LIMITE DE FUNC|II

LIMITE DE FUNC|II

Definitie:Data fiind o multime , punctul se numeste punct de acumulare al multimii D daca in orice vecinatate V a lui x₀ au loc Ø.

Definitie : Fie , o functie si un punct de acumulare al multimii D.

Spunem ca este limita functiei f in punctul si scriem f(x) = l, daca

pentru orice vecinatate V a lui l, exista o vecinatate U a lui astfel inc@t pentru

orice au loc (definitia cu vecinatati).

Teorema 1 (de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct):

Daca , si este un punct de acumulare al multimii D,

atunci sunt echivalente afirmatiile:

a) f(x) = l ()

b) Oricare ar fi , exista astfel inc@t pentru orice cu

proprietatea sa rezulte ( definitia cu ).

Teorema 2 (de caracterizare a limitei fu 20320h714u nctiei intr-un punct):

Daca , si este un punct de acumulare al multimii D,

urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f(x) = l ( )

b) Oricare ar fi sirul (), cu atunci

(definitia cu siruri).

Observatie : Daca exista, limita unei functii intr-un punct este unica.

Observatie : O functie , nu are limita in punctul , punct de acumulare

al multimii D, daca exista doua siruri , , ,

cu , astfel inc@t exista una din situatiile:

a) unul din sirurile , nu are limita

b) exista f() = , f() = dar .

Exemplu : Functia lui Dirichlet , f(x) =nu au limite in nici un punct.

Solutie : Fie un punct de acumulare pentru R. Consideram un sir si

 _{= 1. Consideram un sir �}),  si 

Atunci  EMBED Equation.3 . Cum  EMBED Equation.3  rezulta conform observatiei anterioare ca functia nu

are limita in punctul .

B. Limite laterale .

Definitie : 1) Fie functia punct de acumulare pentru multimea

. Spunem ca numarul este limita la st@nga a functiei f in

punctul daca restrictia lui f la are limita in punctul si este egala cu .

2) Fie functia punct de acumulare pentru multimea

. Spunem ca numarul este limita de dreapta a functiei f in

punctul daca restrictia lui f la are limita in punctul si este egala cu .

Notatie : = f(x) = f(x) = f()

= f(x) = f(x) = f()

Teorema : Fie functia si punct de acumulare al multimii D' cu proprietatea ca

functia f are limite laterale in  EMBED Equation.3 . Atunci sunt echivalente afirmatiile:

a)functia are limita in punctul  EMBED Equation.3

b) EMBED Equation.3 .

{n aceste conditii  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .

C.

C.Proprietati ale limitelor de functii. Operatii cu limite de functii.

Dacaf(x) = l atunci  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Fie  EMBED Equation.3  punct de acumulare al multimii D. Daca existaf(x)  EMBED Equation.3 g(X) si exista o vecinatate V a lui  EMBED Equation.3 astfel inc@t  EMBED Equion.3 atunci

Fie punct de acumulare al multimii D. Daca exista si exista o vecinatate V a lui astfel inc@t , atunci exista (Criteriul cleste).

Daca , atunci exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

f(x) > (<)

Criterii de majorare : Fie functiile un punct de acumulare al

multimii D':

a)     Daca si exista si V o vecinatate a lui astfel inc@t

atunci

b)     Daca atunci .

c)      Daca si exista M>0 astfel inc@t atunci ;

d)     Daca si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t , atunci .

e)     Daca si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t , atunci .

Fie functiile un punct de acumulare al multimii D, , au sens operatiile: +, -, ,/, si f(x)+g(x),

f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x) / g(x), pentru si ,

, , .

- daca in plus exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

atunci .

Cazuri exceptate:

Operatii simbolice:

Fie functiile un punct de acumulare al multimii A. Daca

exista este punct de acumulare al multimii B, exista o vecinatate V

al lui astfel inc@t si exista o , atunci

functia are limita in punctul si .

D.    Limitele unor functii uzuale

1) Functii polinomiale:

Daca

-

2) Functii rationale :

daca si atunci

3) Functia radical: Pentru si punct de

acumulare:

- -

Pentru

atunci

4) Functii trigonometrice:

Pentru

Pentru

Pentru

Pentru

Pentru

Pentru

Pentru

Pentru

5) Functia exponentiala:

Pentru Pentru

6) Functia logaritmica:

-

Pentru

Pentru

7) Daca r>0 si functia este functia exponentiala de baza e, atunci functia este compunerea celor doua functii:

si se numeste functia putere.

-

-

-

E.     Limite remarcabile :

1)

2) 3)

4) 5)

6) 7)

Dacasi daca exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

atunci :

1)

2)

3) 4)

Daca atunci: 5)

6) 7)

Observatie : Aceste limite remarcabile sunt utile atunci c@nd apar cazuri de nedeterminare.

F. Asimptote : Fie functia punct de acumulare pentru D.

Definitie: 1) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala la st@nga a lui f daca

sau

2) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala la dreapta a lui f daca

sau

3) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala a lui f daca este asimptota

verticala la st@nga sau la dreapta a lui f sau de ambele parti.

Observatii: 1) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f sa fie definita in .

Daca este punct de acumulare pentru f atunci functia nu are asimptota verticala

.

2) Functia polinomiala fiind continua pe R, nu are asimptote verticale.

3) Functia rationala are ca asimptote verticale dreptele , unde este radacina a

numitorului.

4) Functia logaritmica are ca asimptota

verticaladreapta de ecuatie x = 0.

5) Functia f(x) = tg x are ca asimptote verticaledreptele de ecuatie

Definitie: Fie functia , unde D contine un interval de forma . Spunem ca

dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre a functiei f, daca

distanta dintre dreapta si grafic, masurata pe verticala tinde catre zero c@nd x tinde catre

adica daca:

Definitie: Fie functia , D contine un interval de forma . Spunem ca

dreapta y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre a functiei f daca

Teorema: 1) Dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre a lui f daca si

numai daca (finite) unde

2) Dreapta de ecuatie y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre a lui f daca si

numai daca (finite) unde

Observatii: 1) Practic pentru a determina asimptota oblica la parcurgem etapele :

se calculeaza ;

daca nu este finit, atunci se calculeaza ;

daca n este finit, atunci dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica spre .

Pentru determinarea asimptotei oblice spre se procedeaza analog.

2) Daca cel putin una dintre cele doua limite nu exista sau este infinita, atunci nu exista

asimptota oblica spre pentru f.

3) Daca m=0 si n este finit, atunci y=n si se numeste asimptota orizontala spre a lui f.

Daca m=0 si n' este finit, atunci y=n' si se numeste asimptota orizontala spre a lui f.

Observatie: O functie nu poate admite at@t asimptote oblice c@t si asimptote orizontale la .

Exemple:

A.      1) Sa se arate ca nu exista.

Solutie: Consideram functia este punct de acumulare al domeniului de definitie. Consideram sirurile . Dar si . Cum rezulta ca nu exista.

Exercitii propuse: Sa se arate ca urmatoarele limite nu exista: a ; b) ;

c)

Limitele laterale nu sunt egale, rezulta nu exista.

2) Sa se determine astfel inc@t functia cusa aiba limita in punctul x=3.

Solutie: Daca f are limita in x=3 => f(3-0)=f(3+0)

Exercitii propuse:

1) Stabiliti daca urmatoarele functii au limite in punctul indicat:

a)    

b)    

c)     

d)     e)

2) Determinati constanta pentru care functiile au limita in punctul indicat:

a)    

b)    

c)     

B.      1) Sa se calculeze limitele:

a)    

trecem la limita in inegalitate:

b)     Consideram functia f(x)=cos x ;;

Exercitii propuse: Calculati limitele:

C.      Sa se calculeze limitele:

a) b)

c)

a) b) c)

d)

e) f)

3) a) b) c)

4) a) b) c)

5) a)b) c)

6) a) b) c)

7) a) b)

Exercitii propuse: Calculati urmatoarele limite:

1) a) b) c)

2) a) b) c) d) e)

f) g) h)

3) a) b) c)

4) a) b) c) d)

5) a) b) c) d) e)

6) a) b) c) d)

7) a) b) c)

D.      Calculati limitele:

1) a) b)

c)

d)

e) . Notam

. C@nd .

Exercitii propuse: Calculati limitele:

2) a) b)

c)

d) Consideram

e)

Exercitii propuse:

.

3) a) b)

c)

Exercitii propuse:

4) a) b)

c)

d) e)

Exercitii propuse: .

Cazuri de nedeterminare

Reamintim, cazurile de nedeterminare sunt:

I. Cazul poare fi int@lnit in situatiile:

a) limite de functii rationale in puncte finite .

, daca este radacina de ordin k pentru q se face simplificarea fractiei

b) limitele de functii rationale in grupare cu functia modul.

c) limite de expresii defite prin c@t de expresii irationale.

- se amplifica cu conjugata numitorului, numaratorului sau a ambilor.

1)

2)

3)

4)

5)

d) limite de functii trigonometrice (se utilizeaza limitele:

)

1) 2)

3) Notam

4)

e) limite de functii exponentiale, logaritmice (se utilizeaza limitele:

)

1) 2)

3)

f) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie doua functii cu proprietatile: 1) f,g divizibile prin (a,b) ;

2) 3) 4) exista .

Atunci exista limita si mai mult

Exemple: 1) 2 ;

3)

II. Cazul poate fi int@lnit in situatiile:

a) limite de functii rationale.

1) 2)

b) limite de functii irationale, exponentiale, logaritmice.

1)

2)

c) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie doua functii cu proprietatile: 1) f,g sunt derivabile pe (a,b);

2) 3) 4) exista . Atunci exista limita si mai mult are loc egalitatea

Exemple: 1) 2)

3)

III. Cazul :

a) limita de functii rationale (se aduce la acelasi numitor).

b) limite de functii irationale (se amplifica cu conjugata).

c) limite de functii exponentiale, logaritmice.

1) 2)

d) scriem f - g intr-o alta forma: sau

1)

2)

IV. Cazul . Se scrie produsul fg in unul din urmatoarele moduri:

daca pentru sau daca , fiecare caz

reduc@nduse la cazul sau .

1) 2)

3)

V. Cazul . (Se utilizeaza limita ).

1)

2)

3)

VI. Cazul . (Se foloseste scrierea ).

1) 2)

3)

VII. Cazul .

1) 2) Notam

Limite de functii cu parametri

1) Sa se determine a,b astfel inc@t

Solutie: Daca nu are limita 0 atunci limita va fi sau . Obtinem si 1-a = 0 => a=1.

Obtinem .

Sa se determine a,b,c astfel inc@t .

Solutie: .

Pentru ca limita sa fie finita este necesar ca 2 - 2b = 0 => b=1.

Obtinem

F. Sa se determine asimptotele pentru functiile:

1)

- asimptote verticale. Cautam in si .

x -2 2

=> ca x = -2 este asimptota verticala a lui f. + + + + + + + 0 - - - - - - - 0 + + + + + + +

De asemenea => ca x = 2 este asimptota verticala a lui f.

- asimptote orizontale.

y = 1 este asimptota orizontala spre

y = 1 este asimptota orizontala spre

- asimptote oblice nu cautam deoarece exista asimptote orizontale.

2)

-asimptote verticale. Cautam in

x = - 5 este asimptota verticala.

- asimptote orizontale.

ca nu exista asimptote orizontale.

- asimptote oblice:

dreapta y = x - 5 este asimptota oblica spre .

dreapta de ecuatie

y = x - 5 este asimptota oblica spre

3)

- asimptote verticale:

dreapta x = 0 este asimptota verticala la dreapta in 0.

- asimptote orizontale: ca f nu poseda asimptote orizontale.

- asimptote oblice: - spre

9) 10) 11)

12) 13) 14) 15) 16)

17) 18)

II. Determinati parametrii reali a,b,c astfel in@t sa aiba loc:

; 2) ;

.

III. Determinati asimptotele urmatoarelor functii , unde D reprezinta domeniul maxim de definitie:

1) 2) 3)

IV. Se considera functia definita prin expresia , a fiind un parametru real, a>0.Sa se determine a astfel inc@t graficul functiei sa aiba o singura asimptota verticala.

(Bacalaureat - 1999).