Inele de polinoame. Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.
Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la inceput nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.
Peste inelul A se considera sirurile f=(a0,a1,a2,.), ai A a.i. toti termenii ai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.
Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. Sirurile f=(a0,a1,.) si g=(b0,b1,.) sint egale daca si numai daca ai=bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si inmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar.
Fie f,g A', f=(a0,a1,a2,.), g=(b0,b1,b2,.). Atunci adunarea se defineste astfel: f+g=(a0+b0, a1+b1, a2+b2,.).
Este evident ca f+g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f+g A. Sa verificam ca (A',+) este grup abelian.
Intr-adevar , daca f,g,h A , f=(a0,a1,a2,.), g=(b0,b1,b2,.), h=(c0,c1,c2,.), atunci (f+g)+h=(a0+b0, a1+b1, a2+b2,.)+(c0,c1,c2,.)=
=[(a0+b0)+c0, (a1+b1)+c1, .] si f+(g+h)= (a0,a1,a2,.)+[(b0,b1,b2,.)+
+(c0,c1,c2,.)]=[a0+(b0+c0),a1+(b1+c1),.] .
Cum adunarea in inelul A este asociativa ,avem (ai+bi)+ci=ai+(bi+ci) , i=1,2,3., de unde (f+g)+h=f+(g+h) . Analog se arata ca f+g=g+f.
Daca 0=(0,0,0,.) , atunci 0+f=(0,0,.)+(a0,a1,.) = (0+a0,0+a1,.)=
=(a0,a1,a2,.)=f=f+0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca f A', f=(a0,a1,a2,.), atunci -f=(-a0,-a1,-a2,.) este opusul lui f si f+(-f)=(-f)+f=0.
Inmultirea pe A se defineste astfel:
f g=(a0b0,a0b1+a1b0,
a0b2+a1b1+a2b1,.)=(c0,c1,.), unde Ck=
.
Este clar ca f, g A'. Inmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai intii asociativitatea .
Fie f,g,h A' , unde f=(a0,a1,a2,.), g=(b0,b1,b2,.), h=(c0,c1,c2,.) si sa aratam ca (fg)h=f(gh).
Fie fg=(d0, d1, d2,.). Atunci 
. De asemenea, fie
(fg)h=(d0',d1',d2',.),
unde d'm=
Daca gh=(c0,c1,.), atunci :
si fie
f(gh)=(l'0,l'1,l'2,.), unde :
.
Deci d'm=l'm pentru orice m. Deci (fg)h=f(gh). Comutativitatea inmultirii rezulta din faptul ca inmultirea in inelul A este comutativa, iar in expresia produsului polinoamelor f si g termenii factorilor intervin in mod simetric.
Elementul unitate din A' este sirul (1,0,0,.). Inmultirea pe A' este distributiva fata de adunare. Intr-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :
f(g+h)=(d0, d1,.) ,
unde 
fg+fh=(d'0,d'1,.),
unde 
Cum operatia de inmultire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g+h)=fg+fh. Evident are loc si relatia (f+g)h=fh+gh si afirmatia s-a demonstrat.
Propozitia3.1.
Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A' ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) impreuna cu operatiile de adunare si inmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.
Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienti din A .
Daca f=(a0,a1,.) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si daca n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an 0 , atunci n se numeste gradul polinomului f. Pentru polinomul nul nu se defineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind - . Daca gradul (f)=n , atunci a0,a1,.,an se numesc coeficientii polinomului f.
Fie aplicatia u: A A' definita prin u(a)=(a,0,0,.). Aplicatia u este injectiva , caci, daca u(a)=u(b), atunci (a,0,.)=(b,0,.) a=b. De asemenea , u(a+b)=u(a)+u(b) si u(ab)=u(a)u(b) , " a,b A , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a,0,.)+(b,0,.)=(a+b,0,. ) si(a,0,.) (b,0,.)=(ab,0,.).
Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a A cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a,0,.) din A'. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notam prin X polinomul (0,1,0,.), care se numeste nedeterminata X. Obtinem:
Pentru orice a A, avem ax
=(0,0,.,0,a,0,.). Fie acum un polinom de gradul n ,
f=(a0,a1,a2,.,an,0,.)=(a0, 0, 0,.)+(0,a1,0,.)+.
.+(0,0,.an,0,.)=a0(1,0,.)+a1(0,1,0,.)+.+an(0,0,.,1,0,.)=
= 
Daca an=1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A' obtinut se numeste inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau - daca si numai daca f apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f+g) max(grad(f), grad(g)); grad(fg)
grad(f)+grad(g), pentru " f,g A[x].
Daca A este un domeniu de integritate , se poate inlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.
Propozitia 3.2.
Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.
Demonstratie
Fie f,g A[x]; 
:
A fiind domeniu de integritate, rezulta din am 0 si bn 0 ca ambn 0, adica fg 0. In particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.
Propozitia 3.3.
Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x])=u(A).
Demonstratie:
Fie a A, inversabil in A , adica exista b A a.i. a b=1. Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].
Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom g A[x] a.i. fg=1 si , deci, grad(f)+grad(g)=grad(1)=0, adica f,g A. Deci f A si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) u(A). Intr-adevar , polinomul neconstant 1+2X Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x)=1.
Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate.
Fie A un inel. Atunci inelul polinoamelor in nedeterminatele X1,X2,.,Xn cu coeficienti in inelul A se defineste inductiv astfel: daca A[X1] este inelul polinoamelor in nedeterminata X , cu coeficienti in inelul A1, A[X1,X2] este inelul polinoamelor in nedeterminata X2 cu coeficienti in inelul A[X1] si, in general : A[X1,X2,.,Xn] este inelul polinoamelor in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1,X2,.,Xn-1]. Pe A[X1] l-am construit deja si in mod recurent:
A[X1,X2]=A[X1]A[X2]
A[X1,X2,X3]=A[X1,X2]A[X3];
.............
A[X1,X2,.Xn]= A[X1,X2,.,Xn-1]A[Xn].
Daca f este un
polinom in inelul A[X1,X2,.,Xn] , atunci el este polinom in nedeterminata Xn cu
coeficienti in inelul A[X1,X2,.,Xn-1] si , deci, 
A[X1,X2,.,Xn-1],
pentru orice i=0,1,.,hn. Din aproape in aproape , f se scrie ca o suma finita
de forma:
in care 
A se numesc
coeficientii polinomului f,
sunt numere nenaturale
. Un polinom din A[X1,X2,.Xn] de forma aX1X2X3.Xn, a 0 , se numeste monom.
Definitie
Se numeste gradul monomului aX1X2X3.Xn, a 0 in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,X2,X3,.,Xn, suma i1+i2+.+in.
Definitie:
Se numeste gradul polinomului f A[X1,X2,.Xn] in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,.,Xn cel mai mare dintre gradele monoamelor sale in raport cu ansamblul nedeterminatelor. Ca si in inelul polinoamelor intr-o nedeterminata , si aici avem:
Propozitia 3.4.
Fie A un inel si f,g A[X1,X2,.Xn]. Atunci:
grad(f+g) max(grad(f),grad(g));
grad(fg) grad(f)+grad(g);
daca, in plus, A este domeniu de integritate , atunci la punctul (2) vom avea egalitate; mai mult, U(A[X1,X2,.Xn])=U(A).
|
