Notiunea: enunt, propozitie si predicat
Definitie: Prin enunt intelegem un ansamblu de simboluri (semne) carora li s-a atribuit un sens.
Exemple: 
"
; 3) "Numerele 2,3 si 7 sunt numere prime" ; 4) "
";
6) "Diagonalele unui romb sunt perpendiculare".
Observatie: Intr-un enunt trebuie sa distingem doua parti:
subiectul (subiectele) enuntului
partea predicativa a enuntului
Exemplele care urmeaza nu sunt enunturi:
"Patratul si triunghiul" ; 2) "Numerele 2 si 3".
In matematica exista doua tipuri de enunturi:
A) Propozitia
Definitie: Prin propozitie intelegem un enunt despre care putem afirma, fara ambiguitate, ca este un adevar sau un fals.
Exemple de propozitii: 
"
; 5) "3 divide pe 6" ; 6) "singurul numar prim par este 2" ; 7) "
Propozitiile
se noteaza de obicei cu literele: 
,
. etc.
Calitatea
unei propozitii de a fi adevarata sau falsa o vom numi valoare de adevar.
Valoarea de adevar a unei propozitii p o vom nota cu 
Spunem
ca o propozitie 
este adevarata
daca are valoarea de adevar "adevarul" si vom nota 
,
iar o propozitie este falsa daca are valoarea de adevar
"falsul" si vom nota 
B) Predicat
Definitie: Un enunt care contine una sau mai multe variabile se numeste predicat.
Observatii: 1) Se mai spune ca un predicat este un enunt cu cel putin un subiect al sau nedeterminat.
Un predicat se mai numeste si propozitie cu variabila (variabile).
Pentru fiecare variabila a predicatului, daca aceasta rezulta din context, se precizeaza multimea sa de definitie.
In
functie de numarul variabilelor, predicatele logice sunt unare, binare,
ternare, etc. Un predicat cu 
variabile il numim predicat -ar.
Predicatele
se noteaza: 
,
. (predicate unare cu variabila 
,
. (predicate binare cu doua varibile si 
,
. (predicate ternare cu trei variabile si 
),
etc.
Exemple de predicate: 
Operatii logice elementare (conectori logici)
Cu propozitiile logice simple (numite si atomi) pentru care valoarea de adevar se stabileste imediat, prin intermediul unor operatori logici sau conectori logici, se pot formula propozitii logice complexe, numite formule ale calculului propozitional.
De regula se consider trei conectori logici fundamentali: negatia logica, conjunctia logica si disjunctia logica. Din acestia mai rezulta inca doi conectori derivati: implicatia logica si echivalenta logica.
a) Negatia propozitiilor
Se considera propozitia
notata cu
Definitie:
Prin negatia propozitiei ,
intelegem o propozitie (notata cu ญญญญญ
si citim "non ")
care este propozitie adevarata cand este falsa si este propozitie falsa
cand este adevarata.
Valoarea de adevar a propozitiei ("non ")
este data in urmatorul tabel:
|
|
|
Exemple de propozitii si negatiile lor:
:
"Numarul 6 este numar prim" ; 
:
"Numarul 6 nu este numar prim"
:
"Apa ingheata la 
:
"Apa nu ingheata la
:
"Diagonalele unui paralelogram se injumatatesc" ; 
:
"Diagonalele unui paralelogram nu se injumatatesc"
Exercitiu: Pentru orice propozitie p, avem 
(legea negarii
negatiei). Alcatuim tabelul de adevar:
|
|
|
|
b) Disjunctia propozitiilor
Se considera
propozitiile
Definitie: Prin disjunctia propozitiilor 
, intelegem o propozitie (notata cu 
si citim " sau ") care este o propozitie adevarata cel putin una dintre
propozitii este adevarata si este falsa cand ambele propozitii sunt
false.
Valoarea de adevar a
propozitiei (" sau ") este data in tabelul de adevar alaturat.
|
|
|
|
Exemple:
Se dau doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand conectorul
"
sau
Avem
,
de unde 
(conform afirmatiei).
:
"Diagonalele unui dreptunghi sunt perpendiculare" ; 
:
"Diagonalele unui dreptunghi sunt perpendicular sau
Avem ,
de unde 
Exercitiu: Oricare ar fi propozitia ,
propozitia 
este adevarata (se mai zice si tautologie).
Observatie: Prin tautologie (sau lege sau formula valida) intelegem o formula a calculului propozitional (adica propozitie compusa sau format cu conectori logici care au valoarea de adevar "adevarul", oricare ar fi valoarea de adevar a propozitiilor componente.
Revenind la exercitiu, vom alcatui tabla de adevar a
propozitiei
|
|
|
|
Observatie:
Legea se mai numeste principiul tertului exclus.
c) Conjunctia propozitiilor
Se
considera propozitiile
Definitie: Prin conjunctia propozitiilor ,
intelegem o propozitie (notata cu 
si citim " si ")
care este o propozitie adevarata daca ambele propozitii sunt adevarate
si este falsa in restul situatiilor.
Valoarea
de adevar a propozitiei (" si ")
este data in tabelul de adevar alaturat:
|
|
|
|
Exemple: Se dau doua propozitii simple si formam
propozitia compusa aplicand conectorul "
; 
si
Avem 
,
de unde 
si
Avem ,
de unde 
Exercitiu:
Oricare ar fi propozitia p, propozitia 
este falsa. Intr-adevar, alcatuind tabelul de
adevar al propozitiei se observa ca 
|
|
|
|
Observatie:
Propozitia se numeste principiul contradictiei.
d) Implicatia propozitiilor
Plecand de la conectorii fundamentali (negatia, disjunctia si conjunctia) obtinem conectori derivati cum ar fi implicatia si echivalenta.
Fie
propozitiile .
Cu aceste propozitii formam propozitia 
,
pe care o vom nota de aici incolo cu 
(" implica
Definitie: Prin implicatia propozitiilor ,
intelegem o propozitie care este propozitie falsa cand este adevarata si falsa si este propozitie adevarata in
restul situatiilor.
Valoarea
de adevar a propozitiei (" implica ")
este data de tabelul de adevar alaturat:
|
|
|
|
Retinem: Propozitia 
este una si aceeasi cu propozitia
Exemple: Se consider doua propozitii simple si
formam propozitia compusa aplicand conectorul "
:
"Balena zboara" ; implica balena zboara"
Avem ,
de unde 
implica 
Avem ,
de unde 
implica
Avem ,
de unde (falsul implica adevar).
implica 
Avem , de unde
e) Echivalenta propozitiilor
Se considera propozitiile
Definitie: Prin echivalenta propozitiilor , intelegem o propozitie (notata cu 
si citim " echivalent cu ") care este o propozitie adevarata daca ambele
propozitii au aceeasi valoare de adevar si este o propozitie falsa in
restul situatiilor.
Valoarea de adevar a propozitiei (" echivalent cu ") este data de tabla de adevar alaturata:
|
|
|
|
Exemple: Se dau doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand
conectorul "
echivalent cu
Avem , de unde 
echivalent cu
Avem , de unde 
echivalent cu
Avem , de unde
Exercitiu:
Sa se verifice ca 
|
|
|
|
|
|
|
Se observa in tabel ca
in ultimele doua coloane avem aceeasi valoare de adevar oricare ar fi valorile
de adevar ale propozitiilor
Cuantificatori (pentru predicate unare)
Prin prin predicat intelegem un enunt cu cel putin un subiect al sau nedeterminat. Subiectele nedeterminate se numesc variabile.
In continuare se va da un procedeu de a forma propozitii particulare plecand de la predicat! Acest procedeu il vom aplica pentru predicatele unare si binare.
Sa consideram predicatul unar 
". Inlocuind pe cu un numar intreg
se obtin
propozitii 
care sunt ori
adevarate, ori false.
Fie 
un predicat. (
este domeniul
variabilei)
Definitie: Propozitia "oricare ar fi 
are loc " se numeste propozitie universala asociata
predicatului
Notatie: Propozitia universala se noteaza "
" (citim: "oricare ar fi are lor
Observatie: Cuantificatorul "oricare ar fi" sau "pentru oricare" se numeste cuantificatorul
universal si se noteaza cu simbolul "
Valoarea de adevar: 1) Propozitia este adevarata
daca pentru oricare 
, propozitia este o propozitie
adevarata.
2) Propozitia este falsa
daca exista cel putin un pentru care
propozitia este falsa.
Exemple:
1) Fie predicatul 
". Propozitia 
este o propozitie
adevarata deoarece pentru orice 
, propozitia 
" este adevarata.
2) Fie predicatul
|
