia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) si se numeste compunerea functiei g cu functia f.

Observatii:

Dacã f:A B si g:C D sunt douã functii, are sens sã vorbim de compunerea functiei g cu functia f numai dacã B = C.

Dacã f:A B si g:B A sunt douã functii, are sens g◦f:A A si f◦g:B B. în general f◦g g◦f.

Teoremã. Fie f:A B si g:B C si h:C D trei functii. Atunci fiecare din functiile h g◦f), (h◦g)◦f are sens si existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Functia inversã

Definitia IV.4.1. Fie A o multime oarecare. Notãm cu 1_A:A A functia definitã astfel: 1_A(a) = a pentru "a A. 1_A se numeste functia identicã a multimii A.

Propozitie. Fie A o multime si 1_A functia sa identicã. Atunci:

Pentru orice multime B si pentru orice functie f:A B avem f◦1_A= f

Pentru orice multime C si pentru orice functie g:C A avem 1_A◦g = g

Definitia IV.4.2. O functie f:A B se numeste inversabilã dacã existã o functie g:B A astfel încât g◦f = 1_A si f◦g = 1_B.

Teoremã. O functie este inversabilã dacã si numai dacã este bijectivã.