Universitatea "Petru Maior" Târgu-Mures

Facultatea de stiinte si Litere

Sectia: Matematică - Informatică

LUCRARE DE LICENŢĂ

CORPURI

CUPRINS

Introducere ....................... 3

Capitolul I. Inele.

1.1   &nbs 444o1417e p;  Definitia inelului. Exemple. ............... 4

1.2   &nbs 444o1417e p;  Proprietati de baza ale inelelor ............... 9

1.3   &nbs 444o1417e p;  Subinele ...................... 13

1.4   &nbs 444o1417e p;  Ideale ........................ 18

1.5   &nbs 444o1417e p;  Inel factor ....................... 23

1.6   &nbs 444o1417e p;  Morfisme de inele .................... 26

1.7   &nbs 444o1417e p;  Inele de fractii .................... 35

1.8   &nbs 444o1417e p;  Inele de polinoame ................... 38

1.9   &nbs 444o1417e p;  Inelul claselor de resturi modulo n ............. 46

Capitolul II. Corpuri.

2.1   &nbs 444o1417e p;  Definitia corpului. Exemple. ............... 50

2.2   &nbs 444o1417e p;  Proprietati de baza ale corpurilor .............. 55

2.3   &nbs 444o1417e p;  Subcorpuri ...................... 58

2.4   &nbs 444o1417e p;  Corpuri prime .................... 59

2.5   &nbs 444o1417e p;  Morfisme de corpuri ................... 62

2.6   &nbs 444o1417e p;  Corpuri finite ..................... 64

2.7   &nbs 444o1417e p;  Corpul fractiilor unui domeniu de integritate ........ 72

Bibliografie ........................ 75

INTRODUCERE

Corpurile joaca in rol important în rezolvarea problemelor legate de multimi înzestrate cu doua operatii binare.

Exemple concrete de multimi înzestrate cu doua operatii se întâlnesc de catre cei care vor sa studieze matematica înca din primele clase de scoala. Ei discuta despre suma si produsul a doua numere naturale desi definitiile mai concrete ale operatiilor de adunare si înmultire în multimea numerelor naturale nu le pot întelege înca. În liceu sunt învatati sa defineasca corect operatiile de adunare si înmultire în multimea numerelor întregi , rationale, reale, complexe, în multimea polinoamelor cu o nedeterminata, în multimea matricilor patratice etc.

Asemenea exemple concrete de multimi înzestrate cu doua operatii binare , pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg , prin introducerea notiunilor de inel si corp.

În lucrarea de fata am încercat sa fac o trecere în revista a celor mai cunoscute notiuni despre inele si corpuri, realizând o prezentare teoretica a inelelor si corpurilor, cât si demonstratii ale teoremelor cu unele exemple practice.

În primul capitol al lucrarii sunt prezentate principalele notiuni, definitii, teoreme si exemple de inele, iar capitolul doi face acelasi lucru legat de corpuri algebrice .

CAP. I. INELE

Definitia inelului. Exemple

1.1.1. Definitie : Fie A o multime înzestrata cu doua operatii binare notate prin simbolurile + si si numite operatie de adunare respectiv de înmultire. Tripletul (A,+, ) se numeste inel daca satisface conditiile ( axiomele) :

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  (A,+) este grup abelian (comutativ) ;

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    (A, ) este semigrup ;

(iii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Pentru orice a, b, c A ,

a (b + c) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc ,

adica operatia de înmultire este distributiva, atât la stânga cât si la dreapta, fata de operatia de adunare.

Explicitând proprietatile 1, 2 si 3, (A, +, ) este inel daca:

(x + y) + z = x + (y + z) , () x, y, z A.

A a. i. 0 + x = x + 0 = x , (") x A

") x A , -x A a.i. x + (- x ) = (- x) + x = 0

x(yz) = (xy)z , () x, y, z A

Observam ca A , deoarece cel putin elementul neutru fata de operatia de adunare trebuie sa apartina lui A, adica notând acest element prin 0 , neaparat 0A . Elementul 0 se numeste elementul zero al inelului, prin analogie cu numarul întreg zero, care joaca rolul de element neutru fata de operatia de adunare în Z.

Daca A nu contine alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (A,+, ) se numeste inel nul . Mai mult, se observa ca pentru orice multime formata dintr-un singur element exista o singura structura de inel, inelul nul.

1.1.2.   &nbs 444o1417e p; Exemple de inele:

(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative si unitare.

Mentionam ca multimea numerelor naturale , împreuna cu operatiile de adunare si înmultire , definite în modul cunoscut în aceasta multime , nu formeaza inel, întrucât (N, +) nu este grup.

(Z[i],+, ) numit inelul întregilor lui Gauss,

unde Z[i] = , iar operatiile + si sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z[i], +, ) este inel comutativ unitar.

(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Exemple concrete de inele:

1. Presupunând cunoscuta constructia numerelor naturale N, precum si proprietatile operatiilor de adunare si înmultire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor întregi. Pentru aceasta sa consideram produsul cartezian si definim în aceasta multime o relatie binara ≈ astfel

Relatia ≈ este o relatie în N x N, deci putem construi multimea  cât Z = N x N/_≈ , adica , unde

Definind în Z operatiile binare + si prin

se constata ca (Z, +, ) este un inel unitar si comutativ , având ca element zero clasa iar ca element unitate clasa . Pentru simplificarea scrierii se noteaza = 1 si = 1

Sa aratam ca inelul (Z, +, ) nu admite divizori ai lui zero nebanali. Pentru aceasta, fie si doua numere întregi pentru care ab = 0 , adica

deci,

de unde obtinem

Daca m = n sau p = q , atunci sau

Daca m > n ( > fiind relatia de ordine definita în modul cunoscut în N) , atunci exista l N , l , astfel încât m = n + l , deci

(n + 1)p + nq = (n + 1)q + np

adica

np + lp + nq = nq + lq + np

de unde , aplicând legile comutativitatii si simplificarii valabile pentru operatiile din N , primim p = q , prin urmare .

În cazul m < n se obtine b = 0 , iar în cazul p < q sau p > q se obtine a = 0 .

2. Sa notam prin M_n multimea tuturor matricilor patratice de ordin n (n N)

având elementele dintr-un inel (A,+, ) . Definind operatiile de adunare si înmultire a matricilor în modul cunoscut, adica

(i, j= 1,2, ,n)

tripletul (M_n, +, ) devine inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 A . Daca inelul poseda element unitate, atunci si inelul (M_n, +, ) , poseda element unitate. De asemenea, se stie ca operatia de înmultire a matricilor este, în general, necomutativa , deci inelul (M_n, +, ), va fi necomutativ. În sfârsit, se constata ca (M_n, +, ) , admite divizori ai lui zero. Într-adevar, daca consideram de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci

desi fiecare dintre matricile ce se înmultesc sunt diferite de matricea zero.

3. Fie (A, +, ) un inel si M o multime, M ≠ Ű . Sa notam prin A^M multimea tuturor functiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g A^M sa definim suma si produsul acestor doua functii astfel:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

(f g) (x) = f(x) g(x)

Se observa imediat ca f + g si f g sunt functii de la M la A , adica f + g , f g A^M. Apoi se constata ca (A^M, +, ) formeaza un inel pentru care elementul zero este functia z : M A definita prin z(x) = 0 (x M) . Acest inel este cu element unitate daca (A, +, ) poseda element de unitate . Într-adevar , daca 1 A este elementul unitate în inelul (A, +, ) , atunci functia ε : M A, definita prin ε(x) = 1 va fi element unitate în inelul (A^M, +, ) . De asemenea , daca (A, +, ) este comutativ , atunci si inelul (A^M, +, ) va fi comutativ.

În sfârsit , se constata ca acest inel este cu divizori ai lui zero. Pentru a dovedi acest lucru sa consideram , de exemplu , în inelul (Z^Z, +, ) functiile f, g : Z Z definite prin

daca x ≤ 0

daca x > 0

în rest

Observam ca pentru orice x Z avem (fg) (x) = f(x) g(x) = 0 , adica fg = z , desi atât f cât si g sunt diferite de elementul zero al inelului (Z^Z, +,

1.2.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Proprietati de baza ale inelelor

Teorema 1.2.1. Pentru fiecare a A , a a = 0 .

Demonstratie. Pentru orice a A , a 0 = a(0 + 0) = a 0 + a 0 , deci simplificând în grupul aditiv (A, + ) prin a 0 , obtinem a 0 = 0 . Similar se demonstreaza ca 0 a = 0 .

Teorema 1.2.2. Pentru orice a, b, c A ,

a(b - c) = ab - ac ;

(a - b)c = ac - bc ,

adica operatia de înmultire este distributiva fata de operatia de scadere , atât la stânga cât si la dreapta .

Demonstratie. În grupul (A, +) operatia de scadere se defineste prin formula a - b = a + ( - b) , deci pentru orice a, b, c A , (b - c) + c = b , adica  a[(b - c) + c] = ab deci a(b - c) + ac = ab , de unde primim a(b - c) = ab - ac . A doua egalitate se demonstreaza similar .

Teorema 1.2.3. Pentru orice a, b A, ( - a)b = a(- b) = - ab si de asemenea ( - a)( - b) = ab .

Demonstratie. Daca a, b A , atunci ab + ( - a)b = [a + ( -a)]b = 0 b = 0 si la fel, ab + a( - b) = a[b + ( - b)] = 0 , deci ( - a)b = a( - b) = - ab .

Apoi , ( - a) ( - b) = - [a( - b)] = ab .

Inelul (A, +, ) se numeste inel cu element unitate (sau inel unitar) , daca satisface conditia :

(iv)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Exista elementul 1 A , astfel încât pentru orice a A, a =1 a = a.

Daca inelul (A, +, ) este unitar , atunci are sens sa vorbim despre elementele inversabile (simetrizabile) ale acestui inel. Anume, elementul a A se numeste inversabil daca exista a ^{- 1} A cu proprietatea aa ^{- 1} = a ^{- 1} a = 1 .

Exemple: Inelele (Z ,+ , ) , (Q , + , ) , (R ,+ , ) , (C , + , ) , (Z[i], + , ) sunt domenii de integritate . Daca A este un inel unitar , elementele lui simetrizabile în raport cu înmultirea se numesc elemente inversabile sau unitati ale inelului..

Inversul sau simetricul lui a ,daca exista , se noteaza cu a .

Teorema 1.2.4. Multimea elementelor inversabile ale inelului unitar (A, +, ) formeaza grup în raport cu operatia de înmultire indusa.

Demonstratie. Fie S = si sa aratam ca (S, ) satisface axiomele grupului :

Daca a, b S , atunci a ^{- 1} , b ^{- 1} A , astfel încât aa ^{- 1} = a ^{- 1} a = 1 si bb ^-1 = b ^{- 1} b = 1, deci

(ab) (b ^{- 1} a ^{- 1} ) = a(bb ^{- 1} )a ^{- 1} = a a ^{- 1} = aa ^{- 1} =1 ,

(b ^{- 1} a ^-1 )(ab) = b ^-1 (a ^-1 a)b = b ^-1 b = b ^-1 b = 1,

adica ab S .

Asociativitatea operatiei induse este evidenta , ea se transmite de la inelul (A, +,

Deoarece 1 1 = 1, obtinem 1 S si astfel acesta va juca rol de element neutru si pentru elementele din S.

În sfârsit , daca a S, atunci exista a ^-1 A astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1, deci întrucât proprietatea de "a fi simetric" este reciproca, obtinem ca a ^-1 S.

Inelul (A, +, ) se numeste comutativ daca satisface conditia:

(v)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    Pentru orice a, b A, ab = ba .

Fie (A, +, ) un inel. Elementul a A se numeste divizor al lui zero , daca exista b A, b 0 , astfel încât ab = ba = 0

Observam imediat ca , pentru orice inel (A, +, ) nenul , elementul 0 este în mod banal divizor al lui zero. Prezinta interes faptul daca un inel admite si divizori ai lui zero nebanali.

Un inel care nu admite divizori ai lui zero nebanali se va numi inel fara divizori ai lui zero.

Inelul (A, +, ) se numeste domeniu de integritate daca este comutativ , cu element unitate si fara divizori ai lui zero .

Exemple:

(1) (Z, +, ) este un domeniu de integritate deoarece

- este comutativ

-   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p; este unitar, - contine pe 1

-   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p; nu are divizori ai lui zero

(Z_n , +,

Teorema 1.2.5. Daca (A, +, ) este inel si a A nu este divizor al lui zero, atunci ax = ay sau xa = ya implica x = y. În particular, intr-un domeniu de integritate este valabila legea simplificarii .

Demonstratie. Daca ax = ay , atunci ax - ay = 0, deci a(x - y) = 0, prin urmare x - y = 0 si astfel x = y .

Teorema 1.2.6. Elementele inversabile dintr-un inel unitar nu sunt divizori ai lui zero .

Demonstratie. Sa presupunem ca elementul a A este inversabil, adica exista a ^-1 A cu proprietatea aa ^-1 = a ^-1 a = 1 . Daca a a ar fi divizor al lui zero , atunci exista b a , b 0 , astfel încât ab = 0, deci a ^-1 (ab) = (a ^-1 a)b = b = 0, ceea ce contrazice faptul ca b

Din aceasta teorie rezulta ca un inel unitar este nenul , deoarece contine cel putin elementele 0 si 1 , 1

1.3. Subinele

Definitie. Fie (A,+, ) un inel si SA, S . Considerând operatiile induse în S din A, tripletul (S,+, ) se numeste subinel al inelului (A,+, ) daca la rândul sau formeaza inel.

Teorema 1.3.1. Daca (A,+, ) este inel si SA, S , atunci S va fi subinel daca si numai daca se satisfac conditiile:

(1)   &nbs 444o1417e p;    Pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei);

(2)   &nbs 444o1417e p;    Pentru orice a S, -a S ;

(3)   &nbs 444o1417e p;    Pentru orice a, b S, a b S (conditia de închidere a produsului);

Demonstratie. Aceste conditii sunt evident necesare, deoarece coincid cu o parte dintre axiomele ce definesc inelul . Observam insa ca ele sunt si suficiente . Într-adevar conditia (1) ne asigura închiderea parte din axiomele ce definesc inelul operatiei de adunare in S, legile asociativitatii si comutativitatii pastrându-se evident si pentru operatia de adunare indusa, conditia (2) ne asigura existenta opusului pentru fiecare element din S . Apoi, observam ca deoarece S , exista a S  astfel încât , -a S , deci prin conditia (1) a + (-a) = 0 S . Proprietatea de asociativitate a operatiei de înmultire si legile distributivitatii ale acesteia fata de adunare se transmit de la întregul inel A.

Teorema 1.3.2. Daca (A,+, ) este inel si S A, S , atunci (S,+, ) va fi subinel daca si numai daca satisface conditiile:

(1)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p; Pentru orice b S , a - b S (conditia de închidere a operatiei de scadere);

Pentru orice a, b S, a b S  (conditia de închidere a produsului).

Demonstratie. Daca (S, +, ) este subinel, atunci din teorema (1.3.1.) rezulta ca pentru orice b S , -b S , deci pentru orice b S , a + (-b) = a - b S  si astfel este satisfacuta conditia (1) , iar conditia (2) coincide cu conditia (3) din teorema precedenta .

Invers, sa presupunem ca submultimea S satisface conditiile (1) si (2). Atunci, pentru orice a S , a - a = 0 S , deci pentru orice b S , 0 - b = - b S  si astfel pentru orice a b S , a - (- b) = a + b S . Prin urmare se satisfac conditiile teoremei, 1.3.1. , deci (S, +, ) este subinel al inelului (A, +,

Teorema 1.3.3. Daca (A, +, ) este inel si SA, S este o submultime finita a lui A, atunci (S, +, ) va fi subinel daca si numai daca satisface conditiile:

(1)   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, a b S .

Demonstratie. Conditiile sunt evident necesare. Sa aratam ca ele sunt si suficiente. Pentru aceasta observam ca este de ajuns sa demonstram ca este satisfacuta conditia (2) formulata în teorema 1.3.1. Fie S = si pentru a S sa notam a + S = . Se constata ca pentru orice a S, a + S = S, deci pentru orice a, b S ecuatia a + x = b are solutie în S. În particular, ecuatia a + x = a are solutie în S , deci exista x₀ S astfel încât x₀ + a = b. Prin urmare , pentru orice b S , b + 0 = ( x₀ + a ) + 0 = x₀ + ( a + 0 ) = x₀ + a = b, adica 0 joaca rol de element neutru pentru operatia de adunare din S. În sfârsit, din faptul ca pentru orice a S ecuatia a + x = 0 are solutie în S rezulta conditia de demonstrat.

Observam ca daca (A, +, ) este unitar si (S, +, ) este un subinel al acestui inel, atunci elementul 1 A nu apartine obligatoriu si lui S. Asa, de exemplu , (2Z, +, ) este un subinel al inelului (Z, +, ) pentru care 1 2Z.

Pentru fiecare inel (A, +, ) tripletele ( , +, si însasi (A, +, sunt subinele banale ale acestui inel. Exista insa inele care admit subinele nebanale . Un astfel de inel, este, de exemplu (Z, +, ) care admite ca subinele toate tripletele (nZ, +, , oricare ar fi n N.

Teorema 1.3.4. Daca S i ), i I , sunt subinele ale inelului (A, +,

atunci este subinel al inelului (A, +,

Demonstratie. Observam ca ≠ Ű, deoarece cel putin . Apoi, (, +, este subgrup al grupului (A, +, ), deci va fi suficient sa aratam ca operatia de înmultire indusa pe este închisa . Pentru aceasta, observam ca daca a, b , atunci pentru fiecare i I ; a, b S_i , deci pentru fiecare i I; ab S_i , adica ab .

Se constata însa ca , în general, reuniunea unei familii de subinele nu este

subinel. Pentru a ne convinge de acest lucru sa consideram subinelele (2Z, +, ) si (3Z, +, ) ale inelului (Z, +, ) . Se stie ca operatia de adunare indusa pe submultimea 2Z 3Z nu este închisa , deci reuniunea acestor doua subinele nu va fi subinel al inelului (Z, +,

Cu toate acestea, este adevarata urmatoarea afirmatie:

Teorema 1.3.5. Daca (Si, +, ), este o familie de subinele ale inelului (A, +, ) , atunci exista subinelul (S, +, ) al inelului cu proprietatile:

Pentru fiecare i I ,S S_i ;

(2) Daca pentru fiecare i I subinel (S^', +, ) al inelului are proprietatea S^' S_i , atunci S^' S.

Subinelul (S, +, ) , astfel determinat, se numeste subinelul generat în inelul

(A, +, ) de familia de subinele S_i .

Demonstratie. Se considera multimea tuturor subinelelor (X, +, ) ale inelului (A, +, ) care poseda proprietatea ca pentru fiecare i I, X S_i . Aceasta multime este nevida , deoarece cel putin A poseda aceasta proprietate. Intersectia tuturor acestor subinele este un subinel care poseda proprietatile (1) si (2).

Teorema 1.3.6. Daca (A, +, ) este inel si M A, atunci exista subinelul (S, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile :

1.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   S M;

2.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Daca (S^', +, ) este un subinel al inelului (A, +, ) cu proprietatea

S^' M, atunci S^' S .

Subinelul (S, +, ) astfel determinat, se numeste subinelul generat în inelul

(A, +, ) de submultimea M A . Evident, daca M = Ű, atunci subinelul generat de M coincide cu subinelul zero .

Deoarece teoremele precedente ne asigura numai existenta subinelului generat , e bine sa aratam si modul cum se poate obtine efectiv acest subinel.

Teorema 1.3.7. Subinelul generat în inelul (A, +, ) de submultimea M A,

M ≠ Ű , este format din toate sumele finite de forma , unde x_k M sau - x_k M (k = 1, 2, ., n) . În particular, subinelul generat de familia de subinele (S_j, + , ) i I , va fi format din toate sumele finite de forma , unde x_k .

Demonstratie. Notând , se constata ca S M si ca diferenta si produsul a doua elemente din S sunt tot elemente din S. Deci (S, +, ), este un subinel al inelului (A, +, ) . Apoi , daca (S', +, ) este un

subinel al inelului (A, +, ) care contine pe M , atunci acesta (prin calitatea sa de subinel) va contine si elementele din S, deci S' S .

În sfârsit, observam ca oricare ar fi subinelele (S₁, +, ) si (S₂, +, ) ale inelului (A, +, ) , S₁ S₂ Inf . De asemenea, notând prin <S₁ S₂> subinelul generat de aceste subinele, prin (2.7), < S₁ S₂> Sup

Exemple:

Daca A este un inel, atunci A si sunt subinele, numite subinele improprii.

(Z, +, ) si (Q, +, ) sunt subinele ale inelului (R, +,

Z Q R sunt subinele unul în altul , cu adunarea si înmultirea numerelor .

Fie n N. Multimea H = nZ = este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Daca avem x, y H, atunci x = nk1, y = nk2, k1, k2 Z, deci xy = nk1k2 H, adica H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ , cu n N.

Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezulta ca orice subinel al lui Z este de forma H = nZ . Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ , n N .

Mai exact fiecare subinel este format din multipli întregi ai celui mai mic numar natural nenul sau zero ce apartine subinelului.

1.4.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Ideale

Definitie. Fie (A, +, ) un inel si IA , I . Consideram operatiile induse în I din A, tripletul (I, +, ) se numeste ideal al inelului (A, +, daca satisface conditiile:

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice a , b I, a - b I ;

(ii) Pentru orice x A si orice , a I, xa I ;

(iii) Pentru orice x A si orice a I, ax I .

Din conditia (i) rezulta ca (I, +) este un subgrup al grupului aditiv (A, +) iar din conditia (ii) sau (iii) rezulta ca pentru orice a, b I avem ab I. Deci fiecare ideal al inelului (A, +, ) este, în particular, un subinel al acestui inel. Afirmatia inversa nu este, în general, adevarata . Într-adevar , de exemplu, (Z, +, ) este un subinel al inelului (Q, +, fara a fi ideal.

Daca sunt satisfacute numai conditiile (i) si (ii), atunci tripletul (I, +, ) se numeste ideal stâng al inelului (A, +, ) iar daca satisfac conditiile (i) si (iii) , atunci (I, +, ) se numeste ideal drept . Aceste notiuni sunt distincte, în sensul ca idealele stângi ale unui inel nu coincid obligatoriu cu idealele drepte. Asa de exemplu, daca în inelul matricilor patratice de ordin n, n > 1, cu elemente din Z, am considera multimea matricilor care au elementele de pe prima coloana egale cu zero, se va constata ca acestea formeaza un ideal stâng , fara a fi si un ideal drept. Cu toate acestea, în continuare ne vom ocupa numai de idealele bilaterale, pe care le vom numi, simplu, ideale.

Teorema 1.4.1. Daca (A, +, ) este un inel cu element unitate si IA, I , atunci (I, +, ) va fi ideal daca si numai daca satisface conditiile:

(1)   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice a,b I, a + b I ;

(2)   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice x A si orice a I , xa I ;

(3) Pentru orice x A si orice a I, ax I .

Demonstratie. Întrucât (i) este o conditie necesara si suficienta pentru ca (I, +) sa fie subgrup al grupului (A, +), din (i) rezulta (1) . Invers, pentru orice b I , din -1 A si din (2) rezulta -b I , adica pentru orice a, b I , a + (-b) = a - b I.

Pentru fiecare inel (A, +, ) , tripletele (, +, ) si însasi (A, +, ) sunt exemple banale de ideale . Un ideal al lui (A, +, ) nebanal se numeste ideal propriu. Inelele fara ideale proprii se numesc inele simple . Un exemplu de inel cu ideale proprii este (Z, +, ) . Într-adevar, se constata usor ca toate subinelele acestui inel , adica tripletele (nZ, +, ) , n N , sunt ideale ale inelului numerelor întregi .

De asemenea se constata ca inelul (Q, +, ) nu admite ideale proprii , adica este simplu . De altfel , este adevarata urmatoarea afirmatie mai generala :

Teorema 1.4.2. Fiecare corp este inel simplu.

Demonstratie. Daca (I, +, ) este ideal al corpului (A, +, ) , atunci întrucât I ≠ Ű , exista a I si a ^{- 1} A astfel încât aa ^{- 1} = 1 I . Deci , oricare ar fi x A , x = x I si astfel I = A.

Mentionam ca nu orice inel simplu este obligatoriu corp, adica inelele simple nu sunt epuizate de corpuri. Pentru a ne convinge de acest lucru demonstram urmatoarea teorema :

Teorema 1.4.3. Inelul matricilor de ordin n, n > 1 , cu elemente dintr-un corp este simplu, desi acest inel nu este corp.

Demonstratie. Fie (M_n, +, ) inelul matricilor patratice de ordin n cu elemente din corpul (A, +, ) si (I, +, ) un ideal nenul al acestui inel. Deci, exista matricea care contine cel putin un element diferit de zero, de exemplu a_kl ≠ 0.

Deoarece (A, +, ) este corp, pentru orice b A exista x, y A, astfel încât b= xa_kly

Notând prin c_ij matricea din M_n care are pe locul i, j) elementul c A , iar în rest zero si tinând cont de definitia operatiei de înmultire a matricilor, pentru orice l s si orice t n,

Întrucât (I, +, ) este ideal în (M_n, +, ) , si cum orice matrice din M_n se poate reprezenta ca o suma de matrici de forma b_st , rezulta ca M_n I , adica I = M_n .

Teorema 1.4.4. Daca (I_a ), este o familie de ideale ale inelului (A, +, ), atunci este un ideal al inelului (A, +,

Demonstratie. este un subgrup al grupului aditiv (A, +) , deci ramâne sa aratam ca satisface conditiile (ii) si (iii) din definitia idealului. Pentru aceasta, observam ca daca a , atunci a I_a , pentru fiecare a W , deci pentru orice x A si orice xa I_a , adica xa si ax .

Mentionam ca reuniunea unei familii de ideale ale unui inel nu este obligatoriu un ideal. Asa, de exemplu, se stie ca în inelul (Z, +, ) , tripletele (2Z, +, ) si (3Z, +, ) sunt ideale, însa reuniunea lor nu este subinel al inelului (Z, +, ), deci nu va fi nici ideal în acest inel.

Teorema 1.4.5. Daca (I_a a W este o familie de ideale ale inelului (A, +, ) , atunci exista idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile:

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Pentru fiecare a W, I I_a

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    Daca (I ) este ideal al inelului (A, +, ) cu proprietatea ca pentru orice a W , I I_a , atunci I I .

Idealul (I, +, ) , astfel determinat se numeste idealul generat în inelul (A, +, ) de familia de ideale (I_a ) .

Acelasi rationament ne conduce la urmatoarea afirmatie mai generala :

Teorema 1.4.6. Daca (A, +, ) este un inel si M A , atunci exista idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile:

(1)   &nbs 444o1417e p;    I M;

(2)   &nbs 444o1417e p;    Daca idealul (I ) al idealului (A, +, ) are proprietatea I M , atunci I I.

Idealul (I, +, ) astfel determinat se numeste idealul generat în inelul (A, +, ) de submultimea M A . Evident daca M ≠ Ű , atunci idealul generat de M este idealul zero.

Prin teorema ce urmeaza obtinem constructia efectiva a idealului generat de o submultime într-un inel unitar.

Teorema 1.4.7. Daca (I, +, ) este idealul generat de submultimea M, M ≠ Ű , a inelului unitar (A, +, ), atunci elementele lui I sunt toate sumele finite de forma , unde a_i b_i A si x_i M .

Demonstratie. Daca , atunci observam ca diferenta a doua elemente din S este tot un element din S si înmultind la stânga sau dreapta un element din S cu un element din A obtinem tot un element din S, deci (S, +, ) este un ideal al inelului (A, +, ) . Deoarece (A, +, ) este inel unitar, S M , deci în baza definitiei idealului generat S I . Pe de alta parte, deoarece (I, +, ) este ideal si I M, I S deci I = S .

si în cazul idealelor, la fel ca în cazul subinelelor unui inel, se observa ca

oricare ar fi(I₁, +, ) si (I₂, +, ) ideale ale inelului (A, +, ) , I₁ I₂ Inf I₁ , I₂

De asemenea, notând prin < I₁ I₂> idealul generat de aceste doua ideale în inelul (A, +, ) obtinem ca <I₁ I₂> Sup . Prin urmare, tinând cont de definitia laticii, obtinem:

Teorema Multimea idealelor unui inel formeaza latice în raport cu

ordonarea prin incluziune.

Pentru obtinerea efectiva a dealului generat de doua ideale ale unui inel,

formulam urmatoarea teorema :

Teorema 1.4.9. Daca (I₁, +, ) si (I₂, +, ) sunt ideale ale inelului (A, +, ) , atunci <I₁ I₂> este format din toate elementele de forma a + b , unde a I₁ si b I₂.

Demonstratie. Sa notam I = si sa aratam ca I = <I₁ I₂> . Observam mai întâi ca I I₁ si I I₂ , iar I < I₁ I₂ > . Deci tinând cont de definitia idealului generat , va trebui sa demonstram numai ca (I, +, ) este ideal . (I, +) este subgrup normal al grupului aditiv (A, +) , deci pentru orice a, b , a - b I .

Apoi, daca x A si h I, atunci exista a I₁ si b I₂ , astfel încât h = a + b, deci xh = x(a + b) = xa + xb , unde xa I₁ ;i xb I₂ , adica xh I . Asemanator se arata ca pentru x A si h I , hx I .

1.5.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Inel factor

Notiunea de ideal a fost definita pornind de la proprietatile pe care le au nucleele morfismelor de inele . În continuare vom constata ca pentru orice ideal bilateral exista un morfism de inele al carui nucleu este chiar idealul dat . În acest mod , notiunea de ideal bilateral joaca în teoria inelelor acelasi rol pe care îl joaca notiunea de subgrup normal în teoria grupurilor.

Fie (A, +, ) un inel si I un ideal bilateral al sau . În particular I este un subgrup (normal) al grupului abelian (A, +) . Relatia definita pe R în modul urmator:

(1)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p; x ≡ y (mod I) x - y I

este o relatie de echivalenta compatibila cu operatia aditiva pe R . Aceasta proprietate face posibila extinderea operatiei " + " de la elementele lui R la clasele de echivalenta în raport cu relatia " ≡ " , prin

+ =

O clasa de echivalenta în raport cu relatia " ≡ " este de forma = x + I = .

În raport cu aceasta operatie multimea R / ≡ a claselor de echivalenta are o structura de grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este = I .

Vom studia în continuare comportarea relatiei " ≡ " în raport cu înmultirea.

1.5.1. Lema. Daca I este un ideal bilateral al inelului (A, +, ) atunci relatia de echivalenta " ≡ " definita prin (1) este compatibila cu operatia " " din inelul A.

Demonstratie. Fie x ≡ x₁ (mod I) si y ≡ y₁(mod I). Exista a, b i astfel încât x - x₁ = a I si y - y₁ = b I .

x y = (x₁ + a)(y₁ + b) = x₁y₁ + ay₁ + x₁b + ab

xy - x₁y₁ = ay₁ + x₁b + ab I

Ultima relatie rezulta din faptul ca I este ideal bilateral si arata tocmai xy ≡ x₁y₁ (mod I) .

Ca si în cazul grupurilor , multimea claselor de echivalenta în raport cu idealul I o vom nota cu A / I.

1.5.2. Teorema. Multimea A / I are o structura de inel în raport cu operatiile definite astfel :

+ =

=

Demonstratie. Pentru a nu complica scrierea am folosit notatiile " + " si " " pentru operatiile cu clase de echivalenta ca si pentru operatiile cu elementele din A de operatiile din A / I dupa natura elementelor cu care se lucreaza.

Dupa cum am amintit la începutul paragrafului , multimea A / I are o structura de grup abelian în raport cu « + ». Din lema 1.5.1. rezulta ca operatia multiplicativa cu clasele de echivalenta este bine definita. Prin calcul verificam ca aceasta operatie este asociativa :

( ) = 

si distributiva fata de adunare :

Inelul factor (A/I, +, poarta numele de inel factor al inelului A în raport cu idealul sau bilateral I .

Daca A este inel unitar si 1 este elementul sau unitate , atunci este element unitate al inelului A/I . Într-adevar , pentru orice A/I , deducem :

= = si

De asemenea , daca A este inel comutativ , atunci printr-un calcul simplu putem arata ca si A/I este inel comutativ .

Aplicatia , definita prin

este un morfism surjectiv de inele. Într-adevar , pentru orice x, z R deducem

În plus orice element din R/I este de forma , x R .

Morfismul φ₁ poarta numele de surjectie canonica a inelului R pe inelul sau factor R/I . Nucleul acestui morfism este chiar idealul bilateral I :

Ker

Daca R este inel unitar , atunci φ₁ este morfism unitar pentru ca

1.6.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Morfisme de inele

Fie (A, +, ) si (B, +, ) doua inele . Functia f : A B se numeste morfism de inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) daca pentru orice a₁, a₂ A se satisfac conditiile:

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  f(a₁ + a₂) = f(a₁) + f(a₂)

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    f(a₁a₂) = f(a₁) f(a₂) ,

adica functia este compatibila cu operatiile de adunare si de înmultire.

Acest morfism se va numi injectiv, surjectiv sau bijectiv daca functia  f : A B este respectiv injectiva , surjectiva sau bijectiva. De asemenea , morfismele de la un inel (A, +, ) la el însusi se mai numesc endomorfisme, iar endomorfismele bijective se numesc automorfisme.

În continuare, daca nu va exista nici un pericol de confuzie vom nota inelul (A, +, ) simplu prin A.

Sa dam câteva exemple de morfisme de inele :

(1)   &nbs 444o1417e p;  Pentru fiecare inel (A, +, ) , functia 1_A : A A este un automorfism.

(2) Fie (A, +, ) un inel unitar si a A un element inversabil, adica exista a ^-1 A astfel încât a a^-1 = a^-1 a = 1. Atunci functia j_a : A A definita prin j_a(x) = axa^-1 este un automorfism . Într-adevar , pentru orice x₁, x₂ A

j_a(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂)a^-1 = ax₁a^-1 + ax₂a^-1 = j_a(x₁) + j_a(x₂)

si de asemenea ,

j_a(x₁ x₂) = a(x₁ x₂)a^-1 = (ax₁a^-1 )( ax₂a^-1 )= j_a(x₁) j_a(x₂)

Apoi, daca j_a(x₁) = j_a(x₂) , atunci ax₁a^-1 = ax₂a^-1 , adica a^-1 ax₁ a^-1 =a^-1 ax₂a^-1 ,

deci x₁a^-1 = x₂a^-1 si astfel x₁ = x₂ . În sfârsit , pentru orice y A , exista a^-1ya A astfel încât j_a(a^-1ya) = a(a^-1ya)a^-1 = y .

(3) Fie (A, +, si (B, +, doua inele . Definind în multimea A x B doua operatii binare prin

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂ , b₁ + b₂)

(a₁, b₁) (a₂, b₂) = (a₁ a₂ , b₁ b₂)

se constata imediat ca (A x B, + , ) devine inel.

Functiile i₁ : A A x B si i₂ : B A x B definite prin i₁(a) = (a, 0) si i₂(b) = (0, b) sunt morfisme injective, iar functiile p₁ : A x B A si p₂ : A x B B definite prin p ₁((a, b)) = a si p₂ ((a, b)) = b sunt morfisme surjective.

Mentionam ca daca A si B sunt inele unitare, pentru care 1 A este element unitate în A si 1^' B element unitate în B , iar f : A B este un morfism de inele , atunci morfismul f nu pastreaza obligatoriu unitatea, adica în general f(1) 1' . Daca aceasta proprietate este însa satisfacuta , vom spune ca morfismul f este unitar.

Studiem în continuare , câteva proprietati ale morfismelor de inele .

Teorema 1.6.1. daca f : A B este un morfism de la inelul A la inelul B , atunci

(1)   &nbs 444o1417e p; f(0) = 0 ;

(2) f(- a) = - f(a) .

Demonstratie. Întrucât f este , în particular , un morfism de la grupul aditiv (A, +) , la grupul aditiv (B, +) , egalitatile mentionate sunt o consecinta imediata a teoremei grupurilor .

Teorema 1.6.2. Daca f : A B si g : B C sunt morfisme de inele, atunci gf : A C este morfism de la inelul A la inelul C . Mai mult , daca f si g sunt morfisme injective, surjective sau bijective, atunci la fel este si morfismul g f .

Demonstratie. Este suficient sa aratam ca se satisface a doua conditie din definitia morfismului de inele. Pentru aceasta observam ca daca a, b A , atunci

(gf) (ab) = g(f(ab)) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b )) =

= (gf )(a) (gf)(b) .

Teorema 1.6.3. Daca f : A B este un morfism de inele si A₁ A este un subinel al inelului A , atunci f(A₁) este subinel al inelului B . În particular f(A) va fi subinel al inelului B , numit imaginea morfismului f si notata prin Im f.

Demonstratie. Deoarece f este morfism de la grupul aditiv al inelului A la grupul aditiv al inelului B , f(A) este un subgrup al grupului aditiv B . Ramâne de aratat ca pentru orice b₁, b₂ f(A₁), b₁b₂ f(A₁) . Pentru aceasta , observam ca exista a₁, a₂ A , astfel încât b₁ = f(a₁) si b₂ = f(a₂) , deci b₁b₂ = f(a₁) f(a₂) = =f(a₁a₂) f(A₁) .

Teorema 1.6.4. Daca f : A B este un morfism de inele si B₁ B este un subinel al inelului B , atunci f ^-1(B₁) este un subinel al inelului A . În particular , f^-1() va fi un subinel al inelului A, numit nucleul morfismului f si notat prin Ker f .

Demonstratie. Se stie ca f^-1(B₁) este un subgrup la grupului aditiv (A, +) . Sa aratam ca f^-1(B₁) este chiar un subinel al inelului A. Pentru aceasta, fie a₁, a₂ f^-1 (B₁), adica f(a₁) B₁ si f(a₂) B₁ , deci f(a₁a₂) B ₁ si astfel a₁a₂ f^-1(B₁) .

Teorema 1.6.5. Daca f : A B este un morfism de inele si I B este un ideal al inelului B, atunci f^-1(I) va fi ideal în A. În particular, Ker f = f^-1 () va fi ideal în A.

Demonstratie. Din teorema precedenta rezulta ca f^-1(I) este subinel al inelului A adica prima conditie din definitia idealului este satisfacuta. Sa aratam ca se satisface si a doua conditie. Pentru aceasta, fie x A si a f^-1(I), deci

f(xa) = f(x) f(a) I si la fel f(ax) = f(a) f(x I) , prin urmare xa , ax f^-1(I) .

Mentionam ca imaginea directa a unui ideal I al inelului A prin morfismul f : A B nu este neaparat un ideal al inelului B. Cu toate acestea , este adevarata afirmatia:

Teorema 1.6.5 . Daca f :A B este un morfism de inele surjectiv si IA este un ideal al inelului A, atunci f(I) este un ideal al inelului B.

Demonstratie. Evident este suficient sa aratam ca daca y B si b f(I), atunci by I si yb f(I) . Din faptul ca b f(I) rezulta ca exista a I astfel încât b = f(a) , iar din faptul ca f este morfism surjectiv rezulta ca exista x A astfel încât  y = f(x) . În plus, ax I si xa I , deci by = f(a) f(x) = f(ax) f(I) si yb = f(x) f(a) =  = f(xa) f( I ) .

Teorema 1.6.6. Morfismul de inele f : A B este injectiv daca si numai daca Ker f = .

Demonstratie. Afirmatia este o consecinta a teoremei grupurilor :

« Morfismul f : G₁ G₂ este injectiv daca si numai daca Ker f =  » , teorie transcrisa în limbajul grupurilor aditive .

Teorema 1.6.7. Morfismul de inele f : A B este surjectiv daca si numai daca Im f = B .

Demonstratie. Inelele A si B se numesc izomorfe daca exista morfismele f : A B si g : B A astfel încât :

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  g f = 1_A ;

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    f g = 1_B .

si de data aceasta se poate arata ca izomorfismul de inele poate fi caracterizat complet de notiunea de morfism bijectiv, anume :

Teorema 1.6.8. Inelele A si B sunt izomorfe daca si numai daca exista cel putin un morfism bijectiv f : A B .

Demonstratie. Daca A si B sunt izomorfe ca inele , atunci exista morfismele f si g astfel încât g f = 1_A si f g = 1_B . Se constata imediat ca f : A B este morfism bijectiv.

Invers sa presupunem ca f : A B este un morfism bijectiv de inele. Atunci, f este în particular si un morfism bijectiv de grupuri, deci exista morfismul de grupuri f^-1 : B A cu proprietatea f ^-1 f = 1_A si f f ^-1 = 1_B . Ramâne sa aratam ca f^-1 : B A este chiar un morfism de inele. Pentru aceasta, observam ca daca b₁ b₂ B , atunci f(f ^-1(b₁ b₂)) = b₁b₂ si f(f ^-1 (b₁) f ^-1 (b₂)) = f(f ^-1 (b₁)) f(f ^-1 (b₂)) deci, întrucât f este injectiva , avem f ^-1 (b₁b₂) = f ^-1 (b₁) f ^-1 (b₂) .

Teorema 1.6.9. Fiecarui ideal I al inelului A i se poate asocia un inel factor A / _I ; I un morfism surjectiv g : A A / _I astfel încât Ker g = I .

Demonstratie. În grupul comutativ (A, +) , idealul I este evident un subgrup normal. Deci , exista grupul factor A / _I = , unde  a + I = , iar operatia grupala se defineste prin

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

Sa definim în multimea cât A / _I o noua operatie binara , astfel :

(a + I) (b + I) = ab + I

Observam, mai întâi, ca operatia astfel definita nu depinde de alegerea reprezentantilor , în sensul ca daca a₁ a + I si b₁ b + I , atunci a₁b₁ + I = ab + I . Într-adevar, daca x a₁b₁ + I , atunci exista h₁ I astfel încât x = a₁b₁ + h₁ . Apoi din faptul ca a₁ a + I si b₁ b + I rezulta ca exista h₂, h₃ I astfel încât a₁ = a + h₂ si b₁ = b + h₃ , deci x = (a + h₂)(b + h₃) + h₁ = ab + ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ . Dar întrucât i este ideal , ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ I adica exista  h = ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ I astfel încât x = ab + h , deci x ab + I si astfel a₁b₁ + I ab + I . Asemanator se arata ca ab + I a₁b₁ + I .

În continuare se verifica imediat ca operatia de înmultire este asociativa , deci (A / _I , + , ) formeaza un inel . Elementul nul al inelului factor A / _I este clasa 0 + I = I , unde 0 este elementul zero din inelul (A, +,

Aplicatia g : A A /_I definita prin g(a) = a + I este un morfism surjectiv , asa cum rezulta din definitia operatiilor din inelul cât .

În sfârsit, se observa ca pentru orice a A , a + I = I daca si numai daca a I , deci Ker g = = I .

Teorema 1.6.10. (Prima teorema de izomorfism).

Daca f : A B este morfism de inele atunci A / _{Ker f} si Im f sunt inele izomorfe.

Demonstratie. Prin teorema 1.6.5. , Ker f = f ^-1 () este ideal al inelului A deci în baza teoremei precedente exista inelul factor A/ _{Ker f} = , unde a + Ker f ) .

Definind functia h_f : A/ _{Ker f} Im f prin h_f (a + Ker f ) = f(a) se constata ca h_f este morfism bijectiv , adica inelele A/ _{Ker f} si Im f sunt izomorfe .

Teorema 1.6.11. (Teorema a doua de izomorfism)

Fie R un inel , R un subinel al lui R si I un ideal bilateral al lui R. Atunci

R + I =

este un subinel al lui R . I este ideal bilateral al lui R + I , R I este ideal bilateral al lui R si exista un izomorfism canonic

q : R R I (R + I) I .

Demonstratie. Daca u , v R + I , atunci exista x, y R si a, b I astfel încât u = x + a si v = y + b

u - v = (x - y) + (a - b) R + I

uv = xy + (xb + ay + ab) R + I

deci R + I este subinel al lui R .

Deoarece I este ideal bilateral în R , I este evident un ideal bilateral al lui R + I . R I este subinel al lui R ca intersectie de subinele , deci este subinel al lui R

Daca x R si a I , atunci xa , ax R deoarece R este subinel si xa , ax I deoarece I este ideal bilateral . Deci xa , ax R I , adica R I este ideal bilateral al lui R . Fie i : R R + I morfismul incluziune , i(x) = x, pentru orice x R si j : R + I R + I I surjectia canonica , j(x) = x + I. Notam f = j I , f : R (R + I) I. F este morfism surjectiv de inele si Ker f = = = R I . Conform teoremei fundamentale de izomorfism , exista un izomorfism canonic

q : R / R I (R + I) / I

Acest izomorfism este definit prin q(x + R I) = x + I .

Teorema 1.6.12. ( Teorema a treia de izomorfism )

Fie R un inel , I un ideal bilateral al sau si j : R R I surjectia canonica . Notam cu J (R , I) multimea subinelelor inelului R care includ pe I si cu J (R I) multimea subinelelor inelului R I . Aplicatia F J (R , I) J (R I) definita prin F (R j (R ) = R I este o bijectie . Daca J J (R , I) , atunci J este un ideal bilateral în R daca si numai daca J I sete ideal bilateral în R I . În plus , în acest caz exista un izomorfism canonic

q : R J (R I) (J I)

Demonstratie. Deoarece j este un morfism surjectiv de inele , consideram surjectiile canonice :

Morfismul f = j _{J I} j : R (R I) (J I) este surjectiv . Pentru x R , f(x) J I daca si numai daca x + I J I sau x J . Rezulta Ker f = J si conform teoremei fundamentale exista un izomorfism canonic q : R J (R I ) (J I ) definit prin

q(x + J) = f(x) = (x + I) + J I .

Aplicatie . Ne propunem sa descriem ideale si inele factor ale inelului claselor de resturi modulo n .În inelul Z al numerelor întregi multimea nZ , n N este ideal (bilateral) .Fie j_n : Z Z_n surjectia canonica . Exista o bijectie între multimea J (Z, nZ) a idealelor lui Z care includ nZ si multimea J (nZ) a idealelor lui Z_n . atunci I = j_n (J) este un ideal al lui Z care include nZ , deci I = mZ si m n (mZ nZ m n) . Din egalitatea J = j_n(I) rezulta J = (mZ) (nZ) .Deci idealele (bilaterale ) ale inelului Z_n sunt de forma (mZ) (nZ) unde m n . Conform teoremei a treia de izomorfism exista un izomorfism

q : Z mZ Z_n (mZ nZ) .

Rezulta ca inelele factor ale inelului Z_n sunt izomorfe cu inele de forma Z_m , unde m n .

1.7. Inele de fractii

O notiune importanta în teoria structurilor algebrice, în particular în teoria

inelelor, este aceea de scufundare izomorfa . Anume, vom spune ca inelul (A, +, ) se scufundă izomorf în inelul (B, +, ) daca exista un morfism injectiv f : A B .

Evident, în acest caz f(A) este un subinel al inelului B izomorf cu inelul A.

În leg a tura cu aceasta notiune este adevarata urmatoarea afirmatie:

Teorema 1.7.1. Fiecare inel se scufunda izomorf într-un inel cu unitate.

Demonstratie. Fie inelul (A, +, ) si sa notam B = A x Z , unde Z este

multimea numerelor întregi. În multimea B s a definim doua operatii binare, notate tot prin + si astfel

(a₁, n₁) + (a₂, n₂) = (a₁ + a₂ , n₁ + n₂)

(a₁, n₁) (a₂, n₂) = (a₁a₂ + n₂a₁ , n₁n₂)

Se constata ca (B, +, ) este un inel care poseda ca element unitate perechea (0,1) .

Functia f : A B definita prin f(a) = (a, 0) este un morfism injectiv de la

inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) . Într-adevar, faptul ca aceasta functie este injectiva este evident, apoi observam ca pentru orice a b A

f(a + b ) = (a + b ,0 ) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b)

f(ab) = (ab, 0) = (a, 0) (b, 0) = f(a) f(b) .

Prin urmare , inelul (A, +, ) se scufunda izomorf în inelul cu unitate (B ,

O alta teorema de scufundare, deosebit de importanta în teoria inelelor, este

urmatoarea:

Teorema 1.7.2. Fie (A, +, ) un inel comutativ si cu element unitate si fie S

multimea tuturor elementelor din A care nu sunt divizori ai lui zero. Atunci exista inelul (, +, ) comutativ si cu element unitate si morfismul injectiv f : A A astfel încât toate elementele din f(S) sunt inversabile în inelul (,+ ,

Demonstratie. Observam, mai întâi, ca S Ű, deoarece cel putin elementul

unitate din inelul (A, +, ) apartine lui S (adica 1 S ) si ca , daca s₁, s₂ S, atunci s₁s₂ S .

Apoi, se demonstreaza usor ca , relatia binara definita în produsul cartezian A x S prin

(a₁, s₁) (a₂, s₂) a₁s₂ = a₂s₁

este o relatie de echivalenta în multimea A x S . Deci, exista multimea cât A x S ~ pe care sa o notam prin , adica , unde

Definind în multimea cât A operatiile binare prin + si prin

() + () = ()

() () = ()

se constata ca operatiile de adunare si înmultire astfel definite nu depind de alegerea reprezentantilor claselor. Mai mult, (,+ , ), devine inel comutativ, care poseda ca element unitate clasa () .

Functia f :A A, definita prin f( a) = ( ) este un morfism injectiv de la inelul (A,+ , ) la inelul (,+ , ) . Într-adevar, daca f(a₁) = f(a₂) , atunci , adica (a₁,1) (a₂.1), deci a₁ 1 = a₂ 1 si astfel a₁ = a₂ , prin urmare aplicatia f este injectiva . Apoi, observam ca oricare ar fi a₁, a₂ A

f (a₁ + a₂) = () = () + () = f(a₁) + f( a₂)

f (a₁a₂) = () = () () = f(a₁) f(a₂) .

Pentru a termina demonstratia, ramâne sa aratam ca elementele din f(S) sunt

inversabile în inelul (,+ , ) . Daca b f(S) , atunci exista s S astfel încât  b = f(s) = () deci f(S) = . Cu aceasta precizare , observam ca oricare ar fi clasa () f (S) , exista clasa () A astfel încât () () = = () .

De obicei elementele inelului se noteaza simplu prin , în loc de () , adica = . Acest inel se numeste inelul de fractii al inelului (A, +,

În cazul când inelul (A, +, ) este domeniu de integritate, atunci inelul sau de

fractii (,+ , ) este chiar un corp, deci:

Teorema 1.7.3. Fiecare domeniu de integritate se scufunda izomorf într-un

corp, numit corpul de fractii al domeniului de integritate respectiv.

Pentru exemplificare, sa ne reamintim cum a fost construit corpul

numerelor rationale (Q,+ , ) . Vom constata ca (Q,+ , ) este corpul de fractii al

domeniului de integritate (Z,+ ,

1.8. Inele de polinoame.

1.8.1. Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.

Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la început nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera sirurile f = (a0, a1, a2, .), ai A a.i. toti termenii sai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.

Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. sirurile f = (a0, a1 , .) si g = (b0 , b1 , .) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si înmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar.

Fie f, g A', f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2,.). Atunci adunarea se defineste astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .).

Este evident ca f + g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f + g A . Sa verificam ca (A',+) este grup abelian .

Într-adevar , daca f ,g, h A , f = (a0, a1, a2, .), g = (b0, b1, b2, .), h = (c0, c1, c2, .), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .) + + (c0, c1, c2, .) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, .] si f + (g + h) = (a0, a1, a2, .) + [(b0, b1, b2, .) + (c0, c1, c2,.)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1),.] .

Cum adunarea în inelul A este asociativa , avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 ., de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g = g + f.

Daca 0 = (0, 0, 0, .) , atunci 0 + f = (0, 0, .) + (a0, a1, .) = (0 + a0, 0 + + a1, .) = (a0, a1, a2, .) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca f A', f = (a0, a1, a2, .), atunci -f = (- a0, - a1, - a2, .) este opusul lui f si f + (- f) = (- f) + f = 0 .

Înmultirea pe A se defineste astfel:

f g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, .) = (c0, c1, .) , unde Ck=.

Este clar ca f, g A'. Înmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai întâi asociativitatea .

Fie f, g, h A' , unde f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2, .) , h = (c0, c1, ,c2, .) si sa aratam ca (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2,.). Atunci . De asemenea, fie

(fg)h = (d0',d1',d2',.), unde d'm =

Daca gh = (c0,c1,.), atunci :

si fie f(gh) = (l'0,l'1,l'2,.), unde :

.

Deci d'm = l'm pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea înmultirii rezulta din faptul ca înmultirea în inelul A este comutativa, iar în expresia produsului polinoamelor f si g termenii factorilor intervin în mod simetric.

Elementul unitate din A' este sirul (1, 0, 0, .). Înmultirea pe A' este distributiva fata de adunare. Într-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :

f(g + h) = (d0, d1,.) , unde

fg + fh = (d'0,d'1,.), unde

Cum operatia de înmultire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g + h) = fg + fh. Evident are loc si relatia (f + g)h = fh + gh si afirmatia s-a demonstrat.

Propozitia 1.8.1.

Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A' ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) împreuna cu operatiile de adunare si înmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienti din A .

Daca f = (a0, a1, .) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si daca n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an 0 , atunci n se numeste gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se defineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind - n . Daca gradul (f) = n , atunci a0, a1, ., an se numesc coeficientii polinomului f.

Fie aplicatia u: A A' definita prin u(a) = (a, 0, 0, .) . Aplicatia u este injectiva , deoarece , daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, .) = (b, 0, .) a = b. De asemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) si u(ab) = u(a)u(b) , " a, b A , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a, 0, .) + (b, 0, .) = (a + b, 0, . ) si (a, 0, .) (b, 0, .) = (ab, 0, .) .

Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a A cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a, 0, .) din A'. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, .), care se numeste nedeterminata X. Obtinem:

Pentru orice a A, avem ax= (0, 0, ., 0, a, 0, .). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, ., an, 0, .) = (a0, 0, 0, .) + (0, a1, 0, .) + .

.+ (0, 0, .an, 0, .) = a0(1, 0, .) + a1(0, 1, 0, .) + . + an(0, 0, ., 1, 0, .) =

Daca an = 1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A' obtinut se numeste inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau - daca si numai daca f apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f + g) max (grad(f), grad(g)) ; grad(fg) grad(f) + grad(g), pentru  " f, g A[x].

Daca A este un domeniu de integritate , se poate înlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Propozitia 1.8.2.

Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.

Demonstratie:

Fie f, g A[x] ;

Atunci :

A fiind domeniu de integritate, rezulta din am 0 si bn 0 ca ambn 0, adica fg 0. În particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.

Propozitia 1.8.3.

Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x]) = =u(A).

Demonstratie:

Fie a A , inversabil in A , adica exista b A a.i. a b = 1. Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x] .

Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom g A[x] a.i. fg = 1 si , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adica f, g A. Deci f A si f este inversabil in A. În particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) u(A). Într-adevar , polinomul neconstant 1 + 2X Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.

Exemple . ( Probleme )

1.   &nbs 444o1417e p;  Sa se arate ca in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireductibil.

Solutie.

Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s-ar descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obtinem a b = 0, a b = 1 , a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a(a b + a b ) = 0 se obtine ca a + a = 0 , contradictie .

2. Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y + + XY + Y este ireductibil, n 2 , n N .

Solutie .

Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienti in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p - prim , în inelul factorial Q[Y] sunt îndeplinite conditiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y] .

3. Sa se arate ca polinomul f = 3X + 4X - 6X + 7X + 21 este ireductibil in Z[X] .

Solutie .

Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reductiei pentru p = 2. Avem f = X +X +1 Z [X] si aratam ca f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 1 0 , rezulta ca f nu are factori de gradul întâi in descompunere. Fie acum X +X +1= =(aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficientilor se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradictie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reductiei rezulta f ireductibil in Z[X].

1.8.2. Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate.

Fie A un inel. Atunci inelul polinoamelor in nedeterminatele X1, X2, ., Xn cu coeficienti în inelul A se defineste inductiv astfel : daca A[X1] este inelul polinoamelor in nedeterminata X , cu coeficienti in inelul A1, A[X1, X2] este inelul polinoamelor in nedeterminata X2 cu coeficienti in inelul A[X1] si, in general : A[X1, X2, ., Xn] este inelul polinoamelor in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1, X2, ., Xn-1] . Pe A[X1] l-am construit deja si in mod recurent:

A[X1,X2]=A[X1]A[X2]

A[X1,X2,X3]=A[X1,X2]A[X3] ;

A[X1,X2,.Xn]= A[X1,X2,.,Xn-1]A[Xn].

Daca f este un polinom in inelul A[X1,X2,.,Xn] , atunci el este polinom in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1,X2,.,Xn-1] si , deci, A[X1,X2,.,Xn-1], pentru orice i = 0, 1, ., hn . Din aproape in aproape , f se scrie ca o suma finita de forma:

în care A se numesc coeficientii polinomului f,

sunt numere nenaturale . Un polinom din A[X1, X2, . Xn] de forma  aX1X2X3 . Xn, a 0 , se numeste monom .

Definitia 1.8.4.

Se numeste gradul monomului aX1X2X3.Xn, a 0 in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,X2,X3,., Xn, suma i1 + i2 + . + in.

Definitia 1.8.5

Se numeste gradul polinomului f A[X1,X2,.Xn] in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,.,Xn cel mai mare dintre gradele monoamelor sale în raport cu ansamblul nedeterminatelor. Ca si în inelul polinoamelor într-o nedeterminata , si aici avem:

Propozitia 1.8.6.

Fie A un inel si f, g A[X1, X2, . Xn] . Atunci:

grad (f + g) max(grad(f), grad(g)) ;

grad (fg) grad(f) + grad(g) ;

daca, in plus, A este domeniu de integritate , atunci la punctul (2) vom avea egalitate ; mai mult, U(A[X1, X2, . Xn]) = U(A).

1.9. Inelul claselor de resturi modulo n

Operatiile de adunare si înmultire confera multimii Z a numerelor întregi o structura de inel comutativ unitar si fara divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .În acest inel multimea nZ a multiplilor numarului natural n (fixat) formeaza un ideal (bilateral) . Pe de alta parte daca I este un ideal al inelului (Z, +, ) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci exista un numar natural n astfel încât I = nZ . Daca I = nZ si J = mZ sunt doua ideale ale lui Z atunci I + J este de asemenea un ideal al lui Z si exista d Z astfel încât I + J = dZ sau nZ + mZ = dZ (putem presupune d N) . Din relatia nm dZ rezulta d n si d m , iar din relatia d nZ + mZ rezulta ca exista a, b Z astfel încât d = an + bm . Din urma relatiei deducem ca orice divizor comun al lui m si n este si un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor întregi n si m . Analog se demonstreaza ca daca nZ mZ = qZ atunci q este cel mai mic multiplu comun al lui n si m . De asemenea are loc relatia (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cu ideale care au forma nZ , n N . Reamintim ca pornind de la structura de grup aditiv a lui Z si considerând un subgrup nZ al acestuia , relatia

x y x - y nZ

este o relatie de echivalenta (numita si relatie de congruenta modulo n ) si notata în teoria numerelor prin x z (mod n) ale carei clase de echivalenta au forma

Clasele de echivalenta se mai numesc si clase de resturi modulo n , în rolul reprezentantului r putând fi ales totdeauna un numar natural cuprins între 0 si n - 1 . Multimea acestor clase Z_n = capata o structura de grup comutativ în raport cu operatia Constructia amintita tine seama numai de operatia de adunare pe Z . Ţinând cont si de operatia de înmultire din Z , deci de structura de inel , se poate completa si structura lui Z_n . Astfel operatia

împreuna cu operatia de adunare induc pe Z_n o structura de inel comutativ si unitar . Acest inel poarta numele de inelul claselor de resturi modulo n . Elementele remarcabile ale acestui inel sunt urmatoarele : 0 - elementul neutru (al operatiei de adunare ) , - opusul clasei , - elementul unitate (al operatiei de înmultire ) .

Aplicatia j_n : Z Z_n definita prin j_n (x) = este un morfism unitar de inele deoarece :

Morfismul j_n se numeste surjectia canonica a lui Z pe inelul sau factor Z_n . Daca n = 0 atunci fiecare clasa de resturi în Z₀ este de forma . Surjectia canonica j = Z Z₀ este si injectiva , deci inelele Z si Z₀ sunt canonic izomorfe .

Daca n = 1 atunci = Z , deci toate numerele întregi fac parte dintr-o singura clasa de resturi , iar inelul Z₁ este inelul nul , Z₁ = .

Inelul Z_n are mai multe aplicatii în teoria numerelor . În continuare , pe baza proprietatilor grupurilor finite vom deduce câteva astfel de rezultate . Pentru aceasta vom stabilii mai întâi care sunt unitatile (elementele inversabile ) inelului Z_n .

Teorema 1.9.1. În inelul Z_n , n > 1, elementul este inversabil daca si numai daca x si n sunt relativ prime .

Demonstratie. Observam mai întâi ca daca x si n sunt relativ prime si y = x + kn , k Z_n , atunci z si n sunt de asemenea relativ prime. Daca este inversabila în Z _n atunci exista Z _n astfel încât , de unde xz = 1 + kn , pentru un anumit k Z . Din relatia

xz - kn = 1

rezulta ca divizorii comuni ai lui x si n sunt 1 , deci x si n sunt relativ prime . Reciproc , daca x si n sunt relativ prime , atunci exista numerele întregi a si b astfel încât ax + bn = 1 . Luând imaginile acestor elemente prin surjectia canonica j_n si tinând seama ca j_n (n) = 0 rezulta , adica este inversabila în Z_n .

Conform teoremei precedente , de exemplu , în Z₁₅ , si sunt inversabile , dar nu este inversabila .

1.9. 2. Consecinta . Daca n este numar prim , atunci Z_n este corp . Într-adevar daca n este numar prim , atunci 1, 2, . . n - 1 sunt relativ prime cu n si deci toate elementele inelului Z_n diferite de elementul neutru al adunarii () sunt inversabile .

1.9.3. Consecinta . Inelul Z_n (n > 1) contine atâtea elemente inversabile câte numere naturale mai mici ca n si prime cu n exista , adica j (n) elemente , unde j : N N este functia lui Euler .

1.9.4. Observatie . Legatura dintre elementele inversabile din Z_n si j (n) ne permite sa dam o noua demonstratie faptului ca indicatorul lui Euler este o functie multiplicativa . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmeaza .

1.9.5. Lema . Daca m₁ si m₂ , sunt numere întregi relativ prime , atunci .

Demonstratie . Consideram functia f : Z Z_m1 x Z_m2 , definita prin f (x) = (j (x ) , j (x)) , unde j j sunt surjectiile canonice ale lui Z pe Z_m1 , Z_m2 . Se verifica imediat ca f este morfism de inele . Daca x Ker f , atunci m₁ x , m₂ x , si deoarece m₁ , m₂ sunt relativ prime , deducem m₁m₂ x . Daca m₁m₂ x , atunci x Ker f . Deci Ker f = m₁m₂ Z . Conform teoremei fundamentale de izomorfism Im f Z Ker f = Z_m1m2 . Deoarece Im f are m₁m₂ elemente rezulta ca Im f = Z_m1 x Z_m2 , de unde izomorfismul din enunt .

Aplicând propozitiile din 1.9.5. pentru izomorfismul din lema precedenta se obtine U(Z_m1m2) u (Z_m1) x U (Z_m2) din care deducem ca j( m₁m₂ ) = j(m₁) j(m₂) .

CAP. II. CORPURI

Definitia corpului. Exemple

2.1.1. Definitie: Un inel unitar (A, +, ) se numeste corp daca fiecare element nenul al inelului este inversabil , adica daca satisface conditia :

Pentru fiecare a A* , unde A* = A \ , exista a ^-1 A astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1 .

Prin urmare , daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) se numeste corp comutativ sau câmp.

Observatie

Pe orice multime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notam cu 0 si 1 aceste elemente, atunci adunarea si înmultirea nu pot fi definite decât in modul urmator:

Ć   &nbs 444o1417e p; 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

2.1.2. Exemple:

1. (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.

2. Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p 0 este un numar natural prim, atunci rezulta ca Z este corp.

3.Corpurile de numere patratice Q(). Fie d un întreg liber de patrate si Q() =. Daca z1 = a1 + b1 si z2 = a2 + b2, a1, a2, b1, ,b2 Q, atunci :

z1 + z2 = ( a1 + b1) + a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) z1 + + z2 Q(), iar z1z2 = a1a2 + db1b2 + (a1b2 + a2b1) z1 z2 Q().

Deci Q() este parte stabila a lui C in raport cu adunarea si înmultirea. Observam ca 0 = 0 + 0 Q(), 1+ 0 Q() si deducem ca Q() este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe Q() de adunarea si înmultirea pe C. Pentru a dovedi ca Q() este corp, mai ramâne sa aratam ca pentru orice element z Q(), z = a + b, z 0, exista z' Q() a.i. zz' = z'z =1. Deoarece z 0, atunci a 0 sau b (daca si b = 0, deducem a = 0, iar daca si b 0 atunci = |a/b| si deducem ca Q, contradictie).

Apoi, zz'=1 (a + b)z' = 1 z' = 1/(a + b) = (ab) / () = a/() + (-b)/() Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) si Q( ) sunt corpuri comutative.

Exemple concrete de corpuri:

1. Pornind de la domeniul de integritate (Z, +, ) , putem construi corpul numerelor rationale. Pentru aceasta, sa definim în produsul cartezian Z x Z*, unde Z* = Z \ , relatia binara astfel

(a, b) (c, d) ad =bc

Relatia astfel definita este o echivalenta în Z x Z*, deci se poate construi multimea cât Q = Z x Z* , adica , unde

Definind în Q operatiile binare si prin

se constata ca (Q, +, ), este corp comutativ, având ca element zero clasa , , iar ca element unitate clasa . si de data aceasta, pentru simplificarea scrierii, se noteaza , deci = 0 si = 1.

Mentionam ca domeniul de integritate al numerelor întregi nu este corp,

deoarece (Z*, +, ) nu este grup. Într-adevar, elementele lui diferite de 1 si -1 nu sunt inversabile în inelul (Z, +,

2. Presupunând cunoscuta notiunea de sir fundamental de numere rationale precum si proprietatile acestor siruri, putem construi corpul numerelor reale. Anume, în multimea tuturor sirurilor fundamentale de numere rationale se defineste relatia binara astfel

si se observa ca aceasta este o relatie de echivalenta . Notând prin R multimea cât corespunzatoare si definind în R operatiile binare si prin

se constata ca (R, +, ) este un corp comutativ, numit corpul numerelor reale.

3. Pornind de la corpul numerelor reale (R, +, ) se poate construi corpul numerelor complexe. Pentru aceasta, sa definim în C= R x R operatiile binare si astfel

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

(a, b) (c, d) = (ac - bd , ad + bc)

Se constata ca tripletul (C, +, ) devine corp comutativ, având ca element zero perechea (0,0), iar ca element unitate perechea (1,0) .

Notând (a, 0) = a si (0,1) = i si tinând cont de definitia operatiilor în C , observam ca oricare pereche (a, b) C se poate scrie astfel

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .

Am obtinut, în acest fel, forma de scriere cunoscuta a numerelor complexe.

4. Fie m N, m 0 si fie Z_m multimea claselor de resturi ale întregilor fata de modulul m, adica Z_m = , unde C_a = . Definind în Z_m operatiile de adunare si înmultire prin

C_a + C_b = C a+ b

C_a C_b = C ab

se constata ca (Z_m, + ) , este inel unitar si comutativ, având ca element zero clasa C₀ , iar ca element unitate clasa C₁ . Acest inel nu este în general domeniu de integritate .

Într-adevar, daca spre exemplu, m = 6 atunci C₂ C₃ = C₆ = C₀ , desi C₂ C₀ si C₃ C₀ .

Se poate demonstra ca inelul (Z, +, ), este corp comutativ daca si numai daca modulul m este un numar natural prim. Într-adevar , faptul ca elementul C_a C₀ este inversabil este o afirmatie echivalenta cu existenta unei solutii unice x₀ 0 < x₀ m - 1 , pentru congruenta ax 1 (mod m) . Se stie ca aceasta solutie exista si este unica atunci si numai atunci când (a, m) = 1 , adica numerele naturale a si m sunt prime între ele . Deci, elementele nenule ale inelului (Z_m, +, ) vor fi inversabile daca si numai daca pentru orice a Z , 0 < a m - 1 avem ( a, m ) = 1 , adica atunci si numai atunci când numarul natural m nu are divizori diferiti de 1, ceea ce înseamna ca m este numar prim.

. Proprietati de baza ale corpurilor.

Teorema 2.2.1.

Într-un corp nu exista divizor al lui zero.

Fie (A, +, ) un inel . Deoarece (A, +) este un grup , pentru orice a A si orice n Z putem defini elementul na in mod recursiv prin conditiile:

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  a = 0

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    na = (n -1)a + a daca n >0 ;

(iii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   na = (n + 1)a - a daca n <0.

Observam ca este vorba de transpunerea în limbaj aditiv a definitiei puterii unui element dintr-un grup multiplicativ .

Pentru orice a A si orice n Z ,

na = -n ( -a ) = -(-na) ;

Pentru orice a A si orice m, n Z ,

ma + na = (n + n)a si n(ma) = (nm)a ;

Pentru orice a, b A si orice n Z ,

n(a + b) = na + nb .

De asemenea, întrucât (A, ) este semigrup, pentru orice a A si orice n Z , n > 0 , se poate defini elementul aⁿ A , anume aⁿ = , astfel încât pentru orice a A si pentru orice m, n Z , a^m aⁿ = a^m+n si (a^m)ⁿ = a^mn .

Daca inelul (A, +, ) este comutativ, atunci pentru orice a, b A si orice n Z , n >0, (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ .

Mai mult, daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) este grup, deci pentru fiecare a A a 0, se poate defini elementul aⁿ unde n Z. În acest caz, regulile de calcul cu puteri sunt:

(1) Pentru orice a A* si orice n Z, aⁿ = (a ^-1 ) ^-n = (a ^-n ) ^-1 ;

(2) Pentru orice a A* si orice n Z, a^maⁿ = a^{m + n} si (a^m)ⁿ = a^mn ;

(3) Daca (A, +, ) este corp comutativ , atunci pentru orice a, b A* si orice n Z , (ab)ⁿ = aⁿbⁿ .

Deoarece orice corp este inel , toate proprietatile inelelor ramân valabile în cazul corpurilor. Însa unele dintre proprietatile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor .

2.2.2. Propozitie . Într-un corp exista doar doua ideale , idealul nul si tot corpul , care sunt ideale bilaterale .

Demonstratie. Fie I un ideal la stânga în corpul K . daca I (0) , atunci exista în I un element nenul a . Fie b un element arbitrar din K , atunci egalitatea b = ba ^-1 a arata ca b I , deci I contine toate elementele lui K , adica I = K . În mod analog se arata ca orice ideal coincide sau cu (0) sau cu K, care , de altfel , sunt ideale bilaterale în orice inel K .

2.2.3. Propozitie . Fie K un inel nenul care are numai doua ideale (0) si K. Atunci K este corp .

Demonstratie. Pentru a demonstra ca K este corp trebuie sa aratam ca orice element nenul din K este inversabil . Fie x K , x 0 . Deoarece idealele xK si Kx sunt nenule , rezulta xK = K si Kx = K. Din aceste relatii rezulta ca exista x , x K astfel încât xx = 1 si x x = 1 . Atunci se obtine x = 1x = (x x) x = x (xx ) = x 1 = = x , deci x = x si deci x este inversabil .

Din propozitiile precedente rezulta ca în cadrul inelelor , corpurile pot fi definite ca si inele nenule care au doar doua ideale .

Corpurile fiind inele , morfismele de inele se aplica si în cazul corpurilor . În cazul corpurilor exista urmatoarea proprietate.

2.2.4. Propozitie. Fie k un corp . Atunci orice morfism de la K la un inel A nenul este injectiv.

Demonstratie. Mentionam ca prin inel întelegem un inel unitar iar prin morfism de inele un morfism unitar , adica care duce elementul unitate al domeniului de definitie în elementul unitate al domeniului valorilor . Fie u : K A un morfism de inele . Se stie ca u este injectiv daca si numai daca Ker u este idealul nul în K . Deoarece Ker u este ideal bilateral în K si K este corp deducem ca Ker u = K sau Ker u = 0 . Egalitatea Ker u = K nu poate avea loc deoarece ar rezulta ca f (1) = 0 , ceea ce contrazice faptul ca f(1) este elementul unitate la înmultire în A si aceasta este diferit de 0 , întrucât A este inel nenul .

2.2.5. Propozitie . Fie un K inel comutativ cu proprietatea ca orice morfism de la K la un inel nenul este injectiv . Atunci K este corp .

Demonstratie . Este suficient sa aratam ca daca K nu este corp exista un morfism de la K la un inel nenul care nu este injectiv . daca K nu este corp , din propozitia 2.2.3. rezulta ca exista în K un ideal I diferit de (0) si K .deoarece K este inel comutativ , idealul I este bilateral , deci exista inelul factor A = K I . Atunci morfismul canonic p : K K I nu este injectiv , caci Ker p = I

2.3. Subcorpuri

Definitie. Daca (A, +, ) este inel unitar sau corp si S A , S Ű  , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca si numai daca satisface urmatoarele conditii :

(i)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice a, b S, a + b S ;

(ii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;    Pentru orice a, b S, a b S ;

(iii)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Pentru orice a S, -a S ;

(iv)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Pentru orice a, b S, a - b S

Avem in plus conditia:

Pentru fiecare a S*, exista a ^-1 S* astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1 adica elementele diferite de zero sunt inversabile .

Teorema 2.3.1.

Daca (A, +, ) este corp si S A , S Ű  este o submultime finita a lui A , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca îndeplineste urmatoarele conditii :

Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

2.3.2.   &nbs 444o1417e p;  Exemple:

(1) Fie A un corp. Atunci A este evident subcorp al lui A.

Q este un subcorp al lui R cu adunarea si înmultirea numerelor reale.

(3) Q este un subcorp al corpului R al numerelor reale.

(4) Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele însele

În corpul numerelor complexe C , corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . Corpurile Q, R, C sunt subcorpuri în corpul cuaternionilor P. De asemenea Q este subcorp al lui R . Multimea numerelor complexe de forma a + bi , unde a , b Q , se noteaza , de obicei prin Q(i) este subcorp al lui C.

De asemenea numerele reale de forma a + b, a, b Q formeaza un subcorp al corpului numerelor reale R.

Sa observam ca daca k este subcorp al corpului K si la rândul sau, K este subcorp al corpului L , atunci rezulta ca k este subcorp al lui L . Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate .

2.4.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Corpuri prime

Fie (A, +, ) un corp notat cu A. Atunci A poate fi privit si ca subcorp în A. Un subcorp al lui A diferit de A se numeste subcorp propriu al lui A. Se numeste subcorp prim , un corp care nu are subcorpuri proprii. Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însusi.

2.4.1.   &nbs 444o1417e p;  Propozitie.

Corpurile Q si Z_p, p > 0, numar întreg prim , sunt corpuri prime.

Demonstratie. Fie A un subcorp al lui Q. Atunci 1 A , de unde deducem ca pentru n Z, n > 0 , n A, deoarece n = 1 + 1 + 1 + . + 1 de n ori. Apoi obtinem -n A. Deci Z A . Cum inversele elementelor din Z trebuie sa fie si ele în A rezulta A = Q .

Fie p > 1 un numar întreg prim . Atunci Z_p are p elemente , , ., .

Orice subcorp A al lui Z_p contine pe si pe . Pentru orice , 0 ≤ r ≤ p-1, avem = + + . + de r ori. Prin urmare A = Z_p .

Ne propunem sa aratam ca Q si Z_p sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este suficient sa mai demonstram urmatoarea propozitie.

2.4.2.   &nbs 444o1417e p;  Propozitie.

Orice corp contine un subcorp izomorf cu unul si numai unul dintre corpurile Q sau Z_p, p > 0 , numar întreg prim .

Demonstratie. Fie A un corp. Atunci exista un unic morfism de inele u : Z A , definit prin _u (a) = 1_a , unde a Z iar 1 este elementul unitate din A . _u (Z ) este subinel în A si este izomorf cu Z / Ker u . Cum _u (Z) este inel integru, iar daca Ker u 0 , atunci exista p > 0 numar întreg prim astfel încât Ker u = pZ, deci u(Z) Z_p si deci A contine corpul Z_p. Daca Ker u = 0 , atunci Z este izomorf cu u(Z). Atunci u se extinde la un morfism de inele u : Q A punând pentru a, b Z , b 0 , u (a / b) = u(a) (u(b)) ^-1 , dupa cum se verifica cu usurinta. Pentru a arata ca în A , exista numai un singur subcorp izomorf cu un corp prim , observam ca daca ar contine doua astfel de subcorpuri distincte , intersectia lor ar fi un subcorp propriu a cel putin unuia dintre subcorpuri , ceea ce ar contrazice faptul ca subcorpurilor sunt corpuri prime.

2.4.3.   &nbs 444o1417e p;  Propozitie.

Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.

Demonstratie. Daca u : A A este un endomorfism al corpului prim A, atunci cum u este injectiv iar u(A) este subcorp al lui A , deducem ca u(A) = A, adica u este un automorfism al lui A, fiind injectiv. Însa din faptul ca u() = rezulta ca u() = ,pentru orice r numar întreg 0 r < p daca A = Z_p, p > 0 numar întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Daca A = Q , tot din faptul ca u(1) = 1 rezulta u(n) = n pentru orice n Z , apoi pentru a, b Z , b 0 rezulta u(a / b ) u(a) u(b ^-1 ) = ab ^-1 , adica u este si în acest caz identitatea.

Se poate arata ca proprietatea din propozitia precedenta caracterizeaza corpurile prime .

Propozitia 2.4.2. ne permite sa dam urmatoarea definitie.

2.4.4. Definitie. Fie A un corp . Se poate spune ca A are caracteristica zero daca A contine pe Q si caracteristica p > 0, p fiind un numar întreg prim > 0, daca A contine corpul Z_p .

Din aceasta definitie rezulta : corpurile Q, R, C sunt de caracteristica 0 iar corpul Z_p are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct din definitie , ca daca aA este o extindere de corpuri, atunci corpurile a si A au aceeasi caracteristica . Uneori în loc de caracteristica unui corp se foloseste exponentul caracteristic , care prin definitie este 1 daca caracteristica corpului este p > 0 , daca caracteristica corpului este p .

În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp , care este, poate, mai sugestiv.

Fie A un corp si e elementul unitate la înmultirea în A. Atunci caracteristica lui A este cel mai mic numar natural p > 0 cu proprietatea 0 = p e = e + e + . + e , de p-ori . Daca nu exista nici un numar natural cu aceasta proprietate vom spune ca corpul A este de caracteristica 0 . Sa aratam ca daca numarul natural p > 0 exista el este prim . Într-adevar , daca p = p₁p₂, atunci pe = (p₁e)(p₂e) si pe = 0, iar A fiind corp se obtine sau p₁e = 0 sau p₂e = 0 . Din proprietatea de minimalitate a lui p se obtine sau p₁ = p sau p₂ = p .

Observând ca în corpul Z_p , p este cel mai mic numar natural cu proprietatea p = 0 , deducem usor echivalenta dintre cele doua moduri de a introduce caracteristica unui corp .

2.5.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Morfisme de corpuri

Definitie. Fie A si A doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la A la A o functie f : A A , astfel încât sa fie satisfacute urmatoarele conditii:

(1)   &nbs 444o1417e p; f(x + y) = f(x) + f(y) , oricare ar fi x, y A ,

(2)   &nbs 444o1417e p; f(xy) = f(x) f(y) , oricare ar fi x, y A ,

(3)   &nbs 444o1417e p; f(1) = 1 .

Deci f : A A este un morfism de corpuri daca este un morfism unitar de inele .

Deoarece f este în particular un morfism de grupuri de la A* la A * , rezulta ca f(x ^-1) = (f(x)) ^-1 , pentru orice x

Propozitia 2.5.1. Orice morfism de corpuri este injectiv .

Demonstratie. Într-adevar , fie f : A A morfism de corpuri si x, y A astfel încât x y . Atunci x - y 0 si deci exista z a , astfel încât (x - y)z = 1 , de unde f(x - y)z = f(1) sau f (x - y)f(z) = 1 . Prin urmare , f(x - y) 0 adica f(x)- f(y) 0 sau f(x) f(y) .

Fie A un corp si _{α A} o familie nevida de subcorpuri ale sale . De la inele stim ca F_α este un subinel al lui A. Mai mult daca y F_α , y 0 , atunci y F_α , y 0, oricare ar fi α A si cum fiecare F_α este corp rezulta ca y ^-1 F_α , oricare ar fi α A . deci y ^-1 F_α .

Am obtinut astfel ca intersectia unei familii oarecare nevide de subcorpuri ale unui corp A este de asemenea un subcorp al lui A .

Daca consideram intersectia tuturor subcorpurilor unui corp , se obtine un subcorp al sau , care nu are alte subcorpuri în afara de el însusi .

2.6.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Corpuri finite

Fie K L o extindere de corpuri cu un numar finit de elemente ; presupunem ca corpul K are Q elemente . Corpul L este spatiu vectorial (la stânga) peste K si fie r = dim_K L. Atunci , din faptul ca orice element x L se scrie în mod unic sub forma fiind o baza a lui L peste K si a_i K, deducem ca corpul L are q^r elemente . Daca L este un subcorp al lui L care contine pe K si s = dim_kL , atunci s divide pe r. Orice corp finit K este de caracteristica p > 0 si deci contine corpul prim Z_p , deci k va avea pⁿ elemente , unde n = dim_ZpK .

Teorema 2.6.1. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp comutativ este ciclic .

Demonstratie. Fie K un corp comutativ. Notam cu K* grupul multiplicativ al elementelor nenule din K . Fie G un subgrup finit al lui K* de ordin h . Este suficient sa aratam ca in G exista un element de ordin h . Fie h = descompunerea în factori primi a lui h, p₁, p₂, . ,p_k > 0 fiind numere prime distincte . Pentru orice i = 1, 2, ., k exista un element x_i G astfel încât , caci în cazul contrar polinomul ar avea mai multe radacini decât gradul sau . Vom arata ca elementul y_i = are ordinul . În adevar , este clar ca , caci . rezulta atunci ca ordinul elementului y_i este un divizor al lui , adica de forma , cu 1 s r_{i .} Daca s r_i , ar rezulta , în contradictie cu alegerea elementului x_i . Deci s = r_i si ordinul elementului y_i este . Atunci din lema care urmeaza va rezulta ca elementul y = y₁ y₂ . y_k este un element din G de ordin h .

Lema 2.6.2. Fie G un grup comutativ si a_i , i = 1, 2, ., k , elemente din G de ordin respectiv n_i , i = 1, 2, ., k , astfel încât numerele naturale n_i , sa fie relativ prime doua câte doua . Atunci ordinul elementului este egal cu .

Demonstratie. Este suficient sa demonstram lema în cazul k = 2 , caci apoi afirmatia se obtine usor prin inductie dupa k , observând ca n_k este prim cu produsul . Din rezulta ca ordinul elementului a₁a₂ divide produsul n₁n₂ . Fie n ordinul elementului a = a₁a₂ . Atunci 1 = , de unde rezulta ca n₁ divide pe nn₂ , deci n₁ divide pe n , caci si produsul lor (care coincide cu cel mai mic multiplu comun al lor ) divide pe n , deoarece n₁ si n₂ sunt prin ipoteza relativ prime.

În continuare ne propunem sa demonstram ca orice corp finit este comutativ. În acest scop vom da câteva proprietati ajutatoare .

Fie K un corp comutativ algebric închis cu exponent caracteristic p si u > 1 un numar întreg cu proprietatea (p,n) = 1 . Notam cu U_n multimea radacinilor polinomului Xⁿ - 1 în K . Elementele din U_n se numesc radacini de grad n ale unitatii în K . Se verifica imediat ca împreuna cu înmultirea din K , U_n este un grup , numit grupul radacinilor de grad n ale unitatii din K . Întrucât (n, p) = 1 si derivata polinomului Xⁿ - 1 nu este nula , rezulta ca acest polinom nu are radacini multiple , deci U_n are n elemente . Rezulta ca u_n este grup ciclic si deci este izomorf cu Z_n . Orice generator al grupului U_n se numeste radacina primitiva de grad n a unitatii. Numarul acestor radacini este j(n) , unde j este functia lui Euler . Daca z este o radacina primitiva de grad n a unitatii si m un numar întreg relativ prim cu n , atunci z^m este înca o radacina primitiva de grad n a unitatii deoarece ordinul lui z coincide cu ordinul lui z^m . Mai mult , toate radacinile primitive de ordin n ale unitatii sunt de aceasta forma , deoarece ele sunt în numar de j(n) . În continuare vom considera cazul în care K = C . Daca z este o radacina primitiva de grad n a unitatii din C , atunci corpul Q(z) , care este corpul de descompunere al polinomului Xⁿ - 1 în C peste Q , se numeste al n - lea corp ciclotomic .

În demonstratia teoremei care urmeaza este necesara urmatoarea lema .

Lema 2.6.3. Fie A un inel factorial , K corpul sau de fractii , x un element dintr-o extindere a lui K care este radacina a unui polinom unitar h A(x) . Atunci polinomul minimal al lui x peste K are coeficientii în A .

Demonstratie. Fie f polinomul minimal al lui x peste K si g un factor ireductibil al lui h cu g(x) = 0 . Polinomul g are coeficientul termenului de grad maxim o unitate din A , deci , eventual înmultind cu inversul acestui element din A , putem presupune ca g este polinom unitar . rezulta f g si cum g este ireductibil în K(x) , deducem ca f = g .

Teorema 2.6.4. Fie z o radacina de grad n a unitatii din C si f polinomul minimal al lui z (peste Q) . Atunci f Z(x) si este polinomul minimal al oricarei radacini primitive de grad n a unitatii . În plus , gradul lui f este egal cu j(n) si deci Q(z) : Q j(n) .

Demonstratie . Prima afirmatie a teoremei rezulta din lema precedenta . Este clar ca orice radacina z a lui f este tot o radacina primitiva de grad n a unitatii , deoarece Q(z) este izomorf cu Q(z ) printr-un izomorfism care duce pe z în z si deci z^m = 1 daca si numai daca z ^m = 1. Sa aratam acum ca orice radacina primitiva e grad n a unitatii este radacina a lui f . Din cele de mai sus rezulta ca este suficient sa aratam ca z^m , pentru m relativ prim cu n , este înca o radacina a lui f . Pentru aceasta efectuând un rationament de inductie , este suficient sa demonstram afirmatia când m = p este un numar prim care nu divide pe n . Fie g polinomul minimal al lui z^p . Din lema precedenta rezulta ca g Z(x) . Va fi suficient sa aratam ca f = g , deci ca f si g au un factor comun de grad 1 , deoarece f si g sunt polinoame ireductibile în Z(x) . Sa presupunem dimpotriva ca (f, g) = 1 . Atunci rezulta ca

(1)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Xⁿ - 1 = fgh , cu h Z x

Notam g_p = g(X^p) . Avem g_p (z) = 0 , deci (g_p, f) 1 si cum f este ireductibil în Z x , obtinem

(2)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  g_p = fh , cu h Z x

Fie u : Z x Z_p x extinderea unica a morfismului canonic Z Z_p , cu proprietatea u(X) = X . Notam cu Z_p x imaginea prin u a unui polinom r Z x . Atunci din (1) si (2) obtinem :

(3)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Xⁿ - 1 = ,

(4)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  .

Deoarece pentru a Z_p avem a^p = a , rezulta si relatiile (3) si (4) arata ca polinomul Xⁿ - 1 Z_p x are radacini multiple . Însa (Xⁿ - 1) = nX ^{n - 1} si p nu divide pe n , deci Xⁿ - 1 Z_p x nu poate avea radacini multiple , contradictie . Celelalte afirmatii ale teoremei rezulta din cele demonstrate .

Polinomul minimal al unei radacini primitive a unitatii (si deci al tuturor radacinilor primitive) de grad n se numeste al n-lea polinom ciclotomic si se noteaza cu F_n sau (F_n) . Deoarece orice radacina primitiva de grad d 1 a unitatii , cu d divide pe n , este si o radacina de grad n a unitatii si orice radacina de grad n a unitatii este o radacina primitiva de grad d a unitatii pentru un d convenabil d divide pe n iar (F_d, F_d ) = 1 daca si d si d sunt divizori distincti ai lui n , rezulta ca avem relatia

(5)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  Xⁿ - 1 = , d

Din egalitatea precedenta, tinând seama de egalitatea gradelor , rezulta relatia :

n = , d

Fie G un grup si C(G) centrul grupului G adica multimea elementelor din G care comuta cu orice element din G . se verifica imediat ca C(G) este subgrup abelian si orice subgrup al lui C(G) este subgrup normal al lui G . Pentru un element a G notam cu C(a) = . C(a) este un subgrup din G si se numeste centralizatorul elementului a .

Pentru un grup G se introduce urmatoarea relatie de echivalenta : daca a, b G , se spune ca a este conjugat cu b daca exista x G astfel încât x ^{- 1} ax = b . Clasele de echivalenta asociate acestei relatii de echivalenta se numesc clase de elemente conjugate . Pentru fiecare element a G aplicatia care asociaza unui element x G elementul x ^{- 1} ax din clasa de echivalenta a lui a este evident surjectiva si se verifica imediat ca relatia de echivalenta asociata acestei aplicatii coincide cu relatia de echivalenta la dreapta asociata centralizatorului elementului a . Într-adevar , relatia x ^-1 ax = y ^-1 ay este echivalenta cu relatia y x ^-1 a = ayx ^-1 adica yx ^{- 1} C(a) . De aici rezulta ca numarul elementelor din clasa de elemente conjugate cu a coincide cu indicele centralizatorului elementului a . Daca notam cu G: N indicele subgrupului N al grupului G , din cele de mai sus rezulta

G: (1) C(G): (1) + ,

unde suma se extinde dupa elementele unui sistem de reprezentanti ai claselor de elemente conjugate care nu apartin lui C (G) . Aceasta relatie este cunoscuta sub numele de formula claselor de elemente conjugate .

Teorema 2 .6.5. (Wedderburn) . Orice corp finit este comutativ .

Demonstratie . Fie K un corp si C = . C este evident un subcorp comutativ al lui K , numit centrul corpului K . Avem Z_p C K , unde p este caracteristica corpului K . Atunci C are q = p^m elemente , unde m = [C: Z_p] , iar K are qⁿ elemente, unde n = [K: C] . Este suficient sa demonstram ca n = 1 , pentru ca , atunci rezulta K = C . Presupunem n > 1 . Atunci C* = C \ este centrul grupului multiplicativ K* = K \ 0 . Pentru a K , fie K(a) = . Evident K(a) este un subcorp al lui K si K(a) 0 este centralizatorul lui a în K* . Exista incluziunile

Z_p C K(a) K .

Corpul K(a) are q^d(a) elemente , unde d(a) = K(a): C , si d(a) divide pe n . Aplicând formula claselor de elemente conjugate în K* , se obtine :

(6)   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;  ,

unde a parcurge elementele care nu sunt în C* dintr-un sistem de reprezentanti ai claselor de elemente conjugate . Din relatia (5) rezulta ca F_n divide polinomul Xⁿ - 1 / X^d(a) - 1 , deoarece d(a) divide pe n si X^d(a) - 1 = . Din relatia (6) rezulta ca F_n(q) divide pe q - 1 . Daca n > 2 , deducem ca orice radacina primitiva z de grad n a unitatii este 1 si z = 1. Atunci q - z q - a - bi = > q - 1 , daca z = a + bi . Deoarece , când z parcurge radacinile primitive de grad n ale unitatii , rezulta F_n(q) > q - 1 , ceea ce contrazice faptul ca F_n(q) divide pe q - 1 .

Pentru n = 2 rezulta F(q) = q + 1 si deci F(q) nu divide pe q - 1 .

Deci neaparat n = 1 si K = C , ceea ce demonstreaza teorema .

Teorema 2.6.6. Doua corpuri finite cu acelasi numar de elemente sunt izomorfe .

Demonstratie . Fie K un corp cu p^r elemente . Atunci orice element x K este radacina a polinomului Z_p x , deoarece un element nenul x K satisface relatia = 1 , deoarece grupul multiplicativ al elementelor nenule din K are ordinul p^r - 1 . De aici rezulta ca corpul K , este corpul de descompunere al polinomului Z_p x si deci rezulta ca doua astfel de corpuri sunt izomorfe .

Fie K un corp de caracteristica p > 0 . Atunci aplicatia u : K K , definita prin u(x) = x^p , este un endomorfism de inel al lui K , numit endomorfismul lui Frobenius , deoarece pentru x , y K avem evident u(xy) = u(x)u(y) . De asemenea , u(x + y) = u(x) + u(y) , deoarece (x + y)^p = x^p + y^p , deoarece (combinari de p luate câte s ) se divid cu p daca p > 1 este un numar prim . În general u este un endomorfism injectiv iar daca K este finit sau este algebric închis , rezulta imediat ca este si surjectiv , deci în aceste doua cazuri este automorfism al lui K .

Un corp K de caracteristica zero sau de caracteristica p > 0 pentru care morfismul u de mai sus este izomorfism se numeste corp perfect . Din cele de mai sus rezulta ca corpurile finite si cele algebric închise sunt corpuri perfecte . Notam cu u^s puterea de ordin s a endomorfismului u (definit mai sus) al corpului K de caracteristica p> 0 . Evident u este automorfism daca si numai daca u^s este automorfism .

Propozitia 2.6.7. Fie K un corp algebric închis de caracteristica p > 0 . Atunci K contine un singur corp finit cu p^r elemente pentru orice r > 0 . Acest corp este format din elementele lui K invariate de u^r .

Demonstratie . Fie K un subcorp finit cu p^r elemente din K . Atunci elementele lui K sunt radacinile polinomului - X , deci elementele din K sunt invariate de u^r . Reciproc , daca x K este invariat de u^r , atunci - X = 0 , deci X este o radacina a polinomului - X si prin urmare apartine lui K . Pe de alta parte , radacinile polinomului - X formeaza un subcorp al lui K care are p^r elemente , fiindca derivata lui - X este 1 si deci nu are radacini multiple .

Corolarul 2.6.8. Fie K un corp finit cu p^r elemente . Corpul k contine un subcorp L cu p^s elemente daca si numai daca s divide pe r .

Într-adevar , daca K contine subcorpul L , atunci K : L L : Z_p K : Z_p si deci s divide pe r , deoarece r = K : Z_p iar s = L : Z_p . Reciproc , fie r = st si K o închidere algebrica a lui K . Atunci conform propozitiei precedente , K este subcorpul lui format din elementele invariate de u^s formeaza un subcorp L al lui K de ordin p^s , unde u este endomorfismul lui Frobenius .

Corpul finit care are p^r elemente , p > 0 fiind un numar întreg prim , se noteaza cu sau G . În particular , corpul prim de caracteristica p se noteaza cu F_p .

2.7.   &nbs 444o1417e p;   &nbs 444o1417e p;   Corpul fractiilor unui domeniu de integritate.

Fie A un domeniu de integritate si A* multimea elementelor nenule ale lui A. Consideram produsul cartezian A A*=.

Pe A x A* vom introduce o relatie de echivalenta , R, definita astfel:

(a, b) R (c, d) ad = bc . Sa verificam ca R este o relatie de echivalenta:

reflexivitatea: (a, b)R(a, b) , deoarece ab = ba.

tranzitivitatea: daca (a, b)R(c, d) si (c, d)R(e, f) , vom arata ca  (a, b) R (e, f).

Din (a, b)R(c, d) si (c, d) R (e, f) rezulta ad = bc si cf = de , deci adf = bcf = bde si cum d 0 si A este domeniu de integritate, avem af = be , adica (a, b) R (e, f). Deci R este o relatie de echivalenta.

Clasa de echivalenta a perechii (a, b) se numeste fractie rationala si se noteaza prin a/b. Atunci a/b = c/d ad = bc.

Fie a/b si c/d doua fractii. Cum b 0 si d 0 , atunci bd 0 si , deci , are sens fractia (ad + bc) / bd. Daca a/b = a'/b' si c/d = c'/d' , atunci:

(ad + bc) / bd = (a'd'+b'c') / b'd'. Într-adevar, avem ab' = ba' si cd' = dc'.

Deci ab'dd' = ba'dd' si cd'bb' = dc'bb', de unde ab'dd' + cd'bb' = ba'dd' + + dc'bb' , sau, înca, (ad + bc)b'd' = (a'd' + b'c')bd, ceea ce trebuia demonstrat.

Acum, definim adunarea prin : a/b + c/d = (ad + bc) / bd, operatia care nu depinde de alegerea reprezentantilor, dupa cum s-a vazut, iar înmultirea o definim prin: a/b c/d = ac / bd, operatie care de asemenea nu depinde de reprezentanti, deci este bine definita.

Punem 0 = 0/1 si 1 = 1/1.

Se arata usor ca (A,+, ) este un inel unitar. Fie a/b 0 din A, atunci a 0. Deci are sens fractia b/a, care este din A si a/b b/a = ab / ba = 1/1 = 1 . Deci orice element a/b 0 din A are un invers si anume (a/b) = b/a , deci A este corp comutativ.

Fie aplicatia f : A K , definita prin f(a) = a/1. Atunci f(a + b) = (a + b) / 1 = a/1 + b/1 = f(a) + f(b) si f(ab) = ab/1 = a/1 b/1 = f(a) f(b).

Deci f este omomorfism de inele. Daca f(a ) = f(b), adica a/1 = b/1, atunci a b, adica a = b. Prin urmare, f este omomorfism injectiv. Acest omomorfism injectiv permite identificarea lui A cu un subinel al lui K, mai precis, a = a/1. Atunci, daca a/b K, putem scrie a/b = a/1 1/b = a/1 (b/1) = ab . Corpul K se numeste corpul fractiilor (sau corpul de fractii ) al lui A.

Exemplu:

Pentru A = Z, prin procedeul descris se obtine corpul Q al fractiilor rationale.

2.7.1   &nbs 444o1417e p;   Corpul fractiilor rationale

Teorema 2.7.1.1.

Fie un domeniu de integritate si D[x] inelul polinoamelor cu coeficienti în D. Atunci, elementele inversabile ale inelului D[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului D. În particular, daca (K, +, ) este un corp, atunci elementele inversabile ale inelului vor fi polinoamele de grad zero si numai ele.

Demonstratie. Daca a D este inversabil în inelul D, atunci evident el va fi

inversabil si în inelul D[x] , considerat ca polinom de gradul zero .

Invers , daca A = (a₀, a₁, a₂, .) D[x ] este inversabil in inelul D[x] , atunci exista B = (b₀, b₁, b₂, .) D[x] astfel încât AB = (1,0, .) , adica AB = 1 si tinând cont ca grad A + grad B = 0 , de unde rezulta ca grad A = 0 si grad B = 0 deci A D si B D . Cum AB = 1 , rezulta ca A este inversabil în inelul D.

În baza teoremei precedente, elementele inversabile ale inelului Z[x] sunt

numerele întregi 1 si -1, iar elementele inversabile ale inelului Q [x] sunt toate

numerele rationale nenule.

Teorema 2.7.1.2. Daca (D, +, ) este domeniu de integritate, atunci (D[x], +, ) este domeniu de integritate. În particular, daca K este un corp, atunci (K[x], +, ) este domeniu de integritate fara a fi corp.

Demonstratie . Proprietatea de comutativitate a operatiei de înmultire din inelul se transmite de la proprietatea similara a operatiei de înmultire din D. Apoi, daca I D este element unitate în inelul D, atunci acesta va juca rol de element unitate si în D[x] , considerat ca polinom de gradul zero. Ramâne sa aratam ca inelul D[x] nu poseda divizori ai lui zero. Într-adevar, daca A B D[x] si A 0 si B 0 , atunci exista m, n N astfel încât grad A = m si grad B = n , deci grad (AB) = m + n , adica AB

Pentru a termina demonstratia, observam ca daca K este corp, atunci în baza

teoremei (2.7.1.1.) , elementele inversabile ale inelului K[x ]sunt polinoame de grad zero si numai ele. Dar, în K[x] exista cu siguranta si alte polinoame, de exemplu polinomul de grad unu x = (0,1,1,.) deci K[ x] va fi numai domeniu de integritate fara a fi corp .

Din (2.7.1.2.) si (2.6.3) rezulta imediat:

Teorema 2.7.1.3. Daca D este domeniul de integritate, atunci D[x] se scufunda izomorf într-un corp , numit corpul de fractii rationale atasat inelului de polinoame D[x] anume

Constructia corpului se poate face urmarind pas cu pas constructia inelului de fractii data în (2.6.2), înlocuind în aceasta constructie inelul A cu inelul D[x] si multimea S prin multimea D[x] \ .

Bibliografie

[1] M. Becheanu, C. Nita, M. stefanescu, A. Dinca, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu , Algebra Pentru Perfectionarea Profesorilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983

[2] Gheorghe Farcas, , Algebra, Editura universitatii "Petru Maior", Târgu Mures, 2001

[3] Ion D. Ion , R. Nicolae, Algebra, Editia a III-a, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

[4] C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol.I , Editura Academiei R.S.R. , Bucuresti, 1986