LOGICA PROPOZITIONALA

Matematica

  252b18c

Propozitiile alcatuite din alte propozitii sunt numite propozitii compuse. Propozitia compusa (moleculara) este alcatuita din propozitii simple (atomare) asupra carora actioneaza anumiti operatori propozitionali. Propozitiile simple vor fi simbolizate cu litere mici, (p, q, r.) numite variabile propozitionale .

Valoarea de adevar a propozitiilor compuse este determinata univoc de valoarea de adevar a propozitiilor simple la care se aplica operatorul respectiv, fapt pentru care propozitiile compuse sunt considerate functii de adevar.[2]

Operatorii logici pot lega un numar mare de propozitii, dar pactic au importanta doar operatiile logice cu una sau doua variabile propozitionale. Vom vorbi astfel de operatori de ordinul unu (operatori monari) si operatori de ordinul doi (operatori binari).

Operatorii monari sunt afirmarea si negarea unei propozitii. Fiindca propozitia asupra careia actioneaza operatorul poate fi adevarata sau falsa, rezulta patru functii de adevar de ordinul unu: afirmarea unei propozitii adevarate, afirmarea unei propoozitii false, negarea unei propozitii adevarate si negarea unei propozitii false.

Întrucât afirmarea unei propozitii nu schimba valoarea de adevar a propozitiei respective, ne vom opri doar asupra negatiei.

2.1. NEGAŢIA

Negatia apare în limbajul natural prin "nu", "nu este adevarat p " sau "este fals p". Vom utiliza simbolul p (non-p)[3].

Operatiile se definesc prin tabele de adevar sau matrici logice de adevar, în care numarul de combinatii dintre valorile de adevar care formeaza liniile din tabel se calculeaza dupa formula 2ⁿ, unde 2 este numarul valorilor de adevar (adevarul notat conventional cu 1, respectiv falsul notat cu 0), iar n este numarul variabilelor propozitionale, adica numarul propozitiilor simple. În cazul negatiei, avem o singura propozitie. Iata tabelul negatiei:

p p

0

1

Prin negarea unei propozitii p se obtine o noua propozitie p , complementara în raport cu prima. Raportul dintre o propozitie si negatia ei este unul de contradictie: cele doua propozitii nu pot fi simultan nici adevarate, nici false. Prin dubla negatie a unei propozitii se obtine propozitia initiala:

p p (legea negarii negatiei)

Ex.: Daca nu este adevarat ca nu ninge, atunci ninge

Pentru a construi negatia unei propozitii în limba naturala nu se poate proceda mecanic, prin aplicarea unei negatii, ci trebuie sa tinem seama de raportul de contradictie. Negatia propozitiei Unii studenti sunt prezenti la curs nu este Unii studenti nu sunt prezenti la curs fiindca aceste doua propozitii, fiind subcontrare, pot fi ambele simultan adevarate. Negatia propozitiei va fi Este fals ca unii studenti sunt prezenti la curs ceea ce înseamna ca Nici un student nu este prezent la curs.

Pentru operatorii binari, numarul functiilor de adevar de ordinul doi este de 16, dupa cum rezulta din urmatorul tabel[4]:

2.2. ConjuncŢia

În limbajul natural conjunctia apare prin si, iar, dar, desi, însa, cu toate ca, în pofida, indicând, în toate cazurile, asocierea a doua propozitii. Conjunctia a doua propozitii p q[5] (citita p si q) este adevarata numai daca ambele propozitii (numite conjuncte) sunt adevarate. Matricea operatorului este urmatoarea:

p q p q

1

0

0

0

Rezulta ca daca un termen al conjunctiei are valoarea 0, întreaga conjunctie este falsa (p 0) = 0. Daca un termen este adevarat, conjunctia ia valoarea celuilalt termen (p 1)= p.

O conjunctie este valida (are întotdeauna valoarea "adevarat") numai atunci când fiecare termen al sau este o formula valia. De mentionat faptul ca nu întotdeauna prezenta lui si indica o conjunctie logica. O propozite de tipul Socrate si Platon au fost filosofi poate fi analizata ca o conjuctie logica alcatuita din propozitiile Socrate a fost filosof si Platon a fost filosof , dar o propozitie care enunta o relatie, ca propozitia Socrate si Platon au fost contemporani reprezinta o propozitie atomara care poate fi exprimata ca Socrate a fost contemporan cu Platon, ne putând fi tratata ca o conjunctie a doua propozitii.

2.3. DisjuncŢia neexclusiva

Disjunctia neexclusiva, sau disjunctia simpla, semnalata în limbajul natural prin "sau", "fie", "ori" , simbolizata prin pvq (subîntelegând "eventual amândoua"), este adevarata daca cel putin una din componentele ei (numite disjuncte), este adevarata si este falsa numai când toate componentele ei sunt false. De exemplu propozitia: Dupa-amiaza o sa citesc o carte, sau o sa ascult muzica.

Matricea operatorului este urmatoarea:

p q pvq

1 1

0 1

1 1

0 0

Rezulta ca: pv1=1

pv0=p

Cu alte cuvinte, daca unul dintre termenii disjunctiei este adevarat, disjunctia este adevarata; daca nici un termen al disjunctiei nu este adevarat, disjunctia este falsa.

O disjunctie de variabile propozitionale este valida, daca si numai daca aceeasi variabila apare afirmata si negata.

2.4. DisjuncŢia exclusiva notata cu pwq[6] (sau p, sau q), exclude posibilitatea ambelor. În limbajul natural disjunctia exclusiva apare ca sau/sau; ori/ori.

Ex.: Ori te vei casatorii, ori vei ramâne burlac ( tot vei regreta, spunea Socrate)

Matricea operatorului este:

p q pwq

1 0

0 1

1 1

0 0

Se observa ca disjunctia exclusiva este falsa atunci când p si q au aceleasi valori de adevar si este adevarata când p si q au valori diferite.

Revenind la cele doua disjunctii, mentionam ca diferenta dintre pvq si pwq conteaza doar atunci când propozitiile p si q ar putea fi si împreuna adevarate; în caz contrar, situatia care diferentiaza cei doi operatori nu apare.

2.5. IMPLICAŢIA

Implicatia are forma daca p atunci q si se simbolizeaza p q [7](p implica q), reprezentând o relatie de succesiune logica între doua propozitii. Propozitiile implicative se mai numesc si ipotetice sau conditionale. Cele doua componente joaca roluri diferite, p este antecedentul, iar q este consecventul. Antecedentul este o conditie suficienta pentru consecvent.

În limbajul natural, alaturi de "daca.atunci", se folosesc si alte moduri de exprimare: "ori de câte ori p, q", "când p atunci q", "deoarece..", "dat fiind faptul ca.", "în cazul ca", sau prin simpla alaturare a propozitiilor caîn cazul: Ai carte, ai parte. Toate aceste formulari cuprind în semnificatia lor faptul ca daca p atunci, cu necesitate, q; altfel spus, este imposibil p si q. O astfel de propozitie va fi considerata falsa în cazul în care antecedentul este adevarat, iar consecventul fals.

Tabelul de valori al implicatiei este:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

1

Rezulta ca:

a) daca antecedentul unei implicatii este adevarat, valoarea de adevar a implicatiei este în functie de valoarea consecventului: (1 q)= q

daca antecedentul este fals, atunci implicatia este adevarata: (0 q)=1

daca secventul este adevarat, implicatia este adevarata (p

daca secventul este fals, atunci implicatia ia valoarea negatiei antecedentului: (p p

Orice inferenta poate fi considerata o implicatie în care antecedentul este conjunctia premiselor, iar consecventul este concluzia inferentei.

O expresie de tipul "numai daca", "doar daca" reprezinta o implicatie inversa. O expresie de tipul "Daca si numai daca. atunci" este o implicatie reciproca (daca p. atunci q si daca q, atunci p). Implicatia reciproca sau biconditionala este echivalenta.

2.6. ECHIVALENŢA

Echivalenta înseamna "aceeasi valenta "(valoare de adevar). Rezulta ca daca p si q au aceeasi valoare, echivalenta este adevarata, iar daca au valori diferite, atunci echivalenta este falsa.[8] Simbolul folosit este p q[9] (p este echivalent cu q). Matricea operatorului (coloana a saptea) este:

p q p q

1 1

0 0

1 0

0 1

Daca una dintre componentele echivalentei este adevarata, atunci valoarea de adevar a echivalentei depinde de valoarea celeilalte componente: (p 1)= p

Daca una dintre componentele echivalentei este falsa, atunci valoarea de adevar a echivalentei este aceeasi cu negatia celeilalte componente: (p p

Echivalenta este redata în limbaj natural prin propozitii biconditionale, sau prin judecati ipotetice exclusive, care redau relatii dintre o conditie necesara si suficienta si o consecinta suficienta si necesara:"daca si numai daca, atunci.", "atunci si numai atunci.". Nu de putine ori se folosesc formulari mai scurte de tipul". numai daca.", "daca, atunci." sau "cu conditia sa."; se enunta, deci, explicit, numai conditia necesara sau numai cea suficienta, cealalta fiind subînteleasa, sugerata de context.

Daca o propozitie compusa ia valoarea 1 pentru tote combinatiile valorilor de adevar ale propozitiilor atomice, ea se numeste tautologie (cazul 1 din tabel). Tautologiile sunt expresii ale legilor logice. Ele sunt adevarate indiferent care ar fi valoarea de adevar a propozitiilor componente. Întrucât adevarul lor nu depinde de adevarul componentelor, ci de forma lor, ele se mai numesc si formule analitice.

Daca o formula ia valoarea 0 pentru toate combinatiile de adevar ale propozitiilor componente (pozitia 16 din tabel) , atunci ea este inconsistenta sau contradictie logica. Contradictiile sunt negatii ale legilor logice.

O propozitie compusa care pentru unele valori ale propozitiilor simple din componenta ei ia valoarea 1, iar pentru altele ia valoarea 0 este contingenta (realizabila). Asa sunt formulele ce definesc operatorii propozitionali binari (pozitiile 2-15 din tabel). Aceste formule depind de valoarea de adevar a propozitiilor simple, de continuturile materiale (empirice) care intra în forme si, de aceea, se mai numesc si sintetice.

Tautologiile si formulele contingente sunt consistente, iar cele inconsistente si contingente sunt netautologice.

*

Proprietatile operatorilor sunt redate de urmatoarele legi logice:[10]

1. (p p) p (idempotenta)

2. (p q) (q p) (comutativitate)

3. [(p q) r p (q r) (asociativitate)

4. [p (qvr) (p q)v(p r) (distributivitatea)

5. (pvp) p (idempotenta)

6. (pvq) (qvp) (comutativitate)

7. [(pvq)vr] [ pv(qvr)] (asociativitate)

8. [pv(q r)] [(pvq) (pvr)] (distributivitatea)

9. p p (reflexivitate)

10. (p q) q p) (contrapozitia)

11. [(p q) (q r)] (p r) (tranzitivitatea)

12. (p q) pvq)

13. (p q) (q p) p q ) q p)

14. (p q) (pwq)[11]

Urmatoarele legi, care exprima raporturile dintre conjunctie si disjunctie, sunt cunoscute sub numele de "legile lui De Morgan": 

15. (p q) p v q) 17. ( p v q) (p q)

16. (pvq) p q)  18. ( p q) (pvq)

Se poate observa din matriciile celor doi operatori ca daca vom nega valorile de adevar ale propozitiilor uneia si negam, deasemenea, operatia se obtine matricea celuilalt operator. Negatia unei conjunctii este o disjunctie de negatii, iar negatia unei disjunctii este o conjunctie de negatii. Aceste formule au mai fost numite sugestiv "ruperea liniei de negatie".

Ex: Nu este adevarat ca aceasta figura este un cerc sau o elipsa = Aceasta figura nu este nici cerc, nici elipsa.

Relatiile dintre conjunctie-disjunctie si ceilalti operatori pot fi evidentiate si prin intermediul urmatorului patrat:

p q p q

W

pvq v p v q

Pe diagonalele patratului exista relatii de contradictie, pe latura de sus relatii de contrarietate (incompatibilitate), pe cea de jos, relatii de subcontrarietate, iar pe verticala relatii de subalternare (implicatie) coborând pe patrat si de implicatie cu termenii negati urcând pe patrat.[12]

Utilizând legile logice, operatorii pot fi redusi unul la celalalt. Exemplificam mai jos una din multiplele posibilitati de reducere. stim ca disjunctia exclusiva este negarea echivalentei, deci (pwq) (p q); stim, deasemenea, ca echivalenta este implicatie reciproca (p q) ( p q) (q p) ; dar implicatia, p q, poate fi tradusa ca pvq. Prin legile lui De Morgan, disjunctia se poate transforma în conjunctie, etc. Cu setul de operatori putem sa realizam reduceri ale unuia la celalalt, chiar daca nu cunoastem toate legile logice ale propozitiilor compuse.

Orice inferenta deductiva poate fi considerata o implicatie logica între premise si concluzie. Silogismul categoric simplu poate fi înteles acum ca o conjunctie a celor doua premise care implica o concluzie: (p q) r ; se întelege acum validitatea silogismului: un silogism este nevalid numai daca din premise adevarate (conjunctia este adevarata numai daca ambele conjuncte sunt adevarate) rezulta concluzie falsa.

Inferentele cu propozitii compuse primesc denumirea dupa forma premise initiale, respectiv dupa operatorul principal. Distingem, astfel, între rationamente ipotetice, în care operatorul principal este implicatia si rationamente disjunctive, în care operatorul principal este disjunctia.

În inferentele ipotetice premisele sunt propozitii conditionale. Daca e marti, sunt doua ceasuri rele. E marti, deci sunt doua ceasuri rele.

p q

p .

q

Pentru astfel de inferente s-a încetatenit denumirea de moduri, pentru cazul de fata, modus (ponendo-) ponens[13]

Daca e marti, sunt doua ceasuri rele. Nu sunt doua ceasuri rele, deci nu e marti

p q

q

p modus (tollendo-) tollens[14]

În inferentele disjunctive apar cu rol de premise propozitii disjunctive:

a)pvq b) pvq c) pwq d) pwq e) pwq f) pwq

p q p q p q

q p q p  q p

Inferentele a), b), e), f) se numesc modus tolendo-ponens, iar c) si d) modus ponendo-tollens.

Inferentele cu mai mult de doua premise sunt numite dileme. Vom prezenta în cele ce urmeaza câteva inferente care combina modurile prezentate anterior. Daca în concluzia dilemei avem o singura propozitie, dilema se va numi simpla, iar daca sunt cel putin doua, dilema se va numi complexa. Atunci când concluzia este afirmativa, dilema se numeste constructiva, iar atunci când concluzia este negativa, dilema se numeste distructiva.

dilema simpla  dilema complexa

conctructiva distructiva constructiva distructiva

p r  p q p r p r

q r p r q s q s

pvq q v r pvq r v s

r p  rvs p v q

Vom exemplifica printr-o dilema constructiva complexa, a carei validitate o vom verifica ulterior: "Daca voi spune adevarul , ma vor iubi zeii, iar daca voi spune minciuni, ma vor iubi oamenii. Cum nu pot spune decât adevarul sau minciuna, voi fi iubit fie de oameni, fie de zei."[15]

Logica propozitiilor compuse este o teorie decidabila, deci exista diverse metode prin care putem stabili valoarea de adevar a unui rationament compus din astfel de propozitii. Dintre multiplele metode utilizate vom aminti doar doua dintre ele, aflate una în prelungirea celeilalte.

O metoda simpla de verificare a validitatii rationamentelor cu propozitii compuse este metoda experimentata deja în definirea operatorilor, metoda tabelelor de adevar sau metoda matriciala.

Indiferent ce metoda am adopta, prima operatie de care va depinde întreg demersul de verificare este traducerea limbajului natural în limbaj formal. Nu exista, nici în cazul acesta, o metoda foarte riguroasa prin care sa realizam aceasta traducere. Ne vom baza în consecinta pe cele câteva reguli enuntate la definirea principalilor operatori si, desigur, pe "simtul" nostru logic. O data realizata formula logica a rationamentului, verificarea consta în realizarea combinatiilor de adevar si fals pentru propozitiile atomice care compun formula. Numarul necesar de combinatii, reamintim, se stabileste dupa formula 2ⁿ, unde n reprezinta numarul variabilelor propozitionale (propozitiilor atomice).

Pasul urmator îl constituie calculul propozitional. În final vom decide dupa rezultatul obtinut astfel: daca rezultatul calculului este adevar pentru toate valorile de adevar ale propozitiilor componente, rationamentul este valid; în caz contrar este nevalid.

Sa luam ca exemplu urmatorul rationament prin care mama atenianului îsi avertizeaza fiul sa nu intre în politica fiindca:

"Daca spui adevarul, oamenii te vor urî, iar daca spui minciuni, te vor urî zeii. Dar nu poti sa spui decât adevarul sau minciuni. Asadar, fiul meu, vei fi urât fie de oameni, fie de zei".

Prima operatie este identificarea propozitiilor atomare:

p = spui adevarul

q = oamenii te vor urî

p = daca spui minciuni

r = zeii te vor urî

A doua operatie consta în identificarea formei argumentului:

(p q) p r) (pv p) (qvr)

În al treilea pas construim tabele de adevar pentru cele trei propozitii, prin combinarea tuturor valorilor de adevar, dupa formula amintita. În cazul de fata 2³=8. Apoi, respectând ordinea operatiilor, identificam valoarea de adevar a fiecarei propozitii moleculare, pentru ca în final sa calculam valorile de adevar ale operatorului principal, implicatia concluziei de catre premise

p p q r p q p r p v p q v r

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

Rezulta ca argumentul este corect întrucât pentru toate combinatiile valorilor de adevar ale propozitiilor componente formula ia valoarea adevarat.

Metoda decizie prescurtate se impune întrucât metoda tabelelor de adevar, desi simpla, devine inoperabila în situatiile în care numarul propozitiilor atomice creste. Daca avem patru sau cinci propozitii, numarul liniilor devine 16, respectiv 32. Este limpede ca nu putem folosi, în aceste cazuri, metoda tabelelor. Pentru astfel de situatii se poate prescurta decizia astfel:

încercam, mai întâi, sa falsificam formula, adica sa cercetam daca poate fi falsa; daca exista celputin o situatie în care formula rationamentului ia valoarea fals, atunci rationamentul este nevalid; nu stim înca daca esre reslizabil, contingent sau daca este inconsistent; pentru a afla si acest lucru, parcurgem o a doua etapa:

încercam sa adeverim formula, adica sa dovedim ca poate fi adevarata; daca exista cel putin o situatie în care formula ia valoarea adevarat, înseamna ca formula este contingenta.

Pentru usurinta întelegerii sa exemplificam pornind de la urmatoarea formula:

(pvs)w(q r) (s q) (pvr)

a) pentru ca formula sa fie falsa ar trebui ca antecedentul sa fie adevarat si consecventul sa fie fals; antecedentul este adevarat în mai multe situatii[16], caz în care analizam acele valori în care consecventul ar putea fi fals: s q sa fie adevarat, iar pvr sa fie fals; aceasta situatie se produce numai daca s=1, q=1, p=0, r=0;pentru aceste valori, antecedentul este adevarat; rezulta 1 0=0, formula este nevalida; pentru a vedea daca este inconsitenta continuam cu tentativa de adeverire.

b) Pentru ca formula sa fie adevarata, ar fi suficient ca pvr din consecvent sa fie adevarat întrucât x 1=1; pentru aceasta este suficient ca r=1; asadar, când r=1 formula ia valoarea 1, indiferent de valoarea celorlalte componente. Întrucât formula ia uneori valoarea 0 (cazul a), iar alteori valoarea 1, rezulta ca este o formula contingenta.

c) Sa verificam prin aceasta metoda validitatea argumentului verificat prin metoda tabelelor de adevar:

(p q) p r) (pv p) (qvr)

Pentru ca formula sa fie falsa (x y), ar trebui ca antecedentul (x) sa fie adevarat, iar consecventul (y) fals. Consecventul (qvr) este fals numai în situatia în care q=0 si r=0. În aceasta situatie în antecedent vom avea:

(p p (p v p

Formula (pv p) este adevarata, independent de valoarea lui p, fiind o lege logica; daca p=1, prima paranteza din antecedent va fi 0 si, prin aceasta, întreg antecedentul ia valoarea 0; daca p=0, a doua paranteza din antecedent va fi 0, iar prin aceasta, întreg antecedentul va fi 0. Rezulta ca daca vom avea un consecvent 0, atunci antecedentul nu poate fi 1 si, prin urmare, argumentul este valid.

Rezumat

în logica propozitiilor compuse rationamentele sunt descompuse în propozitii simpe, tratate ca întreg.

un rationament cu astfel de propozitii este întotdeauna o implicatie a concluziei de catre conjunctia premiselor

fiind o implicatie, corectitudinea rationamentului (condensat într-o formula tautologica) este conditionata de imposibilitatea antecedentului adevarat si a consecventului fals; acum se întelege mai bine si conditia generala a validitatii, discutata în prima tema: într-un rationament valid este imposibil ca din premise adevarate sa se ajunga la concluzie falsa.

propozitiile compuse nu epuizeaza posibilitatile de formalizare a limbajului natural; insuficientele de formalizare din acest limbaj sunt depasite de limbajul propozitiilor complexe, propozitii care preiau structurile operatorii ale celor compuse dar realizeaza în acelasi timp si o analiza a termenilor.

& Aplicatii si teme de evaluare

1. Fie argumentul:

a) Daca autobuzul pleaca la ora fixata si nu are întârzieri pe traseu, înseamna ca va ajunge la timp. Întrucât autobuzul nu a ajuns la timp, rezulta ca el nu a plecat la ora fixata sau ca a avut întârzieri pe traseu.

b) Daca populatia creste în progresie geometrica, în timp ce resursele cresc în progresie aritmetica, saracia generalizata este inevitabila. Populatia nu creste în progresie geometrica. Deci, saracia generalizata nu este inevitabila.

c) Daca primarul ales este un bun gospodar sau dispune de consilieri priceputi, atunci fondurile vor fi directionate spre modernizarea utilitatilor publice. Cum fondurile sunt destinate modernizarii utilitatilor publice, înseamna ca primarul ales este un bun gospodar sau dispune de consilieri priceputi si onesti.

Cerinte:

1) Identificati propozitiile componente;

2) Determinati formula acestui rationament;

3) Verificati prin metoda deciziei prescurtate corectitudinea rationamentului;

4) Construiti o formula echivalenta cu formula rationamentului dat si dovediti echivalenta lor prin metoda tabelelor de adevar.

2. Verificati validitatea urmatoarelor rationamente:

a) "Daca în momentul respectiv paznicul nu era atent, masina nu putea fi observata când a intreat în depozit; daca depozitia martorului este adevarata, paznicul nu era atent în momentul respectiv. Fie masina a fost observata, fie soferul ascunde ceva; întrucât soferul nu ascunde nimic, rezulta ca depozitia martorului nu este adevarata."

b) "Ei bine, daca manânc marul si el ma face sa cresc mai mare, pot sa ajung cheia si sa intru în gradina; daca ma face sa devin mai mica,pot sa ma strecor pe sub usa si sa intru în gradina. Oricum o fi, voi intra în gradina" (Lewis Carroll)

c) "Daca exista dreptate în aceasta viata, atunci nu este nevoie de o viata viitoare. Daca, pe de alta parte, nu exista dreptate în viata noastra pamânteasca, atunci nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu este drept. Dar daca nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu este drept, atunci nu avem nici un motiv sa credem ca El ne va asigura o viata viitoare. Astfel, sau nu este nevoie de o viata viitoare, sau nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu ne va asigura o astfel de viata". (David Hume)

3. Trei persoane A, B, C, banuite de un jaf, declara sub prestare de juramânt:

A: B este vinovat, dar C este nevinovat

B: Daca A este vinovat, atunci si C este vinovat

C: Eu sunt nevinovat, dar cel putin unul din ceilalti doi este vinovat

Cerinte:

a) Demonstrati daca din declaratia unuia rezulta declaratia altui suspect

b) Daca cele trei persoane sunt nevinovate, care dintre ele a depus marturie falsa

c) Presupunând ca cei nevinovati au spus adevarul, iar cei vinovati au mintit, puteti preciza cine este vinovat si cine nu?

---