Inele euclidiene

Inele euclidiene.

Definitie: Un inel integru A impreuna cu o functie f: A- N se numeste inel euclidian daca are urmatoarele doua proprietati:

Oricare ar fi elementele nenule a,b A , astfel incit a sa divida pe b , rezulta f(a) f(b).

Pentru oricare a,b A , b 0 exista q,r A , a.i. a=bq+r, unde r=0 sau f(r)<f(b).

Proprietatea 2 se numeste teorema impartirii cu rest in inelul euclidian.

Exemple:

Inelul (Z,+, ) este euclidian. Intr-adevar , in acest inel are loc teorema impartirii cu rest pentru numere intregi , si anume:

" a,b Z , b q,r Z a.i. a=bq+r . unde 0 r ¸| b| .

Mai mult q si r sunt unice.

Considerind functia f: Z- N, f(n)=| n |, rezulta clar ca inelul Z impreuna cu f este euclidian (satisface conditiile 1 si 2). Mentionam ca teorema impartirii cu rest la numere intregi o vom demonstra in paragraful 1 al capitolului III.

Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar, daca K este un corp, consideram functia f : K- N definita prin f(a)=1, "a K ,a 0 . Aceasta functie satisface 1 si 2.

Inelul K[x] al polinoamelor cu coeficienti intr-un corp K pentru care functia f :K[x] - N, definita prin f(g)=grad(g), " g K[x] , g 0 , este un inel euclidian.

Intr-adevar, daca g,h K[x], g 0 si g/h, atunci h=gg', cu g' K[x], deci  grad(g) grad(h), adica f(g) f(h). Deci conditia 1 este indeplinita.

Sa verificam proprietatea 2. Fie f,g K[x] cu g 0. Daca grad(g)=0, atunci f=g(g f), deoarece g 0 din K, deci inversabil si afirmatia este dovedita, adica este verificata proprietatea 2. Daca grad(g)>0, atunci vom face o inductie dupa gradul lui f. Daca grad(f)<grad(g), in particular, pentru grad(f)=0, din relatia f=g 0+f, rezulta 2.

Presupunem ca 2 afost verificata pent 434q1619e ru toate polinoamele f, cu grad(f)<n.  Fie atunci f un polinom de grad n, si g un polinom de gradul m, Putem presupune ca m n , conform celor demonstrate mai sus. Atunci, polinomul are gradul cel mult n-1, deoarece termenii de gradul cel mai mare se reduc , deci grad(f1)<grad(f). Din ipoteza inductiva rezulta, atunci ca exista q,r K[x] a.i. f1=gq+r, unde r=0 sau grad(r)<grad(g). Atunci avem: satisfac proprietatea 2. Polinoamele q si r K[x] , numite citul si restul , astfel incit f=qg+r, r=0 sau grad(r)<grad(g); In cazul inelului K[x] sunt chiar unice (ca si la Z , de altfel). Dar unicitatea acestora nu este necesara in formula de impartire cu rest , in cazul inelului euclidian.

Inelul intregilor lui Gauss este euclidian, in care functia din definitie este norma N. Definim pe Z[i] functia f :Z[i] N, f(m+ni)=m +n (f(m+ni) este patratul modulului numarului complex m+ni). Numarului complex z=a+bi, a,b R, i se asociaza in plan punctul M de coordonate (a,b). Numerele complexe din multimea Z[i] sunt reprezentate in plan prin puncte ale caror coordonate sunt numere intregi.

Reprezentindu-le , obtinem o retea in plan ca in figura 1. Consideram z,z' Z[i] , z' 0 si fie M punctul din plan asociat numarului comlex z/z' . In retea exista un patrat ABCD in care se afla punctul M. Fie A virful cel mai apropiat de M. Daca A(a,b) , atunci a,b Z si A este asociat numarului complex q=a+ib.

Pe de alta parte , cum latura patratului ABCD este unitate si cum A a fost ales cel mai apropiat de M , obtinem ca distanta MA este mai mica decit jumatate din diagonala patratului. Deci MA /2<1, dar MA este egal cu modulul numarului complex z/z'-q. Deci avem: | z/z'-q|

Avem, atunci, |z-qz'|<|z'| si , notind r=z-qz', avem | r |<| z'| sau | r |<| z'| si , deci, f(r)<f(z'). In concluzie, avem z=qz'+r, cu f(r)<f(z') si, deci, Z[i] este inel euclidian. Din aceasta demonstratie rezulta ca restul si citul impartirii nu sunt unic determinate.

y

B A

M

C D

x Fig.1.

Intr-adevar, daca M este centrul patratului ABCD, atunci putem alege citul q al impartirii in egelitatea de mai sus , numarul complex q=a+ib, cu a,b Z pentru care (a,b) sa fie coordonatele oricaruia din virfurile patratului ABCD.

Sa exemplificam pe un caz numeric ; consideram in Z[i] numerele

z=6i si z'=2+2i, pentru care z/z'=6i/(2+2i)=3/2+3i/2.

In figura 2 , punctul M , care este reprezentarea geometrica a numarului comlex z/z'=3/2+3i/2, cade in centrul patrtului ABCD.

Deci putem alege citurile q1=1+i sau q2=2+i sau q3=2+2i sau q4=1+2i.

Avem egalitatile:  z=z'q1+r1 unde r1=2i;

z=z'q2+r1 unde r1=-2; y

z=z'q3+r1 unde r1=-2i;

z=z'q4+r1 unde r1=2.

In cele 4 cazuri , avem f(ri)<f(| z |), 1 i

A(1,2) D(2,2) M(3/2,3/2) B(1,1) C(2,1)

Propozitia 3.1. Intr-un inel euclidian orice 2 elemente au un cmmdc si un cmmmc .

Demonstratie:

Fie A un inel euclidian si a,b doua elemente din A. Daca unul dintre acestea este nul, atunci celalalt este cmmdc al lor. Putem presupune a,b 0. In acest caz , pentru a demonstra propozitia , vom aplica succesiv teorema impartirii cu rest, ceea ce constituie algoritmul lui Euclid.

Aplicam teorema impartirii cu rest elementelor a si b si obtinem :

a=bq1+r, unde r1=0 sau f(r1)<f(b);

Daca r1 0 exista elementele q2,r2 A a.i.

b=r1q2+r2, cu r2=0 sau f(r2)<f(r1).

Daca r2 0, aplicam teorema impartirii cu rest elementelor r1 si r2 . Exista elementele q3,r2 A a.i.:

r1=r2q3+r3, cu r3=0 sau f(r3)<f(r2)

Repetind acest procedeu , obtinem elementele q4,q5,.,qn,. si r4,r5,.,rn,., astfel incit:

r2=r3q4+r4, cu r4=0 sau f(r4)<f(r3);

...............

rn-2=rn-1qn+rn cu rn=0 sau f(rn)<f(rn-1

rn-2=rn-1qn+rn+1 cu rn+1 sau f(rn)<f(r n+1

Deoarece sirul f(r1)>f(r2)>.>f(rn)>f(rn+1)>. este un sir descrescator de numere naturale, dupa un numar finit de pasi obtinem neaparat un rest nul , adica exista un numar natural/n a.i. rn 0 si rn+1

Vom arata ca rn este cmmdc al lui a si b. Cum rn-1=rnqn+1 rn/rn-1

Deoarece rn-2=rn-1qn+rn rn/rn-2.In continuare , folosind egelitatea rn-3=rn-2qn-1+rn-1 si tinind cont ca rn/rn-1 si rn/rn-2, rezulta rn/rn-3.Din aproape in aproape tinind cont de egalitatea 4 , rezulta ca rn divide elementele rn-1, rn-2, ., r ,.. Din egalitatea 3 rezulta ca rn/r si din egalitatea 2 rezulta rn/a. Deci rn este un divizor comun al elementelor a si b. Din 1 obtinem r1=a-bq1 si deci d'/r1. Din 2 obtinem r2=b-r1q2. Cum d'/r1 si d'/b d'/r2 . Din egalitatea 3 obtinem r3=r1-r2q3 si deci d'/r3. Acum folosim egalitatea 4 . Din aproape in aproape rezulta ca d' divide elementele r4,r5,., rn-1,rn. Asadar rn (ultimul rest nenul) este cmmdc al elementelor a si b. Sirul de egalitati 1,2,3,4,., n 0 poarta numele de algoritmul lui Euclid. Acest sir de egalitati ne permite sa determinam pentru un inel euclidian un cmmdc a doua elemente. De asemene, cmmdc este unic determinat , abstractie facind de o asociere in divizibilitate , asa cum se demonstreaza prin propozitia 3.1. din acest capitol.

Din propozitia 3.5 , cap.I , rezulta ca orice doua elemente au cmmdc.

Din propozitia precedenta, rezulta:

Corolarul 3.2. Intr-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.

Exemplu: In inelul Z[i] , fie a=16+6i si b=7+3i .

Sa calculam cmmdc al lor.

16+6i=(7+3i)(2-i)+(-1+7i), f(-1+7i)<f(7+3i), 50<28.

7+3i=(-1+7i)(1-i)+(1-5i),  f(1-5i)<f(-1+7i), 26<50;

-1+7i=(1-5i)(-1+0i)+2I, f(2i)<f(1-5i), 4<26.

1-5i=(-2-i)2I+(-1-i),  2I=(-1-i)(-1-i), f(-1-i)<f(2i), 2<4.

Cmmdc al numerelor 16+6i si 7+3i este -1+i.

Inele principale.

Definitie. Un inel integru in care orice ideal este principal se numeste inel principal sau inel cu ideale principale.

Teorema 4.1. Orice inel euclidian este inel principal.

Demonstratie:

Fie A euclidian , f : A- N functia respectiva si I un ideal al lui A. Vom arata ca I este ideal principal. Daca I=(0), afirmatia este demonstrata. Daca I (0), consideram submultimea M= a lui N. Deoarece N este o multime bine ordonata , rezulta ca exista un element b I, b 0 , astfel incit f(b) sa fie elementul minimal in M. Vom arata ca c=(b)=I. Din faptul ca b I si I este un ideal in A, rezulta ca (b) I.

Reciproc, fie a I. Deoarece b 0, exista q,r A astfel incit a=bq+r, unde r=0 sau f(r)<f(b). Dar r 0; atunci f(r)<f(b) si r=a-bq I, ceea ce este in contradictie cu alegerea lui b. Rezulta r=0, deci a=bq atunci a (b) si deci I (b).

Propozitie 4.2. Fie A un domeniu de integritate care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor de o nedeterminata A[x] nu este inel principal. (deci nici euclidian).

Demonstratie:

Deoarece A nu este corp, rezulta ca exista un element a A , a 0 si a neinversabil. Sa aratam ca idealul general de a si X nu este principal. Sa presupunem ca a A[x]+x A[x]=(f), cu f A[x]. Atunci a (f), adica a=fg, cu g A[x]; rezulta ca f A, iar, dinfaptul ca X (f) , X=fh, h A[x], rezulta ca f este inversabil in A si , deci, ar rezulta ca a A[x]+X A[x]=A. De aici rezulta 1=au+xv, cu u,v A[x] , relatie imposibila pentru ca v 0, fiindca a nu este inversabil. Din aceasta propozitie rezulta ca inelul Z[x] nu este principal si oricare inel de polinoame de n>1 nedeterminate cu coeficientii intr-un corp nu este inel principal si, deci, nici euclidian.

Exemple de inele principale:

Orice corp comutativ este inel principal.

Inelul intregilor Z este inel principal.

Inelul intregilor lui Gauss Z[i ] este inel principal.

Oricare inel de polinoame de o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp este inel principal (deoarece este inel euclidian ).

Pentru a,b A definim (a)+(b)=. Este clar ca (a)+(b) este ideal al lui A , numit suma idealurilor principale (a) si (b).

Propozitia 4.3. fie A un inel principal si a,b A. Atunci :

Elementul d A este cmmdc al elementelor a,b A daca si numai daca (a)+(b)=(d).

Elemntul m A este cmmmc al lui a si b daca si numai daca (m)=(a) (b).

Demonstratie:

Daca d A este cmmdc al lui a si b, atunci evident a (d), b (d) si, deci (a)+(b) (d). In (a)+(b), fiind ideal principal , exista d' A a.i. (a)+(b)=(d').

Atunci rezulta d' divizor comun al lui a si b , deci d' divide pe d, deci

(d) (d')=(a)+(b).

Din (a)+(b) (d) si (d) (a)+(b0 rezulta (d)=(a)+(b).

Reciproc, daca d A , a.i. (d)=(a)+(b) , atunci evident d este divizor comun al lui a si b si, in plus, exista relatia d=au+bv, cu u,v A, din care rezulta ca orice divizor comun al lui a si b divide pe d.

Daca m este cmmdc al elementelor a si b , atunci a/m si b/m . Deci (m) (a) si (m) (b), adica (m) (a) (b). Insa, idealul (a) (b) este principal ; exista m' A a.i. (a) (b)=(m') si, deoarece m' este , evident, multiplu comun al elementelor a si b , rezulta ca m divide pe m', adica (m')=(a) (b) (m)

(a) (b) (m). Deci rezulta ca (m)=(a) (b).

Reciproc, daca m A este astfel incit (m)=(a) (b), atunci m este multiplu comun al lui a si b. Fie m' alt multiplu comun al lui a si b . Atunci m (a) si m' (b) , deci (m') a) (b)=(m) , deci m divide pe m'. Deci m este cmmdc al lui a si b.

Observatii:

Propozitia precedenta este in legatura cu o alta propozitie din cap.I , dar am dat demonstratia completa a acesteia, deoarece in cazul inelelor principale este mai precisa .

Intr-un inel principal , idealul general de un numar finit de elemente a1,a2,.,an coincide cu idealul general de cmmdc al acestor elemente.

Datorita acestui fapt , atit idealul general de a1,a2,., an, cit si cel generat de  cmmdc al elementelor a1,a2,.,an se noteaza prin (a1,a2,.,an).

Corolar 4.4. Intr-un inel principal , orice doua elemente au un cmmdc si cmmmc, iar daca d A este cmmdc al elementelor a si b din A, atunci exista u,v A a.i. ca d=ua+vb. Din acest corolar si dintr-o propozitie din cap.I, rezulta :

Corolar 4.5. Intr-un inel principal , orice element ireductibil este prim.

Din acest corolar deducem ca inelul Z[i] nu este inel principal. (Dupa cum am aratat, in acest inel 3 este ireductibil , dar nu este prim).

Lema 4.6. Fie A un inel principal si (a0) (a1) . un sir crescator infinit de ideale din A. Atunci exista n>0 astfel ca (ai+1)=(ai) pentru orice i n (orice lant ascendent de ideale principale este stationar ).

Demonstratie:

Fie I=U(ai); atunci I este un ideal in A, deoarece daca b,c I, atunci exista i,j N a.i. b (ai) si c (ai), iar, daca k=max, atunci b,c (ak). Deoarece ak este ideal, rezulta ca b-c (ak) si pentru orice u A, u/3 (ak), deci b-c I, si ub I. Inelul A fiind principal, exista a A a.i. I=(a). Cum a I, rezulta ca exista un numar natural n0 a.i. a (an0). Atunci , evident (a) (an) , " n n0 si , din incluziunile evidente (an) (a), pentru " n n0 se deduce afirmatia lemei.

Teorema 4.7. Orice inel principal este factorial.

Demonstratie:

Pentru a demonstra teorema , va fi suficient sa aratam ca orice element nenul si neinversabil se descompune in produs de elemente ireductibile .Vom face demonstratia prin reducere la absurd , adica vom presupune ca exista in inelul A un element nenul si neinversabil a , care nu este produs finit de elemente ireductibile si vom ajunge la o contradictie .

Intradevar , a nu poate fi ireductibil , daca exista o descompunere a lui a de forma a=a1a'1,in care a1 si a'1 nu sunt asociate cu a si sunt elemente neinversabile si nenule .Atunci , este clar ca cel putin unul din elementele a1 si a'1 are propietatea lui a, adica nu este produs finit de elemente ireductibile (caci astfel a ar fi produs finit de elemente ireductibile, contrar ipotezei ).Facind acelasi rationament cu a1, gasim un divizor a2 al lui a1 , care este neinversabil si neasociat cu a1 si care are aceeasi proprietate s.a.m.d.

Se obtine , astfel , un sir finit de elemente neinversabile, din a=a0,a1,a2,. cu proprietatea ai+1 divide ai si nu este asociat cu acesta , i=0,1,2,. . Din acest sir rezulta sirul strict crescator infinit de ideale ale inelului A. (a0) (a1) (a2) ., contradictie cu afirmatia lemei care arata ca u astfel de sir nu poate exista intr-un inel principal.