IMPLICATIE SI DEDUCTIBILITATE

IMPLICATIe SI deductibilitate

3. 1. Implicatia materiala si deductia

Relatia "P implica Q" sau "Daca P atunci Q" am numit-o in capitolul anterior implicatie, respectiv, implicatie materiala si am notat-o cu "P Q". Am spus cu aceasta ocazie ca implicatia este fundamentul rationamentului deductiv, afirmatie pe care voi incerca sa o explic in cele ce urmeaza.

Orice rationament deductiv poate fi reformulat ca o implicatie, si invers, orice implicatie poate fi reformulata ca o inferenta. In loc de

Toti A sunt B

si

Unii C nu sunt B (1)

deci

Unii C nu sunt A

putem spune:

Daca

Toti A sunt B

si

Unii C nu sunt B, (2)

atunci

Unii C nu sunt A.

Intre (1) si (2) exista o deosebire esentiala: (1) este un rationament si, ca rationament, el poate fi valid sau nevalid; (2), in schimb, este propozitie si, ca propozitie, ea poate fi adevarata sau falsa.

Intrebarea atunci este cum isi corespund validitatea, respectiv, nevaliditatea rationamentelor cu adevarul, respectiv, falsul implicatiilor?

Raspunsul nu este greu de intuit: daca rationamentul este valid, implicatia nu poate fi falsa, iar daca este nevalid, implicatia nu poate fi adevarata.

Dar cand este rationamentul valid?

Din analiza exemplelor efectuata in paragraful anterior am vazut ca exista trei cazuri in care rationamentul poate fi valid, si anume:

● cand premisele lui sunt adevarate si concluzia adevarata;

● cand premisele sunt false si concluzia este adevarata;

● cand premisele sunt false si concluzia este falsa.

Sa nu confundam, insa. In cele trei cazuri rationamentul nu este obligatoriu valid, am aratat foarte clar acest lucr 545b14f u, el doar poate fi valid. Altfel spus, doar in aceste trei cazuri validitatea este posibila.

Cand este atunci implicatia materiala adevarata si cand este ea falsa?

Raspuns: implicatia este adevarata in toate cazurile in care rationamentul poate fi valid si este falsa in unicul caz in care el este nevalid.

Obtinem, in final, urmatoarea definitie de adevar pentru implicatie (cu v am notat adevarul si cu f, falsul):

Aceasta este asa numita implicatie materiala si definitia ei matriciala. Expresia "P Q" se va citi: "P implica Q" sau "Daca P, atunci Q".

Propozitia P se numeste antecedent, iar Q, consecvent (Russell simbolizeaza implicatia cu P Q, iar Lukasiewicz cu Cpq).

In loc de "implicatie", respectiv, "propozitie implicativa" intalnim uneori denumirile de "conditional", "propozitie conditionala" sau "propozitie ipotetica", denumiri nu tocmai adecvate dupa parerea mea si voi arata imediat de ce.

In P Q, adevarul lui P nu este o simpla conditie pentru adevarul lui Q, el este determinant pentru Q (altfel spus, Q nu poate fi adevarat fara sa fie adevarat P). Prin urmare, implicatia nu se reduce la o simpla relatie de conditionare, ea este o relatie de un cu totul alt gen.

Nici denumirea de "propozitie ipotetica" nu este in afara oricarei obiectii. Conform denumirii, propozitia "P Q" ar trebui citita: "in ipoteza ca P, are loc Q" ceea ce ar presupune ca nu se cunoaste adevarul lui P (altfel P nu s-ar mai numi ipoteza). Or, noi am definit valoarea propozitiei "P Q" in functie de valorile lui P si Q pe care le-am presupus cunoscute in egala masura.

In fine, nu trebuie confundata implicatia materiala cu implicatia cauzala pentru ca, desi se citesc la fel, cele doua inseamna lucruri foarte diferite. Implicatia cauzala nu este o relatie logica, ci una ontologica, ea inseamna: "ori de cate ori se produce P, se produce Q" sau "daca are loc P (cauza), are loc Q (efectul)".

Implicatia materiala este altceva, ea inseamna: "adevarul lui P implica adevarul lui Q" sau "daca este adevarat P, atunci este adevarat Q". Am putea spune, eventual, ca adevarul lui P este cauza pentru adevarul lui Q, totusi, nu cred ca implicatia materiala este un caz particular al implicatiei cauzale, cele doua sunt si trebuie sa ramana distincte (v. si cap. V, inductia cauzala).

Sa mai notam ca daca P il implica pe Q si Q il implica pe P, atunci P si Q sunt echivalente. Aceasta echivalenta dintre P si Q este numita "echivalenta materiala" si se simbolizeaza cu P º Q.

Problemele implicatiei si-au gasit dezvoltarea in logica moderna (la ora actuala exista chiar mai multe tipuri de implicatie) insa nu putem spune ca acest concept s-ar datora exclusiv logicii moderne. Anticii dispuneau de cel putin doua implicatii - unul i se datoreaza lui Filon din Megara, celalalt lui Diodorus Cronus. De exemplu, cititorul poate compara definitia matriciala a implicatiei, data mai sus, cu urmatorul pasaj din Sextus Empiricus:

Astfel, sunt trei moduri in care un conditional poate fi adevarat si unul in care el poate fi fals. Caci un conditional este adevarat cand incepe cu un adevar si se termina cu un adevar, ca in cazul "Daca este ziua este lumina"; este adevarat, de asemenea, cand incepe cu un fals si se termina cu un fals, ca "Daca pamantul zboara, are aripi" si, in mod similar, un conditional care incepe cu un fals si se termina cu un adevar este ca atare adevarat, ca "Daca pamantul zboara, pamantul exista". Un conditional este fals numai cand incepe cu un adevar si se termina cu un fals, ca "Daca este zi, este noapte [1].

Cum trebuie intelese aceste implicatii?

Sa luam propozitia "Daca pamantul zboara, pamantul are aripi". Propozitia nu spune ca pamantul realmente zboara si nici ca ar avea aripi, ci doar ca daca ar zbura, el ar avea aripi. Antecedentul si consecventul sunt propozitii false, totusi, implicatia este adevarata.

Asemanarea cu definitia matriciala a implicatiei materiale este atat de mare incat multi folosesc denumirea de "implicatie filoniana" pentru ceea ce numim indeobste "implicatie materiala".

In logica moderna discutia despre implicatie este deschisa de Frege in lucrarea sa din 1879, Begriffsschrift insa definitia ei propriu zisa apare in Principia Mathematica (1910 - 13):

Cand o propozitie q urmeaza dintr-o propozitie p, cu alte cuvinte, cand p este adevarata q trebuie sa fie, de asemenea, adevarata spunem ca p implica q. Ideea de implicatie in forma in care avem aici nevoie de ea poate fi definita. Intelesul dat implicatiei in cele ce urmeaza poate parea la prima vedere ceva artificial; cu toate ca exista si alte intelesuri legitime, cel adoptat aici este de departe cel mai potrivit scopurilor noastre fata de oricare dintre rivalii sai. Proprietatea esentiala pe care o cerem implicatiei este aceasta: "Ceea ce este implicat de o propozitie adevarata este adevarat". Ea este proprietatea in virtutea careia implicatia produce demonstratii. Insa aceasta proprietate nu determina in nici un fel daca ceva este implicat de o proprietate falsa si, daca da, ce anume. Ceea ce determina ea este ca, daca p implica q, atunci nu poate fi cazul ca p este adevarat si q fals, adica ori p trebuie sa fie fals, ori q adevarat. Cea mai convenabila interpretare a implicatiei este ca daca p este fals sau q adevarat, atunci "p implica q" este adevarat. Din aceasta cauza "p implica q" este definita prin "sau p este fals, sau q este adevarat".

In virtutea definitiei de mai sus, cand p q are loc, ori p este fals, ori q adevarat; de aceea, daca p este adevarat, q trebuie sa fie adevarat. In felul acesta definitia realizeaza caracteristica esentiala a implicatiei; ea da, in fapt, cel mai general inteles al implicatiei compatibil cu pastrarea acestei caracteristici.[2]

Sa retinem si de aceasta data cateva idei ca mai importante:

● Implicatia este o relatie intre propozitii. Logic vorbind, ea exprima raportul dintre premisele si concluzia unui rationament.

● Daca antecedentul implicatiei este adevarat si consecventul fals, implicatia este falsa; in toate celelalte cazuri implicatia este adevarata.

● Adevarul/falsul implicatiei corespunde validitatii/nevaliditatii rationamentelor.

● Propozitia "P implica Q" se mai poate reda prin "Nu este adevarat P si non-Q", respectiv, "non-P sau Q" (in viziunea lui Russell aceasta explica de ce intr-o implicatie adevarata P nu poate fi adevarat si Q fals).

3. 2. Implicatia formala.

Denumirea de "implicatie formala" apare tot in Principia Mathematica si este atribuita propozitiilor de forma: "Daca x este A, x este B, oricare ar fi x". Simbolic: x A(x) B(x) . Propozitia "Socrate este om", de exemplu, implica propozitia "Socrate este muritor", aceasta implicatie este un caz particular al implicatiei formale (cazul cand x = Socrate, A = Om si B = Muritor).

Daca notam antecedentul si consecventul acestei implicatii cu P, respectiv, Q obtinem P Q. Deci implicatia materiala este ea insasi un caz particular al implicatiei formale, sau invers, implicatia formala este un caz particular al implicatiei materiale, depinde cum privim lucrurile.

Echivalenta formala x A(x) º B(x) se defineste ca implicatie reciproca. De exemplu, "oricare ar fi x, Om(x) implica Rational(x) si Rational(x) implica Om(x)". Simbolic: x Om(x) º Rational(x)

Asa cum am spus si in capitolul anterior, propozitiile de predicatie "Toti A sunt B", "Nici un A nu este B" etc. pot fi intelese ca implicatii formale (domeniul variabilei x este in acest caz extensiunea celor doi termeni ai propozitiei, A si B).

3. 3. Implicatia stricta.

Desi exprima corect raportul dintre premisele si concluzia unui rationament deductiv, implicatia materiala are totusi cateva proprietati mai greu de inteles din punct de vedere intuitiv.

Observam mai intai ca in definitia matriceala a implicatiei, adevarul este implicat de orice (atat de adevar, cat si de fals) in timp ce falsul implica orice (atat adevarul cat si falsul). Acestea sunt asa numitele paradoxuri ale implicatiei materiale si au urmatoarea exprimare simbolica:

P (Q P)  (1)

~P (P Q)  (2)

Expresia (1) spune ca daca P este adevarata, atunci P este implicata de o propozitie oarecare Q. A doua spune ca daca P este falsa, atunci P implica o propozitie oarecare Q. Alte expresii, cum ar fi:

(P Q) (Q P)  (3)

~(P Q) (~P Q)  (4)

aduc in discutie alte aspecte. Conform expresiei (3), daca P si Q sunt propozitii adevarate, atunci sau P implica Q, sau Q implica P.

In fine, ultima expresie spune ca daca P nu implica Q, atunci propozitia "P este falsa" il implica pe Q.

Aceste proprietati plus inca multe altele, de acelasi fel cu ele, ne indeparteaza de intelesul obisnuit al termenului "implica". De exemplu, conform primei expresii, propozitia "Daca 2 + 2 = 4, atunci Bucurestiul este capitala Romaniei" este o propozitie adevarata. La fel de adevarata este propozitia "Daca luna este patrata, atunci pamantul este satelitul sau".

Situatia se explica prin faptul ca implicatia materiala este o relatie pur extensionala, ea tine seama doar de valoarea logica a propozitiilor pe care le leaga, nu si de continutul acestora (de aici si denumirea de "implicatie materiala").

Incepand cu 1918, C.I. Lewis a propus un nou concept de implicatie prin care incerca nu doar sa evite neajunsurile implicatiei materiale, ci si sa exprime mai fidel relatiile dintre premisele si concluzia unei inferente. Noua implicatie, numita implicatie stricta, se noteaza cu "P Q" si se defineste cu ajutorul conceptului modal posibil pe care il Lewis simbolizeaza cu "à

P Q = _df ~ à (P · ~ Q)  (5)

"P implica strict Q" este identic prin definitie cu "Nu este posibil P si non-Q". Mai departe, daca il transcriem pe à (posibil) prin (necesar), conform definitiei cunoscute, obtinem ~ (P · ~ Q) care este echivalenta cu (P Q). Prin urmare:

P Q = _df ~ (P Q)  (6)

"P implica strict Q" este identica prin definitie cu "Necesar P implica material Q". S-a ajuns astfel la un concept modal de implicatie care, in opinia lui Lewis, exprima nu doar mai clar, ci si mai corect relatiile dintre propozitii in structura unei inferente deductive.

In lumina tuturor acestor fapte reiese ca relatia de implicatie stricta exprima tocmai relatia valabila atunci cand este posibila o deductie valida si inceteaza sa fie valabila cand o deductie valida nu este posibila. In acest sens se poate spune ca sistemul implicatiei stricte furnizeaza canonul si critica inferentei deductive care constituie dezideratul investigatiei logice[3].

Ce se intampla cu paradoxurile implicatiei materiale, sunt evitate ele de noul concept de implicatie propus de Lewis?

In sistemele implicatiei stricte (T, S1, S2 etc.) paradoxele implicatiei materiale  reapar insa de data aceasta ele iau forma unor expresii modale:

àP (PQ) (7)

ðP (Q P) (8)

Prima expresie se va citi: daca este imposibil P, atunci din P se deduce o propozitie oarecare Q. In schimb, daca P este necesara (expresia a doua), atunci P se deduce dintr-o propozitie oarecare Q.

Prin urmare, in privinta paradoxelor, cel putin, implicatia stricta nu aduce lucruri esential noi, totusi, ea a marcat o cotitura in dezvoltarea logicii modale (cercetarile legate de sistemele implicatiei stricte constituie ceea ce am numit in capitolul anterior directia sintactica din dezvoltarea logicii modale).

3. 4. Implicatia intuitionista

Sintagma "logica intuitionista" desemneaza clasa sistemelor formale, in special cele de logica propozitiilor si logica predicatelor, inspirate din conceptia lui Brouwer asupra matematicii. De referinta este sistemul lui Heyting din 1930 cu 11 axiome.

Caracteristic pentru aceste sisteme este ca provin din matematica si sunt destinate in exclusivitate nevoilor matematicii. "Logica noastra, scrie Heyting, are de-a face numai cu propozitii matematice". Mai exact, propozitiile acestor sisteme logice se refera, la constructii matematice, eventual la metodele unor astfel de constructii. De exemplu, propozitia = m inseamna: "exista o metoda de calcul pentru operatia radical care aplicata numarului n da numarul m".

Avand in vedere ca din punct de vedere intuitionist, a fi inseamna a fi construit, variabilele propozitionale din sistemul lui Heyting se refera la lucruri efectiv construite si la metode de constructie (este eliminata orice propozitie care aserteaza existenta in general). Fiecare propozitie, spune Heyting, semnifica "intentia unei constructii matematice care satisface anumite conditii".[4]

Ce semnificatie au operatorii logici in sistemul lui Heyting?

Sa incepem cu asertarea intuitionista. Simbolul p inseamna un lucru foarte precis, si anume, ca s-a realizat constructia lui p sau, cel putin, dispunem de metoda realizarii ei. In acest caz, constructia demonstreaza propozitia p sau este demonstratia lui p. Prin urmare, a aserta din punct de vedere intuitionist inseamna a afirma ceva ca demonstrat (realizat).

Negatia intuitionista, notata "Øp", este o negatie modala, ea inseamna este imposibil p (din supozitia lui p se ajunge la o contradictie).

Ceva asemanator se poate spune si despre implicatie. Propozitia p q este asertata (afirmata) atunci cand, dispunand de o metoda de constructie r pentru p, din constructia lui p rezulta automat constructia lui q (nu este posibil a-l construi pe p fara q).

Implicatia poate fi afirmata, spune Heyting, atunci si numai atunci cand noi dispunem de o astfel de constructie r care fiind asociata cu orice constructie care demonstreaza pe p (in presupunerea ca ultima a fost indeplinita), ar da in mod automat o constructie care demonstreaza pe q. Cu alte cuvinte, constructia lui p impreuna cu constructia r ar forma demonstratia lui q.[5]

Astfel definita, implicatia intuitionista nu mai are aceleasi proprietati formale cu implicatia materiala din logica bivalenta ceea ce face ca nici schemele de inferenta pe care le subantinde ea sa nu mai fie aceleasi[6]. De pilda, contrapozitia implicatiei si dubla negatie nefiind legi logice in sistemul lui Heyting, nici schemele de rationament subsumate lor nu vor mai fi valabile. In plus, implicatia intuitionista nu poate fi transcrisa prin conjunctie, respectiv, disjunctie si negatie cum se intampla cu celelalte implicatii. Nu se mai poate sustine ca in Principia Mathematica, de exemplu, ca p q inseamna acelasi lucru cu q din simplul motiv ca cele doua formule presupun procese de constructie diferite.

Totusi, implicatia intuitionista intalneste implicatia materiala in cateva din proprietatile ei fundamentale. De pilda, cele doua paradoxe ale implicatiei materiale p (q p), respectiv, Øp (p q) se regasesc printre axiomele sistemului lui Heyting (este vorba de axioma 5 si axioma 10). Or, aceasta spune foarte mult despre raporturile celor doua implicatii, iar daca ar fi sa dam crezare unor autori, apropierile lor sunt mai importante decat deosebirile (cele doua concepte sunt opuse numai in specie, nu si in gen).

3. 5. Implicatia relevanta

Urmatorul moment important din dezvoltarea conceptului de implicatie revine implicatiei relevante. Inspirat din ideea lui Ackermann de «strengen implikation»[7], acest concept de implicatie a fost definitivat de Anderson si Belnap in cartea lor din 1975, Entailment. The Logic of Relevance and Necessity.

Pentru cei doi autori implicatia reprezinta nici mai mult, nici mai putin decat "inima logicii" (the heart of logic) acesta fiind si titlul primului capitol al cartii lor. Ei nu recunosc paradoxurile implicatiilor anterioare din simplul motiv ca nici respectivele implicatii nu sunt recunoscute de ei ca fiind implicatii.

Sub doua conditii autorii critica conceptul clasic de implicatie, si anume: sub conditia necesitatii si sub conditia relevantei. Ei admit totusi ca implicatia este reversul deductiei, ca daca Q se deduce logic din P, atunci adevarul lui P antreneaza (atrage dupa sine) adevarul lui Q. In locul termenului consacrat de implicatie (implication) este folosit termenul entaillment (antrenare).

Ce inseamna insa ca ceva se deduce din altceva?

Spre deosebire de celelalte implicatii in care ideea de deductie era luata ca ceva de la sine inteles, in cazul de fata operatia deductiei este configurata prin regulile calcului natural sau a deductiei naturale. Se prefera ca varianta de lucru varianta lui Fitch din 1952, o forma de deductie naturala ce legitimeaza trei dintre proprietatile fundamentale ale implicatiei, si anume:

P P  (1)

P (Q P)  (2)

(P (Q R)) ((P Q) (P R))  (3)

Luate ca axiome, aceste legi dau subsistemul H corespunzator partii implicative a sistemului intuitionist construit de Heyting.

Implicatia intuitionista este insa un hibrid, ea are nu doar proprietatile implicatiei clasice ci si unele din proprietatile implicatiei relevante. Retine in mod special atentia proprietatea exprimata prin

P (Q P), respectiv, P (Q Q)  (4)

potrivit carora o propozitie adevarata este implicata de orice propozitie. Quine aratase inca din anii cincizeci ca in "citirea" acestor proprietati adeseori se confunda utilizarea cu mentionarea (limbajul cu metalimbajul), ca forma

P implica (Q implica P),

este, daca nu paradoxala, cel putin discutabila. In schimb, forma

Daca P, atunci (daca Q atunci P),

este mai naturala, mai in spiritul ideii de deductie.

Corectarea lui H sub conditia necesitatii are ca rezultat partea implicationala a sistemului modal S4 (Lewis, 1932).

Ceea ce sustin, si pe buna dreptate, Anderson si Belnap este ca, intrucat deductia sta sub semnul necesitatii, logic ar fi ca si implicatia, care este reversul deductiei, sa impartaseasca acelasi concept de necesitate. Prin urmare, conchid autorii, implicatiile adevarate sunt necesar adevarate, iar un adevar implicat de un adevar necesar este, la randul lui, un adevar necesar.

In aceasta intelegere a lucrurilor, formula P (Q P) nu mai reprezinta un paradox, ea este pur si simplu falsa. Intr-adevar, daca P este un adevar contingent, iar Q unul necesar ar insemna ca ceva adevarat (acesta fiind P) sa implice ceva fals (respectiv, Q P) si deci intreaga implicatie este falsa.

Operatorul modalitatii P din S4 este definit de Anderson si Belnap prin

P =_df P P P  (5)

Scris in forma aceasta, fara paranteze, definiendumul poate fi inteles in doua moduri:

P ( P P)  (6)

(P P) P  (7)

care pot fi adevarate doar daca P este necesar adevarata.

Interesanta, dar mai ales inedita, este critica implicatiei din perspectiva conditiei relevantei. Falacia relevantei era cunoscuta logicienilor din antichitate insa nimeni nu a simtit nevoia sa formuleze aceasta conditie pentru implicatie. Intrebarea este cum poate adevarul lui P sa implice adevarul lui Q daca P nu este relevant pentru Q, daca cele doua propozitii nu sunt legate din punct de vedere al continutului?

O cerinta minimala privind relevanta implicatiei este ca variabilele antecedentului sa se regaseasca printre variabilele consecventului, conditie pe care Anderson si Belnap au dezvoltat-o si din punct de vedere formal.

Corectarea lui H sub conditia relevantei are ca rezultat sistemul R echivalent cu partea implicationala a sistemelor de logica relevanta construite de Moh (1950) si Church (1951). Sistemul R este insa deficitar in privinta necesitatii si, in plus, contine paradoxul modalitatii P (Q P).

Daca in aceasta formula il vom inlocui pe Q cu P P obtinem

P ((P P) P) (8)

din care, prin definitia necesitatii (5), obtinem formula falsa P P

Pentru ca nici unul din sistemele obtinute nu rezolva pe deplin problema paradoxurilor implicatiei, ne mai ramane o singura solutie - combinarea celor doua conditii. Sistemul astfel obtinut este sistemul E de logica relevanta cu 18 postulate (16 axiome si doua reguli de deductie) construit de Anderson si Belnap in primul volum din Entailment. Dupa expresia autorilor, E capteaza conditia necesitatii si a relevantei intr-un sens "matematic definit"[8].

Iata in ce termeni aprecia Newton da Costa conditia relevantei logice pentru conceptul de implicatie definit prin cele doua sisteme:

In logica relevantei punctul crucial rezida in faptul de a nu se accepta A Þ B ca fiind adevarata decat atunci cand A este relevant pentru B. La prima vedere, este greu de precizat ce se intelege prin aceasta. Daca A Þ B este adevarata, evident ca A si B trebuie sa aiba «ceva in comun», semnificatiile lor neputand fi complet eterogene. Astfel, atat in E cat si in R, daca A Þ B, atunci A si B au cel putin o variabila in comun. De altfel, relevanta lui A pentru B mai poate fi exprimata si intr-un alt mod: drumul ce duce la B in demonstratia lui A Þ B trebuie sa treaca in mod obligatoriu prin A ceea ce devine evident prin versiunile teoremei deductiei pentru E si R. Astfel, notiunea de relevanta a lui A cu privire la B, in A Þ B, poate fi precizata si tratata formal, in opozitie cu ceea ce au tendinta sa creada multi logicieni clasicisti.[9]

Din E pot fi obtinute sistemele R si P (Ackermann) prin modificari corespunzatoare ale axiomelor lor. In plus, apreciaza da Costa, logica relevantei poate servi ca fundament teoriilor inconsistente dar netriviale astfel ca "majoritatea logicilor relevantei fac parte din logicile paraconsistente".[10]

3. 6. Teorema deductiei si rationamentele nonmonotonice.

In incheierea acestor consideratii voi face cateva precizari in legatura cu una dintre cele mai importante teoreme ale logicii moderne - asa numita "teorema fundamentala a deductiei". Teorema a fost demonstrata de Herbrand in 1930 si se refera la raportul dintre implicatie si deductibilitate.

Inferenta de la A la B o notam ca si pana acum cu A B si o citim: "B se deduce logic din A" (A poate fi o propozitie sau o multime de propozitii).

Conform teoremei lui Herbrand, oricarei deductii valide ii corespunde o implicatie adevarata si invers, oricarei implicatii adevarate ii corespunde o deductie valida. Teorema poate fi formulata in sens restrans:

A B (1)

A B

si in sens generalizat:

A₁, A₂, ., A_n B (2)

A₁, A₂, ., A_n-1  A_n B.

Demonstratiile acestor teoreme nu fac obiectul prezentei lucrari.

De notat ca relatia " " are o serie de alte proprietati pe care, de asemenea, le putem reda in forma simbolica:

A A,

(Relatia " " este reflexiva, altfel spus, A se deduce logic din A).

Daca A B atunci A, C B

(La premisele unei deductii valide se pot adauga alte premise).

Daca A, A, C B, atunci A, C B.

(Intr-o deductie valida premisele redundante pot fi omise).

Daca A, B, C, D E, atunci A, C, B, D E

(Intr-o deductie valida ordinea premiselor poate fi inversata).

Daca A B si B, C D, atunci A, C D.

(Relatia " " este tranzitiva).

Daca A, B C si B, C A, atunci A º_B C

(Daca din A si B se deduce C si din B si C se deduce A, atunci A si C sunt deductiv echivalente relativ la B).

Spre deosebire de relatia de definitie care este o relatie de ordine tare, deductibilitatea este o relatie de ordine slaba sau partiala (este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva). Cele doua relatii sunt esentiale pentru organizarea logica a unei teorii (v. Introducere, conceptele de teorie si metateorie).

Inchei cu o observatie asupra proprietatii 2), proprietate conform careia concluzia unei inferente nevalide nu se modifica oricate propozitii adevarate am adauga premiselor. Cel care a atras pentru prima data atentia asupra acestei proprietati este G. H. Massey intr-un studiu din1981:

.dupa cum stie oricine, spune Massey, un argument deductiv ramane valid oricate alte premise i se adauga[11].

Rationamentele care au proprietatea 2) se mai numesc si "rationamente monotonice" sau "monotone" (denumirea vine de la ideea de sir monoton din matematica). De exemplu, silogismul

Toate balenele sunt mamifere

Toate balenele sunt animale acvatice

Unele animale acvatice sunt mamifere

este un astfel de rationament pentru ca oricate propozitii adevarate am adauga celor doua premise, concluzia ramane aceeasi.

In ultima vreme se vorbeste si de rationamente nonmonotonice, rationamente care nu au aceasta proprietate. Asa numita logica defaultica (default logic) initiata de Raymond Reiter in 1980 are ca obiect o specie aparte de rationamente nonmonotonice - rationamentele in conditiile absentei unor informatii complete[12].

"Default" in engleza inseamna lipsa, absenta (in default of = in lipsa de) deci logica defaultica ar fi un fel de logica a omisiunii (pentru a nu induce semnificatii nedorite prefer, cel putin in acest stadiu al discutiei, denumirea de "logica defaultica").

Urmatorul rationament:

Filip ar fi avut motive sa comita infractiunea cutare.

Filip nu are un alibi satisfacator;

Filip este suspect.

este un rationament defaultic (adaugarea de premise adevarate ar putea modifica si chiar anula concluzia). Se intelege ca nici teorema deductiei nu mai este valabila pentru acest gen de rationamente.