Inel. Subinel. Ideal. Exemple.

Inel. Subinel. Ideal. Exemple.

Definitie: Se numeste inel o multime A, nevida inzestrata cu doua legi de compozitie: +:AxA A si :AxA A, una notata aditiv cealalta notata multiplicativ, care satisfac urmatoarele proprietati:

A este un grup abelian fata de operatia aditiva;

Operatia de inmultire este asociativa;

Inmultirea este distribuitiva bilateral fata de adunare.

Elementul neutru al grupului (A,+) se noteaza cu 0 si se numeste elementul nul al inelului, iar simetricul fata de adunare al unui element oarecare xA se noteaza cu -x si se numeste opusul elementului x.

Explicitind proprietatile 1, 2 si 10510t1922k 3, (A, +, ) este inel daca:

(x+y)+z=x+(y+z) , () x, y, z A.

A a.i. 0+x=x+0=x , (") x A

") x A , -x A a.i. x+(-x)=(-x)+x=0

x(yz)=(xy)z , () x,y,z A

Daca, in plus operatia de inmultire admite un element neutru, se spune ca inelul este cu element unitate sau unitar.

Elementul neutru se noteaza, de obicei, cu 1. Atunci, inelul este unitar daca exista un element 1.

Daca inmultirea este comutativa, adica daca xy=yx , inelul se numeste comutativ. In acest caz, cele doua axiome de distributivitate sunt identice si se reduc la una singura.

Exemple de inele:

(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative si unitare.

(Z[i],+, ) numit inelul intregilor lui Gauss,

unde Z[i]=, iar operatiile + si sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z [i],+, ) este inel comutativ unitar .

(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Propozitia 1.1. Daca A este un inel, atunci:

x x=0 , " x A;

(-x)y=x(-y)=-xy , "x,y A;

(-x)(-y)=xy , " x,y A (regula semnelor)

x(y-z)=xy-xz si (y-z)x=yx-zx , " x,y,z A;

(distributivitatea inmultirii fata de scadere)

Demonstratie:

x 0=x (0+0)=x 0+x 0. Adunind -x 0 la ambii membrii ai egalitatii

x 0=x 0+x 0 , obtinem: x 0=0. Analog, 0 x=0.

y=[x+(-x)]y=xy+(-x)y. Deci opusul lui xy este (-x)y, de unde

(-x)y=-xy

Analog se arata ca x(-y)=-xy iar (-x)(-y)=-(x(-y))=-(-xy)=xy.

x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy-xz si analog (y-x)z=yz-xz.

Observatie:

Intr-un inel unitar A cu cel putin doua elemente, avem 1 0. Intr-adevar, daca 1=0, atunci x=1 x=0 x=0, de unde A=, contradictie.

Definitie: Fie (A,+,.) un inel comutativ. Un element x A, x 0 se numeste divizor al lui zero daca exista y A, y 0 a.i. xy=0.

In inelul (Z 8 ,+,.)elementele 2 si 4 sunt divizori ai lui zero, caci: 2 4=0 si 4 2=0.

Spunem ca inelul A este fara divizori ai lui zero daca " x 0 si y 0 rezulta xy

Pe o multime A formata dintr-un singur element ,a , se poate defini o singura structura de inel, punind a+a= a si a a= a.In acest caz a=1 si a=0, deci 1=0.Acesta se numeste inelul nul.

Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel integru.

Exemple: Inelele(Z,+,.),(Q,+,.),(R,+,.),(C,+,.),(Z[i],+,.)sunt domenii de integritate.Daca A este un inel unitar ,elementele lui simetrizabile in raport cu inmultirea se bnumesc elemente inversabile sau unitati ale inelului..

Inversul sau simetricul lui a ,daca exista , se noteaza cu a .

Propozitia 1.2. Daca inelul comutativ unitar A este nenul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero.

Demonstratie.

Presupunem ca x A este un element inversabil din A si ca este divizor al lui zero .Atunci exista y 0 a.i. xy =0.Daca x este inversul lui x, atunci avem

x (xy) =(x x)y=1 y si x 0=0 y=0, contradictie.

In particular, 1 A fiind element inversabil ,nu este divizor al lui zero,deci 1

Intr-un domeniu de integritate A; produsul a doua elemente x,y A este zero daca si numai daca x=0 sau y=0,adica xy=0 x=0 sau y=0.

Daca A este un domeniu de integritate, atunci din egalitatea ax=ay,a x=y.Deci intr-un domeniu de integritate au loc regulile de simplificare. Vom nota cu U(A) multimea elementelor inversabile din inelul comutativ unitar A(multimea unitatilor lui A). 1 U(A) U(A)

Daca x,y U(A), atunci exista x ,y A,a.i. x x =x x=1, yy =

y y=1.Deci x ,y U(A),adica U(A) este parte stabila a lui a in raport cu inmultirea si,evident, verifica conditiile :

1.(xy)z=x(yz) , " x,y,z U(A)

U(A) a.i. 1 x=x 1=x , x U(A)

"x U(A) , x U(A) a.i. xx =x x=1.

xy=yx, " x,y U(A).

Prin urmare (U(A),.) este grup comutativ numit, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A sau grupul unitatilor lui A.

Exemple.

U(Z)=, U( C)=C-,U( R)=R-, U(Z[i ])=.Sa determinam ,de exemplu ,elementele inversabile din Z[ i ].Fie a+bi U(Z[ i ]) .Atunci exista c+di Z[ i ] a.i.(a+bi)(c+di)=1,de unde ,aplicind modulul si ridicind la patrat , avem |a+bi| |c+di| =|1| sau (a +b )(c +d )=1.

Deci a +b =1 si ,cum a,b Z,rezulta ca a= 1si b=0 sau a=0,b= 1.Asadar elementele inversabile din Z[ i ] sunt 1,-1,i,-,i ,deci U(Z[ i ]) =.

Propozitia 1.3. Fie n 2. Un element a Zn este un element inversabil daca a este prim cu n. In particular, daca n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.

Demonstratie:

Presupunem ca a este element inversabil in inelul Zn . Atunci exista b Zn a.i. ab=1. Cum ab=ab=1, avem ab=1=0 ab-1=0. Deci rezulta ca n divide pe ab-1. k Z a.i. ab-1=nk. Asadar, ab+n(-k)=1 (a,n)=1.

Reciproc, daca (a,n)=1, h,k Z a.i. ah + nk=1. Cum 1=ah+nk=0=ah=ah, rezulta ca a este element inversabil al inelului Zn si (a )=h. Avem deci ca

U(Zn )=. De exemplu, U(Z8)=.

Definitie. Fie A un inel. O submultime nevida A' a lui A se numeste subinel daca A' impreuna cu operatiile induse de cele definite pe A formeaza, la rindul sau, un inel .

Propozitia 1.4. Fie A un inel si A' A submultime nevida a lui A. Atunci A' este subinel al lui A daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

" x,y A' x-y A';

" x,y A' xy A'.

Demonstratie:

Fie A' un subinel al lui A. Atunci, din definitie rezulta ca A' este subgrup al grupului aditiv al lui A si, deci, este satisfacuta conditia (1). Tot din definitie rezulta ca inmultirea din A induce o inmultire pe A', adica este satisfacuta conditia (2).

Reciproc, daca conditiile (1) si (2) sunt satisfacute, atunci este din (1) rezulta ca A' este subgrup abelian al grupului aditiv A, deci A' impreuna cu adunarea indusa este grup abelian, iar din (2) rezulta ca inmultirea din A induce o inmultire pe A', care este asociativa si distributiva fata de adunare. Deci A' este subinel al inelului A.

Exemple:

Daca A este un inel, atunci A si sunt subinele, numite subinele improprii.

(Z, +, ) si (Q, +, ) sunt subinele ale inelului (R, +,

Fie n N. Multimea H=n Z= este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Daca avem x,y H, atunci x=nk1, y=nk2, k1,k2 Z, deci

xy = nk1k2 H, adica H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ, cu n N.

Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezulta ca orice subinel al lui Z este de forma H=nZ. Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ, n N.

Mai exact fiecare subinel este format din multipli intregi ai celui mai mic numar natural nenul sau zero ce apartine subinelului.

Definitie.

O submultime nevida I a unui inel comutativ se numeste ideal daca:

x-y I , " x,y I;

ax I , " a A si x I.

Din aceasta definitie rezulta ca orice ideal al unui inel este un subinel, pe cind reciproca nu este adevarata.

Astfel, Z este un subinel al lui Q, dar nu este ideal, deoarece, de exemplu 2/3 Q, 5 Z, iar 2/3 Z.

Am vazut ca subinelele inelului Z sunt submultimile sale de forma nZ, n N. Vom arata ca astfel de submultime este un ideal al inelului Z. Evident, nZ, n 0, este subgrup al grupului aditiv (Z, +). Mai mult, daca a Z si x nZ x=nk, k Z ax=ank=n(ak) nZ. Deci subgrupurile grupului aditiv (Z,+) coincid cu idealele inelului Z si cu subinelele sale.

Definitie

Fie A un inel comutativ si a A. Submultimea Aa= este un ideal al lui A si se numeste idealul principal generat de a; il vom mai nota si cu (a). Din observatiile anterioare rezulta ca idealele inelului Z sunt principale .