Func¸tiile Γ ¸si B ale lui Euler

deci Γ(t + 1) = t Γ(t) pentru orice t > 0 . (12.29)

In particular, cum Γ(1) = 1, cand n ≥ 1 este un numar natural, Γ(n + 1) = n Γ(n) = · · = n !

Ne vom ocupa ın continuare de func tia

B(a, b)

_def

⁼

Z ₁

^{xa (1 x)b dx pentru a, b > 0 (12.30)}

0

La fel ca ın cazul func tiei Γ, deoarece h : (0 1) → R, h(x) = x^{a 1} (1 − x)^{b 1}

este pozitiv

^{si continu a (deci masurabila), defini tia precedent a a lui B(a, b) "are}

^{sens" ; avem B(a, b) = +∞ deoarece, ın ipoteza a, b ∈ (0 1), singurul caz ın care}

^{h nu este m arginita,}

B(a, b) =

^Z _1/2

0

x^a (1 x)^b dx +

^Z ₁

1/2

x^a (1 x)^b dx ≤

_{≤ 2}^{1 b}

^Z _1/2

_x^a _{dx + 2}^{1 a}

^{Z 1 I} _{1 1} ^\

_{(1 − x)}^b _{dx ≤ 2}^{1 b a} ₊

_{0 1/2} ^{a b}

PROPOZIT¸ IA 12.4.1. Cu B(a, b) definit la (12.30),

B(a, b) = B(b, a) =

^Z _xa 1

₀ ^{(1 + x)a+b}

dx pentru orice a , b > 0 , (12.31)

B(a, b) =

b − 1

^{a + b − 1}

B(a, b − 1) dac a a > 0 si b > 1 . ^(12.32)

si B(a, n) =

^{(n − 1) !}

^{a (a + 1) · · (a + n − 1)}

cand a > 0 si n > 1 . (12.33)

Demonstra tie : Prima din egalita

tile de la (12.31) se ob tine imediat cu schim-

barea de variabil pe a doua, fie

^{x = x(t) = 1 − t (vezi 11.5.6). Pentru a verifica o verifica si}

_{t       1}

^{x : (0 + ) (0 1) x(t) = 1 + t      , x (t) = (1 + t)2}

Atunci

_{B(a, b) =}

Z ^I _t

^\a 1 ^I ₁

^\b 1 ₁

Z

_{dt =}

_ta 1

_{dt .}

₀ ^{1 + t}

^{1 + t}

^{(1 + t)2}

₀ ^{(1 + t)a+b}

Presupunand acum b > 1 si av and ın vedere "formula de integrare prin par ti" (vezi 11.4.16),

_{B(a, b) =}

^Z

_{(1 − x)}^{b 1}

^{I xa \}

^r _x^a _{(1 b)}^{b 1 i1}

₊

^{b − 1 Z 1}

_x^a _{(1 − x)}^b _{dx =}

0 ^{a   a}

₀ ^a 0

^a         0

₌ ^{b − 1}

^a

B(a, b − 1)

b − 1

a

B(a, b)

din care rezult

imediat (12.32).

Egalitatea (12.33) se ob tine prin induc tie din (12.32).

PROPOZIT¸ IA 12.4.2. Pentru orice a ∈ (0 1),

^{B(a, 1 a) = sin aπ .}

Demonstra tie : Dac a se tine seama de (12.31), totul revine la a arata c a pentru orice a ∈ (0 1),

^Z _xa 1

^{B(a, 1 a) =}

0

dx =

^{1 + x sin aπ}

Admitem c a pentru orice numere naturale m, n ≥ 1, cu n > m,

^{Z x2 m}

₁

_{dx =}

_(12.34)

₀ ^{1 + x2 n}

^{2 n} _sin ^{2 m + 1}

^{2 n}

(Notˇa : Rela tia precedent a se poate ob tine cu o metod a care este una din consecin tele teoremei rezidurilor din teoria func tiilor complexe ; este posibil a si

"descompunerea ın frac tii simple" a lui x^{2 m} (1 + x^{2 n} ).)

S observam acum ca

₁

_{1 1 1}

^{x : (0 + ) (0 + ) , x(t) = t 2 n , x (t) =} _{2 n} ^{t 2 n ,}

este o func tie pentru care se poate aplica "schimbarea de variabil a" (vezi 11.5.6),

^Z

_deci

_x2 m

_{dx =}

^{1 Z t}

_{2 m+1}

₀ ^{1 + x2 n}

^{2 n} ₀

^{Z ∞} _t^{r 1}

^{1 + t}

^{2 n} _sin ^{2 m + 1}

^{2 n}

_{2 m + 1}

^{si B(r 1 r) =}

0

dt = , unde r =

^{1 + t                  sin r 2 n}

^{m, n fiind numere naturale 1, si n > m.}

^{Fixand acum a ∈ (0 1), exist}

_mk

^{un sir de numere ra tionale (qk )k 1 astfel ınc at}

^k

^{, (mk nk ≥ 1) , nk > mk , qk → a si nk +∞ .}

Dac

r_k =

^{2 m}k ^{+ 1}

^{2 n}_k

(k ≥ 1) , atunci r_k (0 1) , r_k → a

^{si din continuitatea lui B( , ·),}

_{π π}

_{B(a, 1 a) = lim B(rk 1 rk ) = lim =}

^{k k sin rk}

^{sin aπ}

PROPOZIT¸ IA 12.4.3. Pentru orice numere reale a, b > 0,

_{Γ(a) Γ(b)}

^{B(a, b) =}

^{Γ(a + b)}

Demonstra tie : Pentru orice numar real c > 0, fixat, se poate utiliza "schim-

barea de variabila" definit

de func tia

^{x : (0 + ) (0 + ) , x(y) = c y ,}

deci oricare ar fi u > 0,

Γ(u) =

^Z

^{xu e−x dx =}

0

^{Z Z}

^{cu 1 yu e−cy c dy = cu}

0 0

_yu _e cy _{dy .}

De aici, fixand a, b, t > 0, cu u = a si c = t, respectiv u = a + b si c = 1 + t, rezultaˇ

_Γ(a)

^{Z ∞} _{a 1 ty}

_{Γ(a + b)}

^Z _{a+b 1}

⁰

^{y − e−}

^{dy     si}

(1 + t)^{a+b = y}

^e−

^{dy           (12.35)}

pentru orice t > 0. Atunci

_{din (12.31)} ^Z

_t^{a 1}

_{din (12.35)}

^{Γ(a + b) B(a, b) =}

^{Γ(a + b)}

0

(1 + t)^{a+b dt =}

^{Z IZ}

=

^\

_y^a+b _e ^{(1+t) y} _t^{a 1} _dy

_{( ! )}

^{dt =}

^{Z IZ}

_y^{a+b 1}

_e ^{(1+t) y}

_t^{a 1}

^\

dt  dy =

0

^{Z I}

=

0

0

_ya+b _e y

^{Z \}

^{e−t y ta 1 dt}

0

^Z

0

_{din (12.35)}

^{dy =}

0

^{Z I}

^y

0

a+b 1

_e ^{y Γ(a) \}

^ya

dy =

^{= Γ(a)}

0

^{yb e−y dy = Γ(a) Γ(b)}

In ra tionamentul de mai sus, ram ane de justificat egalitatea marcat

prin

" ( ! ) ". Pentru aceasta este suficient s

se observe ca

f : (0 + ) × (0 + ) R , f (t, y) = y^a+b e^{−(1+t) y} t^{a 1}

este continu

(deci masurabil a) si pozitiv

, prin urmare se poate aplica 6.4.9.

^{PROPOZIT¸ IA 12.4.4. Pentru orice a > 0,}

_{Γ(a) = lim n}a ^{(n − 1) !}

Demonstra tie : Fie

^{n a (a + 1) · · (a + n − 1)}

₁

^{x : (0 1) → (0 + ) , x(t) = ln t| , x (t) =} _t                 

Cu schimbarea de variabilaˇ

^{a > 0 fixat,}

Γ(a) =

dat a de func tia (descrescatoare) de mai sus, cu

^Z

^{xa e−x dx din 11.5.6}

0

  _{= ln t|a e−| ln t} ¹

₁ ^{1 Z 1}

₁

_{ln t|a dt .}

₀ ^{1 t 1} ₀

Pentru fiecare t ∈ (0 1), cu teorema lui l'H ospital,

prin urmare, dac a

f_n : (0 1) R , f_n (t) = n

^t

^{atunci fiecare f}_n ^{este continua, pozitiv}

si

Vom arata c

^fn ^{(t) → | ln t| pentru orice t ∈ (0, 1) (12.36)}

pentru fiecare t ∈ (0 1), sirul (f_n (t))_{n 1} este crescator. In

_{1 t}^x

^{vederea acestui scop, cu t ∈ (0, 1) fixat, fie ϕ : (0 1] R, (x) =} _x ^.

_Deoarece

_{x ln t − (1 t}^x₎

_t^x _t^x

_{ln t}^x _{+ 1}

^{x2 =}

^{punand u = tx si (u) = u − u ln u − 1, avem}

^x2

^{u ∈ (t, 1] , (u) = − ln u > 0 , deci (u) ≤ (1) = 0}

din care rezultaˇ

(x) =

(t^x)

^x2

≤ 0 c and x ∈ (0 1]

prin urmare este descresc atoare. De aici,

f_n (t) =

^I ₁ ^\

n

^I ₁ ^\

^ϕ _{n + 1}

= f_n+1 (t) (12.37)

^{pentru orice n ≥ 1 si t ∈ (0, 1).}

^{Presupunem acum a > 1.}

Datorit

^{(12.36) si faptului c a ın acest caz [f}n ^{(t)]a 1 ≤ [f}n+1 ^{(t)]a 1 ,}

Γ(a) =

^Z ₁

^{ln t|a 1 dt din 4.3.2}

0

_lim

ⁿ

^Z ₁

^[fn

0

(t)]^{a 1} dt = lim n^{a 1}

ⁿ

^{Z 1 1}

0

₁ ^{\a 1}

^t

^{Pentru fiecare n ≥ 1, utiliz an schimbarea de variabilaˇ}

t : (0 1) (0 1) , t(x) = xⁿ

dat a de

rezultaˇ

Γ(a) = lim n^{a 1}

ⁿ

Z ₁

0 ⁿ

Z ₁

^{xn (1 x)a 1 dx}

0

_{din (12.30)}

⁼

  _{= lim n}^a _{B(n, a) = lim n}^a _{B(a, n)} ^{din (12.33)}

_{lim n}^{a (n − 1) !}

n n n

^{a (a + 1) · · (a + n − 1)}

In ipoteza 0 < a ≤ 1, aplicand rezultatul precedent relativ la a + 1 > 1, avem

Γ(a)

_{din (12.29)}

⁼

^{Γ(a + 1)}

^a

₌ ¹ _{lim n}^a+1

^{a n}

(n − 1) ! ₌ (a + 1) (a + 2) · · (a + n)

_{= lim n}^{a n !}

^{n a (a + 1) · · · (a + n)}

TEOREMA 12.4.5. Dac a func tia f : (0 + ) (0 + ) are proprietatea cˇa

atunci

ln ◦f este convex a

f (1) = 1 si f (t + 1) = t f (t) pentru orice t > 0 , f = Γ

Demonstra tie : Din ipotez

rezult a

^{f (t + n) = (t + n − 1) · · (t + 1) t f (t) c and n > 1 si t > 0 (12.38)}

din care, cu t = 1 si deoarece f (1) = 1,

f (n) = f (1 + (n − 1)) = (n − 1) ! (n > 1) (12.39)

Incepem prin a fixa

^{t ∈ (0 1)}

Convexitatea func tiei ln ◦f fiind echivalent a cu

^{ln f (t ) ln f (t )}

^t2 ^t1

^{ln f (t}3 ^{) ln f (t )}

^t3 ^t2

cand 0 < t₁

< t₂

< t₃

cu n > 1 oarecare, o vom utiliza relativ la numerele

0 < n − 1 < n < n + t < n + 1 < n + 2

Rezulta

^{ln f (n) ln f (n − 1)}

^{n − (n − 1)}

_{ln f (n + 1) ln f (n + t)}

^{ln f (n + t) ln f (n)}

^{(n + t) n ≤}

_{ln f (n + 2) ln f (n + 1)}

^{≤ (n + 1) (n + t)}

^{(n + 2) (n + 1)}

din care, dac a din inegalita

tinem seama de (12.38),

tile precedente se renun taˇ

la al treilea termen si

echivalent cu

ln n − 1)

_{ln f (n + t) ln( (n − 1)! )}

^{t                               ≤ ln n + 1)}

ln n − 1)^t ln f (t + n) ln n − 1) ! ≤ ln n + 1)^t

Din (12.38),

ln n − 1)^t ≤ ln( t (t + 1) · · · (t + n − 1) ) ln( (n − 1)! ) + ln f (t) ≤ (n + 1)^t

deci

I

ln (n − 1)^t

^{(n − 1) ! \}

^{t (t + 1) · · (t + n − 1)}

≤ ln f (t) ≤ ln

I

(n + 1)^t

^{(n − 1) ! \}

^{t (t + 1) · · (t + n − 1)}

si "elimin and" ln,

_{(n − 1)}^{t (n − 1) !}

^{t (t + 1) · · (t + n − 1)}

≤ f (t) ≤ (n + 1)^t

(n − 1) ! t (t + 1) · · · (t + n − 1)

rela tii care sunt adev arate pentru orice n > 1, din care rezult limita"

prin "trecere la

_{f (t)} ^{din 12.4.4}

Γ(t) c and 0 < t < 1

Faptul c

o egalitate ca cea precedent

are loc pentru orice t > 0 se deduce

din propriet a tile func tiei Γ (vezi (12.29) si (12.38) ).

OBSERVAT¸ IA 12.4.6. Interesul pe care ıl reprezint

func tia Γ se datoreaza

faptului c

este o o extensie la o func tie de clas

C^{( )} a aplica tiei "factorial"

^{n → n ! (vezi (12.29)) ; teorema 12.4.5 arat}

de fapt nu sunt "multe posi-

bilita

tii" ın aceast

direc tie. Desigur, sunt multe aspecte importante legate de

proprieta

tile func tiei Γ care nu au fost prezentate aici ; scopul principal urmarit

a fost acela de furniza exemple de utilizare a rezultatelor de la sec tiunea 12.3.

datorit a 12.4.3, B joac

mai curand un rol secundar fa t a de

^{Γ. Este util de observat c a pentru t ∈ (0, 1),}

Γ(t) Γ(1 t) = ^{Γ(t) Γ(1 t)} Γ(t + (1 t) )

din 12.4.3 _{B(t, 1 t)}

din 12.4.2

^{sin t π}

^{deci Γ(t) Γ(1 t) = sin t π cand t ∈ (0, 1) (12.40)}

^{In cazul t = 1 2, din egalitatea precedent a se ob tine}

_{Γ( 2) = .}

La 12.2.11 s-a ar atat c

₊

importan taˇ

special

ın Analiza. Iat a si o alt a demonstra tie care utilizeaza

func tia Γ ; avem

(vezi 11.5.6)

e^−x2 dx = 2 ^Z

⁰

^{e−x2 dx si cu schimbarea de variabila}

EXEMPLU 12.4.7. S

presupunem c

a, b > 0 sunt numere reale si

^{f : [0 1] → R, o func tie -masurabil a astfel ınc at t → f (t) ta+b 1 este inte-}

grabila, i.e.

^rr 1

0

|f (t)| t^{a+b 1} dt < + . ^(12.41)

Atunci, dac

D = , func tia

(x, y) → f (x + y) x^a y^{b 1} cu (x, y) ∈ D este integrabila

si

rrrr

D

f (x + y) x^{a 1} y^{b 1} dxdy = ^{Γ(a)Γ b)} Γ(a + b)

rr ₁

0

f (t) t^{a+b 1} dt .

(12.42)

S observ am mai ınt ai c

^{definind Ω = ,}

^{atunci Ω este o mul time deschis a ın R2 si D Ω este neglijabila, prin urmare este}

suficient s

se analizeze integrabilitatea restric tiei la Ω a func tiei de la 12.42.

^{Fie " " dat de}

x = t (1 u) si y = t u cand (t, u) (0 1) (0 1)

_{din care se ob tine}

  t = x + y    si u =

y

, x + y

prin urmare este bijectiv a, evident de clas a C⁽¹⁾ si

¹ _x

¹

¹ _t

^{x 1}

_u ¹

    ¹ _{1 u −t} ¹

_{det (t, u) =} ¹

¹ ₌ ¹

¹ _{= t}

Rezulta

¹ _y

  ¹

^{1 t}

¹

  ^{y 1}

^{u 1}

^{1 u t 1}

_def

^{I =}

rrrr

D

f (x + y) x^a y^{b 1} dxdy =

rrrr

rrrr

(0,1) (0,1)

f (t) t^a (1 u)^{a 1} t^b u^b t dtdu =

=

^{(0,1) (0,1)}

^{f (t)ta+b 1 (1 u)a ub dtdu ,}

_{sub rezerva (vezi 12.2.7) c}

_{egalitatea precedent a are sens dac}

_{ultima func tie}

_{corespunzatoare semnului} ^RR _{este integrabil a. Pentru aceasta (vezi 4.5.1), s a}

observam caˇ

rrrr

(0,1) (0,1)

|f (t) t^a+b (1 u)^a u^{b 1} dtdu ^{din 6.4.10}

^rr ₁ ^Irr ₁

=

^\

^{|f (t) ta+b (1 u)a ub 1 du}

^{dt =}

0

^rr ₁ ^Irr ₁

=

0

^\

^{(1 u)a ub du}

^{|f (t) ta+b dt din 12.4.3}

0 0

_{Γ(a)Γ b)} ^{rr 1}

₌

_{|f (t) t}^{a+b 1} _dt

_{din (12.41)}

_{< + .}

^{Γ(a + b)} ₀

In final, (12.42) se ob tine reluand practic acela si calcul ca mai sus (far a " | "), utilizand de data aceasta 6.4.12.

^{De remarcat aici cazul particular a = b = 1 2. Atunci dac a f : [0 1] → R}

_{f (x + y)}

^{este integrabil a, atunci este integrabil}

x, y > 0, x + y ≤ 1 si

^{si func tia definit a de}

_{1 1}

^{√x y cand}

^rrrr

_{f (x + y)}

^{√x y dxdy = (Γ( 2))}

₂ ^rr

0

^rr

^{f (t) dt =}

0

f (t) dt .

EXEMPLU 12.4.8. In leg atur

cu 10.6.19, ne propunem saˇ calcul am

ın care norma fixat

(B(0 1)) = ( )

ın R^p este aici

_{|x|| =}

^q

_{x2 + · · + x2}

_{cand x = (x . . . , xp ) Rp}

1 p

Pentru c a "dimensiunea" p va fi important

ın argumentele care urmeaz a,

^{vom folosi} k ^{pentru a desemna masura natural a ın Rk si vom nota}

^{Fie a}_k

_def

⁼ k ^(Bk ^{(0 1)).}

^{Cand k ≥ 2 este fixat, avem ın vedere utilizarea lui 6.4.4, cu Rk = Rk 1 R}

^{si k = k 1 µ . Desemn and prin [ Bk (0 1) ] (x}_k ^{) (vezi 6.4.1), sec tiunea}

^{mul timii B}_k ^{(0 1) pentru x}_k ^{fixat, avem}

_def

2 2 2

^{[ Bk (0, 1) ] (xk )}

^{= f (x . . . , xk ) x1 + · · + xk 1 + xk < 1 =}

₌ ⁿ _{(x1 . . . , xk}

^{1 k 1 k k}

dac

aˇ x_k ∈ [ 1 1] si [ B_k (0 1) ] _{(xk )} = ∅ cand x_k ç∈ [ 1 1]. Rezultaˇ

^{rr 1}

1

_{k 1} ^{( [ B}_k ^{(0 1) ]} _{(xk )} ^dx_k ⁼

^rr ₁

=

¹

k 1

^I

^Bk 1

^{I q \ \}

dx_k

vezi 10.6.19

^rr 1 ^{Iq \k 1}

¹

k

₁ (B

k 1

(0 1)) dx_k

^{= 2 a}

k 1

^rr ₁

0

_{( 1 t )}^k _dt

Vom arata acum c

^{pentru fiecare n ≥ 1}

^{rr 1 1 \}_n

_{1 t}²

_n

Intr-adevar, cu schimbarea de variabil a dat

_{de aplica tia t(u) = u,}

^rr 1 ^{1 \}_n

₁ ^rr 1 _{1 n}

^{1 t2}

0

dt =

²

^{u− 2 (1 u) 2 dt =}

0

₁ ^rr _{1 1}

_{n din (12.30) , 12.4.3}

_{1 Γ(} ¹ _{) Γ(} ⁿ _{+ 1)}

_{din 12.4.6}

² ₀

^{2 2} ₌