INTRODUCERE IN TEORIA PROBABILITATII

INTRODUCERE ÎN TEORIA PROBABILITĂŢII

8.1 : Câmp de evenimente : câmp de probabilitate

Fie E - o multime nevida : fie - o multime nevida de parti ale lui E.

Definitie : perechea ( E , K ) este numita câmp de evenimente daca au loc

proprietatile :

- 1: ;

- 2: .

Aici prin am notat complementara multimii A .

Nota : elementele multimii K vor fi numite evenimente .

Consecinte : - 1 : însasi multimea E este un eveniment , numit evenimentul sigur .

Demonstratie :

- 2: multimea vida este un eveniment , numit evenimentul imposibil

Demonstratie :

- 3 : intersectia a doua evenimente este tot un eveniment

Demonstratie :

== // ==

Categorii de evenimente : - evenimentele A , B se numesc compatibile , daca

;

- evenimentele A , B se numesc incompatibile , daca

.

Exemplu : consideram experienta : aruncarea unui zar omogen , cu înregistrarea

punctajului obtinut. Fie evenimentele

.

Consideram si fie K = multimea partilor lui E : atunci cuplul

( E , K ) este câmpul de evenimente asociat experientei în cauza.

De exemplu , în acest câmp , - pentru evenimentul "

A = " punctaj numar impar "

este valabila scrierea :

A = .

- pentru evenimentul

B = " punctaj "

este valabila scrierea :

B = .

Atunci avem :

Precizare importanta : - evenimentele de forma E_k , ce corespund la situatiile fizic

posibile ce apar în cursul experientei , vor fi numite

evenimente elementare ;

- multimea tuturor evenimentelor elementare va fi numita

uneori multimea de cazuri posibile asociata experientei ;

- multimea evenimentelor elementare implicata într-un

eveniment se mai numeste si multime de cazuri favorabile

pentru avel eveniment .

De exemplu , evenimentul de mai înainte , are drept

multime de cazuri favorabile , pe : .

Definitie : fie ( E , K ) un câmp de evenimente : o functie P : K → R se numeste functie

de probabilitate pe câmpul ( E , K ) , daca

== // ==

Consecinte :

- 1 : probabilitatea oricarui eveniment A verifica relatia : 0 P ( A )

Demonstratie : fie un eveniment A ; avem

-2 : probabilitatea evenimentului imposibil este zero

- 3: pentru orice evenimente A , B avem

Demonstratie :

== // ==

Observare : In cazul unui câmp finit de evenimente , drept functie de probabilitate

se poate lua functia elementara de probabilitate , data de :

De exemplu : pentru experienta cu aruncarea unui zar si înregistrarea punctelor :

pentru X = " punctaj 4 " , avem drept cazuri favorabile

, deci :

.

In cazuri în care numarul de cazuri favorabile nu poate fi utilizat , se ia în considerare

o definitie mai generala , anume :

Aici prin " masura " vom întelege " arie , greutate , volum , lungime , valoare , etc.

Exemplu : într-un patrat de latura 2 cm . este înscris un cerc .Se arunca la întîmplare un punct , în asa fel încât sa nimereasca în interiorul patratului.

Se cere probabilitatea ca punctul sa nimereasca în cercul înscris.

Rezolvare . drept " masura " vom folosi aria '

- multimea cazurilor posibile este multimea punctelor patratului , de arie 4 ;

- cercul înscris are raza 1 , deci aria sa este

- fie evenimentul : X = " punctul aruncat la întâmplare nimereste

în cerc "

- avem :

.

Definitie : - doua evenimente X , Y apartinând unui câmp de probabilitate dat

sunt independente , daca :

;

- doua evenimente X , Y apartinând unui câmp de probabilitate dat

sunt dependente , daca :

== // ==

Exemplu : In intervalul [ 0 ; 10 ] , se considera intervalele A = [ 1 ; 5 ] si B = [ 3 ; 9 ].

Se arunca la întîmplare un punct , astfel încât sa fie sigur ca nimereste în intervalul [ 0 ; 10 ].

Fie evenimentele : X = " punctul nimereste în intervalul A " ;

Y = " punctul nimereste în intervalul B " ;

Consideram , ca masura , lungimea .

Sa se stabileasca daca evenimentele X , Y sunt dependente sau independente.

Rezolvare :

avem

Cum

Relatia de control a independentei , , devine :

;

cum aceasta relatie este falsa , deducem ca evenimentele X , Y sunt dependente .

Definitie : evenimente conditionate ; câmp de probabilitate conditionat

Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitate : fie B - un eveniment din K ,

pentru care P ( B ) ≠ 0 ;

Câmpul de evenimente conditionat de catre evenimentul B , notat

prin ( E , K , P_B ) , are acelasi eveniment sigur E si aceeasi

multime de evenimente K , iar functia de probabilitate P_B

este data de :

.

Se verifica usor ca ( E , K , P_B ) verifica axiomele câmpului de evenimente .

In cazul unui câmp finit de evenimente , aceasta definitie revine la

urmatoarele :

Observare : definitia probabilitatii conditionate furnizeaza o formula de calcul

pentru probabilitatea intersectiei de evenimente dependente :

.

== // ==

Exemplu : într-o urna sunt 5 bile albe si 4 bile negre . Se extrag 3 bile , prin extrageri succesive : dupa fiecare extragere , bila nu se reintroduce în urna.

Se cere probabilitatea ca bilele sa fie ,în ordine : alba , neagra si alba.

Rezolvare : vom considera evenimentele :

- A_n = " la extragerea numarul " n " apare bila alba "

- B_k = " la extragerea numarul " k " apare bila neagra "

- X = " bilele extrase sunt , în ordine : alba , neagra si alba"

Avem evident :

,

deci :

Avem : - pentru A₁ , avem : 5 cazuri favorabile si 9 cazuri posibile , deci

;

- pentru , înseamna ca evenimentul s-a produs , deci urna va

fi acum o urna cu 4 bile albe si 4 bile negre .

A calcula , înseamna de fapt , a calcula probabilitatea

de a extrage o bila neagra din aceasta noua urna .

Deci , ;

- pentru , înseamna ca evenimentul s-a

produs deja , deci urna devine o urna cu 4 bile albe si 3 bile negre .

A calcula , înseamna de fapt , a calcula probabilitatea

de a extrage o bila alba din aceasta noua urna .

Pentru evenimentul avem 4 cazuri favorabile si 7 cazuri posibile , deci

.

In final , .

== // ==

REZUMAT DE FORMULE :

Exemplu : pentru evenimentele A , B , C prezentate în figura , se cere ,

Rezolvare : avem ,deci formula ( 6 ) devine :

== // ==

8.2 : Formula probabilitatii totale ; formula lui Bayes

Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitate : fie evenimentele

.

Atunci : pentru orice eveniment X din K , avem :

(1) ( formula probabilitatii

totale ) ;

(2)

( formula lui Bayes ) .

Demonstratie :

(1) :

(2) :

Aplicatie : se cultiva grâu de trei calitati , conform tabelului

Din cantitatea totala de 100 tone ,se alege la întâmplare un bob si se cultiva .

- a: se cere probabilitatea ca bobul sa germineze ;

- b : se cere probabilitatea ca un bob germinat sa fie de caliattea II .

Rezolvare : vom utiliza urmatorul sistem de evenimente:

Conform tabelului de date , avem : P (A₁) = 0 , 85 ; P (A₂) = 0 , 10 ; P (A₃) = 0 , 05 .

Evident ca avem :

Puterile de germinare revin la urmatoarele :

.

Atunci :

- aplicând formula probabilitatii totale :

deci din amestecul de 100 tone , germineaza 89 , 05 % dintre boabe .

== // ==

9.3 : Scheme probabilistice clasice

9.3.1: Schema lui Bernoulli :

Se considera o urna cu bile albe si negre : presupunem ca se cunoaste

- p = procentul de bile albe din urna ;

- q = procentul de bile negre din urna ;

avem evident : p , q > 0 ; p + q =1 .

Experienta efectuata este urmatoarea :

- se fac " n " extrageri ; dupa fiecare extragere , bila extrasa

se reintroduce în urna ( " extrageri cu revenire " sau

" prin probe independente" ).

Observare : extragerile " cu revenire " au ca efect faptul ca

dupa fiecare extragere , urna revine la starea

initiala ;

- în urma extragerilor , se înregistreaza valoarea indicatorului'

.

Evenimentele fundamentale asociate experientei vor fi :

Evenimentele au proprietatile urmatoare ;

- sunt doua câte doua incompatibile : ;

- reuniunea lor este evenimentul sigur :

;

- probabilitatea lor se calculeaza cu formula :

== // ==

Aplicatie : într-o urna sunt : 75 % bile albe si 25 % bile negre . Din urna se extrag ,

cu revenire , 12 bile .

Se cere probabilitatea ca :

- a: printre cele 12 bile extrase sa fie 9 bile albe ;

- b: printre cele 12 bile extrase sa fie cel mult 6 bile albe ;

- c: printre cele 12 bile extrase sa fie cel putin 8 bile albe ;

- d: numarul de bile albe aflate printre cele 12 bile extrase sa fie

cuprins între 5 si 11 ;

Rezolvare : comparând datele problemei cu notatiile modelului , gasim :

n = 12 ; p = 0,75 ; q = 0,25.

== // ==

Problema : în legatura cu aplicatia precedenta , se considera evenimentele

A = " numarul de bile extrase este 8 "

B = " numarul de bile extrase este

Stabiliti daca evenimentele A , B sunt dependente sau independente .

Rezolvare :

Relatia de control a independentei , anume : , devine

0, 3512 ∙0,9857 = 0,337 ,

adica : 0, 3462 = 0 , 337 .

Fiind falsa , deducem ca evenimentele A , B sunt dependente .

Problema : dintr-o urna cu 68% bile albe si 32% bile negre se fac extrageri , cu revenire,

de câte 15 bile . Se cere numarul cel mai probabil de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase .

Rezolvare : notam : x = numarul de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase ;

avem : .

Problema noastra revine la urmatoarea :

Deoarece variabila " k ' este numar întreg , vom folosi principiul combinatorial , pentru probleme de maxim , anume :

Relatia ( a) :

Relatia ( b ) :

In final , din :

.

Raspuns : cel mai frecvent , printre cele 15 bile extrase vor fi 10 bile albe .

== // ==

Problema : dintr- o urna cu bile albe si negre se fac extrageri , cu revenire ,

de câte 20 de bile . Se constata ca varianta : " printre cele 20 de bile extrase se afla 17 bile albe " apare mai frecvent decât orice alta varianta.

Ce se poate spune despre procentul de bile albe din acea urna?

Rezolvare : cu notatiile deja cunoscute , avem ;

.

Se stie ca :

ceeace , în conformitate cu principiul combinatorial , revine la :

Relatia (a) :

Relatia (b) :

In final , din :

.

Raspuns :

== // ==

9.3.2 : Schema urnei cu bile albe si negre : extrageri fara revenire

Datele problemei sunt urmatoarele : avem o urna pentru care se cunoaste :

- a = numarul de bile albe din urna ;

- b = numarul de bile negre din urna .

Din urna se extrag " n " bile; dupa fiecare extragere , bila extrasa nu se reintroduce în urna , astfel ca la fiecare extragere , compozitia urnei se modifica.

Observare : acest mod de extragere este echivalent cu extragerea simultana a întregului lot de " n " bile.

In urma experientei se consemneaza valoarea indicatorului :

Evenimentele fundamentale asociate experientei sunt :

.

Evenimentele au proprietatile urmatoare ;

- sunt doua câte doua incompatibile : ;

- reuniunea lor este evenimentul sigur :

;

- probabilitatea lor se calculeaza cu formula :

== // ==

Aplicatie : într-o urna sunt 20 de bile albe si 15 bile negre : se extrag 10 bile ; extragerile sunt fara revenire . In urma extragerii se consemneaza valoarea indicatorului

x = numar de bile albe aflate printre cele 10 bile extrase

Se cere probabilitatea ca :

- 1: numarul de bile albe sa fie de cel mult 7 ;

- 2: numarul de bile albe sa fie de cel putin 3 ;

- 3: numarul de bile albe sa fie cuprins între 2 si 8.

Rezolvare : identificând parametrii problemei , constatam ca avem :

a = 20 ; b = 15 ; n = 10

-1: se cere

- 2 : se cere :

- 3 : se cere :

Aplicatie : în legatura cu problema precedenta : sa se determine numarul cel mai probabil de bile albe aflate printre cele 10 bile extrase , adica valoarea lui " k " ,

este maxima.

Conform principiului combinatorial , avem:

- Relatia (1) :

- Relatia (2) :

In final , din relatiile : .

Raspuns : printre cele 10 bile extrase , cel mai frecvent apar 6 bile albe.

Aplicatie : Intr-o urna sunt 50 de bile , albe si negre . Se fac extrageri , fara revenire , de câte 15 bile si se înregistreaza valorile indicatorului:

x= numar de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase .

Se constata ca varianta care apare cel mai frecvent este : ( x = 12 ).

Ce se poate spune despre numarul de bile albe din urna ?

Rezolvare : sa notam cu a = numarul de bile albe din urna .

Notam f(k ) = P( x= k ) , deci :

.

Avem conditia : f (12) f(k) , pentru orice k = ; conform principiului combinatorial , aceasta revine la conditiile

adica :

In final : .

== // ==

9.3.3 : Schema urnei cu bile de mai multe culori :

\extrageri cu revenire .

Datele problemei sunt urmatoarele :

unde sunt valabile conditiile :

.

Din urna se extrag , cu revenire , " m " bile , înregistrându-se culorile acestora.

Evenimentele fundamentale corespunzatoare au aspectul:

Evident ca avem :

.

Formula :

== // // ==

9.3.4 : Schema urnei cu bile de mai multe culori :

\extrageri cu revenire .

Datele problemei sunt urmatoarele :

.

Din urna se extrag , fara revenire , " m " bile , înregistrându-se culorile acestora.

Evenimentele fundamentale corespunzatoare au aspectul:

A = " printre cele "m" bile extrase , sunt : x₁ bile de culoare C₁ ;

x₂ bile de culoare C₂,. , x_n bile de culoare C_n " ,

Evident ca avem : =m .

Formula

.

== // ==

9.4 : VARIABILE ALEATOARE

Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitati ;

Functia f : E R se numeste variabila aleatoare , daca are loc proprietatea :

Clasificarea variabilelor aleatoare :

- daca imaginea functiei f este formata numai din puncte

izolate , f se numeste variabila aleatoare discreta ( pres-

curtat : VAD ) ;

- daca imaginea functiei f este un inteval ,

f se numeste variabila aleatoare continua .

9.4.1: Variabile aleatoare discrete :

Fiind formata numai din puncte izolate , imaginea lui f are aspectul

;

vom considera pentru simplificarea notatiilor , ca :

.

Precizare : -numerele vor fi numite argumentele variabilei aleatoare " f " .

- multimile :

vor fi numite evenimentele fundamentale asociate variabilei aleatoare " f " .

- sistemul de evenimente are proprietatea :

;

= pentru vom nota : p_i = P(A_i) . Sistemul de probabilitati

are proprietatea :

- forma redusa a variabilei aleatoare " f " : pentru aplicatiile practice ,

variabila aleatoare discreta " f " va fi notata :

.

== // ==

9.4.2 : Vector aleator : variabile aleatoare independente

Pe un câmp de probabilitate se definesc simultan doua variabile aleatoare discrete ,

" f " si " g " : presupunem ca aceste variabile au forma redusa precizata mai jos :

;

reamintim ca au loc proprietatile :

.

Probabilitatile repartitiei comune a variabilelor f , g :

pentru notam : ;

valorile vor fi numite probabilitatile repartitiei comune a variabilelor f , g .

Acestea au proprietatile evidente :

;

Demonstratii :

- a: evident , orice probabilitate este o ;

- b: avem :

adica , în final , .

- c: avem urmatoarele :

- d: avem urmatoarele :

== // ==

Definitie : - variabilele aleatoare discrete f , g sunt independente , daca

: - variabilele aleatoare discrete f , g sunt dependente , daca

== // ==

Exemplu : variabilele aleatoare discrete f , g de mai jos sunt independente :

sa se scrie repartitia lor comuna.

.

Rezolvare :

Precizare : - o pereche de variabile aleatoare ( f , g ) formeaza un vector aleator ;

- componentele f , g ale vectorului aleator ( f , g) se numesc

variabile marginale ale lui ( f , g) ; argumentele variabilelor marginale se

numesc argumente marginale ; probabilitatile variabilelor marginale se

numesc probabilitati marginale ;

Problema : un vector aleator are repartitia :

- se cer variabilele aleatoare marginale , norare A si B ;

- sunt variabilele aleatoare A , B independente ?

Rezolvare :

Controlul independentei :

deci A , B sunt variabile aleatoare dependente .

9.4.3 : Operatii cu variabile aleatoare :

Functii de o variabila aleatoare discreta

Fiind data variabila aleatoare f : E R si o functie G: R R,

avem : (G° f ) : E R , în sensul compunerii obisnuite de functii .

Aceasta definitie revine la urmatoarele :

.

Exemple : fie ;

- avem :

Operatii cu doua sau mai multe variabile aleatoare discrete

Fie vectorul aleator ( X ,Y ) , unde :

Fie o functie F: RxR R ; atunci variabila F( X , Y ) este data de :

.

De exemplu : fie vectorul aleator ( X , Y ) , cu repartitia

Se cere repartitia variabilei aleatoare Z = 3∙X + 2∙Y .

Rezolvare
- tabelul argumentelor lui Z :

Asadar , repartitia variabilei Z este :

.

== // ==

Exemplu: fie vectorul aleator

Se cere repartitia variabilei aleatoare T = | X - Y | .

Rezolvare : avem tabelul de argumente ale lui T :

Asadar , repartitia lui T este :

.

== // ==

9.4.4 : Momentele unei variabile aleatoare discrete

Definitie : fie variabila aleatoare

definim : - media variabilei aleatoare X :

;

Observare : daca nu sunt posibile confuzii , vom nota media cu " m " ;

- dispersia variabilei aleatoare X ;

;

Observare : cantitatea se numeste abaterea medie

standard ( sau : abaterea medie patratica) a variabilei X .

- momentul initial de ordin k al variabilei X este definit prin :

;

Observare : media lui X este chiar momentul initial de ordin 1 al lui X .

- momentul centrat de ordin k al variabilei X este definit prin :

;

Observare : dispersia lui X este chiar momentul centrat de ordin 2

al lui X .

== // ==

Proprietatile mediei :

- a: fie k - o constanta reala : atunci

Observare : constanta " k " se identifica cu variabila aleatoare

,

- b: fie k - o constanta reala si X o variabila aleatoare : atunci

In adevar , fie :

atunci

.

- c : fie X , Y - variabile aleatoare oarecare ( dependente sau independente )

avem :

In adevar, avem ;

deci :

- d : fie X , Y - variabile aleatoare independente : atunci

In adevar , deoarece X , Y sunt independente , repartitia lor comuna este :

atunci ,

Observare importanta : relatia : M(X∙Y) = M(X)∙M(Y) poate fi adevarata

si pentru variabile aleatoare X , Y - dependente.

Deci : unele dintre variabilele aleatoare necorelate sunt independente , altele sunt

dependente.

PROPRIETATILE DISPERSIEI :

- a : expresia dispersiei în functie de momente initiale :

In adevar :

- b : dispersia unei constante este zero :

în adevar , avem ;

Observare importanta : pentru variabile aleatoare discrete , este adevarata si afirmatia

reciproca , anume : daca dispersia unei variabile aleatoare este

zero , atunci acea variabila este ( de fapt ) o constanta ;

mai mult , cu cât dispersia unei variabile aleatoare este mai mica ,

- c : dispersia sumei sau diferentei de variabile aleatoare independente

este egala cu suma dispersiilor :

In adevar : sa tratam numai cazul diferentei de variabile ; avem

Asadar , am aratat ca :

Stim ca : M(X-Y) = M(X) - M(Y) , deci :

- d : pentru k = constanta si X - variabila aleatoare , avem :

Demonstratia este imediata .

== // ==

9.4.5 : INDICATORI DE DEPENDENTA

Definitie : covarianta variabilelor aleatoare X , Y este definita prin :

Observare : se arata usor ca :

Observare : - dupa cum s-a aratat , avem :

X , Y - independente M( X∙Y ) = M(X)∙M(Y) ,

deci : X , Y - independente cov ( X , Y ) = 0 .

- reciproca nu este însa adevarata : este deci posibil sa avem

cov ( X , Y ) = 0 , dar X ,Y sa fie dependente .

Definitie : variabilele X , Y pentru care avem cov ( X , Y ) = 0 , se

numesc variabile necorelate .

Proprietatile covariantei

Avem :

Demonstratie : avem

Definitie : coeficientul de corelatie al variabilelor X , Y este definit de

relatia :

Coeficientul de corelatie are aproximativ aceleasi proprietati ca si covarianta , adica

Proprietatea speciala , care confera coeficientului de corelatie un rol special ,

este urmatoarea :

Nota : variabila normata corespunzatoare variabilei aleatoare X este :

;

O variabila normata are proprietatea :

.

In adevar ,

Observare : coeficientul de corelatie are caracter liniar , lucru ce este ilustrat

si de catre urmatoarele studii :

- a : fie X , Y variabile aleatoare ; fie a ,b - numere reale , a ≠ 0 :

sa calculam ( Y ; a∙X+ b) ;

Rezolvare :

In final :

- b : fie X - variabila aleatoare , si a , b - numere reale , a ≠ 0 ;

avem

Relatia rezulta din formula precedenta , cu considerarea faptului ca (X ; X ) = 1.

- c : fie X , Y - variabile aleatoare , si a ,b , c , d - numere reale ; a ≠ 0 ; c ≠ 0 :

avem :

Si aceasta relatie rezulta din punctul (1) .

== // ==

9.4.6 : Variabile discrete clasice

- a : Variabila discreta cu repartitie uniforma

Prin definitie , variabila discreta cu repartitie uniforma , care

are ca multime de argumente , multimea

este variabila :

Observare : - media variabilei uniforme :

- chiar media aritmetica a

argumentelor variabilei .

- momentul initial de ordin 2 al variabilei uniforme ;

;

- dispersia variabilei uniforme :

- b : Variabila aleatoare cu repartitie binomiala :

Variabila aleatoare cu repartitie binomiala are repartitia :

Vom demonstra urmatoarele :

- 1 : f(x ) - este într-adevar o functie de probabilitate ,

adica :

;

- 2 :media variabilei X este : M(X) = n∙p ;

- 3 :dispersia variabilei X este : D²(X) = n∙p∙( 1- p ) ;

- 4 :modul variabilei X este numarul întreg " k " , pt.

care avem :

.

Demonstratii :

fie functia auxiliara g( t ) = [ p∙t + ( 1-p) ] ⁿ , unde " t " este un parametru

real fara nici o semnificatie .

Observare : folosind dezvoltarea lui g(t) , cu ajutorul binomului Nuwton , gasim

- 1: avem evident f(x) 0 , pentru orice x ;

în plus ,

Deci : .

- 2: avem

-3 : avem

asadar :

Dar stim ca : D²(X) = M₂(X) - (M(X))² , deci :

- 4 : modul k al variabilei X este argumentul " x " al variabilei , pentru care functia de probabilitate f(x) ia valoarea maxima : folosind principiul combinatorial , gasim :

Conditiile de maxim devin :

9.5 : VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

Reamintim ca , în cazul unei variabile aleatoare continue , X , data de o functie f definita pe evenimentul sigur al câmpului de probabilitate , Im(f) este un interval ( a ; b ) .

Aceasta conditie nu este suficienta pentru lucrul cu variabile aleatoare continue ;

dintre alte conditii importante , dar care depasesc mult nivelul acestei expuneri ,

vom folosi una , anume :

- Forma generala a unei variabile aleatoare continue ;

Densitatea de probabilitate are proprietatile :

.

- Calculul probabilitatii unor evenimente , folosind densitatea de probabilitate :

avem :

De exemplu :

Majoritatea definitiilor reproduc acum definitiile date în cazul variabilelor discrete , înlocuind " " , prin "" .

De exemplu :

- fie variabila aleatoare continua

- media variabilei X :

- momentul initial de ordin 2 :

- momentul centrat de ordin 2 ( adica dispersia variabilei X ) :

Observare importanta : pentru variabila aleatoare X ,

consideram ca : P ( X a ) = 0 ; P ( X b ) = 0

- din cauza proprietatii : P( X = k ) = 0 , pentru orice " k " din ( a ; b ) ,

nu se face deosebire între interval închis si interval deschis , adica

P ( u < X < v ) = P ( u X < v ) = P ( u < X v ) = P ( u X v ) ;

P ( X > k ) = P ( X k ) , etc .

== // ==

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare continue .

Fie variabila aleatoare :

Functia de repartitie a variabilei X este o functie F : R R , data de

;

Cu ajutorul functiei de repartitie , se pot calcula probabilitati de evenimente în care este implicat X , de exemplu :

Dar proprietatea fundamentala a functiei de repartitie este urmatoarea :

Aplicatie : fie variabila aleatoare

;

se cere repartitia variabilei aleatoare Y = X² .

Vom folosi functiile de repartitie : astfel , fie

Avem urmatoarele etape :

In final ,

== // ==

Interval de încredere pentru o variabila aleatoare continua :

Fie variabila aleatoare X , pepartizata în intervalul ( a ; b ) ; fie .

Atunci : intervalul de încredere pentru variabila X , cu coeficientul de încredere " p "

este intervalul ( u ; v ) ( a ; b ) , pentru care "

;

Observare :

- din relatiile :

rezulta :

;

Asadar , notând cu F - functia de repartitie a variabilei X , avem :

- capatul din stânga al intervalului de încredere , cu coeficientul de

încredere " p " , este solutia ecuatiei

;

- capatul din dreapta al intervalului de încredere , cu coeficientul de

încredere " p " , este solutia ecuatiei

.

9.6 : Variabila aleatoare cu repartitie normala

Variabila aleatoare cu repartitie normala este data de :

,

unde m , σ - sunt parametri , σ > 0 .

In mod curent , variabila aleatoare normala de parametri m , σ este notata

prin N (m , σ ) .

In legatura cu aceasta variabila prezentam pe scurt o serie de rezultate :

- 1 : media variabilei aleatoare N (m , σ ) este egala cu " m " ;

- 2 : dispersia variabilei aleatoare N (m , σ ) este egala cu "σ " ;

- 3: daca X = N (m , σ ) , atunci , pentru Y = a∙X + b avem :

Observare : variabila aleatoare normala de parametri m = 0 ; σ = 1 ,

se numeste variabila aleatoare normala normata ;

avem rezultatul :

- 4 : pentru n > 30 , variabila binomiala Bin ( n ; p ) are o repartitie aproximativ

egala cu

.

- 5: - intervalul de încredere , cu coeficientul de încredere p = 0 , 95 , pentru

variabila aleatoare N ( 0 ; 1 ) , este : ( - 1, 96 ; 1, 96 ) ;

- intervalul de încredere , cu coeficientul de încredere p = 0 , 95 , pentru

variabila aleatoare N ( 0 ; 1 ) , este : ( - 2, 58 ; 2, 58) .