Legi de compozitie

Fie X o multime nevida.

Legea de compozitie interna " " asociaza oricarei perechi (x, y) X X un element z = x y X, numit compusul lui x cu y.

Exemple

° Pe multimea numerelor complexe C si pe orice submultime a sa se defineste legea de compozitie interna : C C C, numita suma a doua numere complexe.

° În clasa P(X) a partilor unei multimi X operatia de intersectie " " a doua multimi define# 131c21b 1;te pe P(X) o lege de compozitie interna.

Fie Y X o submultime nevida si " " o lege de compozitie interna pe X, atunci multimea Y se numeste parte stabila în raport cu operatia " " daca avem . Daca Y X este parte stabila în raport cu operatia " " definita pe X, atunci restrictia aplicatiei " " la multimea Y Y se numeste lege de compozitie indusa de " " pe Y.

În cele ce urmeaza vom prezenta câteva proprietati, notate cu "I", ale operatiilor algebrice cu ajutorul carora se definesc structurile algebrice fundamentale.

I_a) asociativitatea

I_b) elementul neutru

astfel încât

Daca legea de compozitie este de tip aditiv, elementul neutru e se numeste elementul nul si va fi notat cu 0 (zero), iar în cazul unei legi de tip multiplicativ e este numit element unitate si va fi notat cu 1 (unu).

I_c) elementul simetric

daca x X, astfel încât

Daca legea de compozitie este de tip aditiv elementul simetric x' va fi numit opusul lui x si va fi notat cu -x , iar daca legea de compozitie este de tip multiplicativ atunci x' va fi numit inversul lui x si va fi notat cu x^-1 .

Daca o lege de compozitie interna pe X este asociativa si admite element neutru, atunci orice element are cel mult un simetric. În adevar, daca x ar admite doua elemente simetrice x' si x'' atunci

I_d) comutativitatea

avem

Daca pe multimea X sunt definite doua legi de compozitie notate cu " " si respectiv "" proprietatea

(D)

va fi numita distributivitatea legii " " fata de legea "".

Daca în plus operatia algebrica " " are element neutru (este comutativa) se spune ca (X, ) este un monoid cu unitate sau unitar (monoid comutativ sau abelian).

În plus daca legea de compozitie interna este comutativa atunci (G, ) se numeste grup abelian.

Vom spune ca operatia " " definita pe multimea G cu proprietatile enuntate determina pe G o structura de grup, iar proprietatile I_a, I_b , I_c (I_c satisfacuta pentru " x X) vor fi numite axiomele structurii de grup. Daca operatia " " este adunarea (înmultirea) atunci grupul se numeste grup aditiv (multiplicativ).

Într-un grup (G, ) ecuatiile: si au solutii unice.

Exemple

Multimea numerelor întregi Z împreuna cu operatia de adunare este un grup abelian. În schimb multimea Z înzestrata cu operatia de înmultire nu este grup, singurele elemente inversabile sunt 1 si -1.

Într-un semigrup cu unitate, submultimea elementelor inversabile formeaza împreuna cu operatia indusa o structura de grup.

1) H este un subgrup al lui G

2) si

Relatia "~" este o relatie de echivalenta pe H. Multimea claselor de echivalenta la dreapta se numeste multimea factor si se noteaza cu G/H. Analog se pot defini si clasele de echivalenta la stânga. Daca G este un grup comutativ atunci o clasa de echivalenta la stânga este clasa de echivalenta la dreapta si reciproc.

Într-un grup abelian orice subgrup este un divizor normal.

Daca aplicatia f este bijectiva (injectiva, surjectiva) atunci morfismul f va fi numit izomorfism (monomorfism, epimorfism).

În cazul în care G = G', morfismul (izomorfismul) de grupuri este numit endomorfism (automorfism).

Daca (A, +, _°) este un inel pentru care înmultirea este comutativa atunci (A, +, _°) va fi numit inel comutativ.

Daca (A, +, _°) este un inel în care înmultirea admite element neutru, atunci (A, +, _°) se va numi inel cu unitate sau inel unitar.

Un corp în care înmultirea este comutativa va fi numit corp comutativ sau câmp.

Daca în plus, f este bijectiva atunci f se numeste izomorfism de corpuri (inele).

Exemple

Multimea (Z, +, _°) formeaza un inel cu unitate numit inelul întregilor.

° Multimea M_m(A) a matricelor patratice de ordinul m cu elemente din inelul A, împreuna cu operatiile de adunare si înmultire a doua matrice, formeaza o structura de inel unitar.

° Multimea numerelor reale R dotata cu operatiile de adunare si înmultire formeaza un corp comutativ.

Fie X si W doua multimi nevide oarecare

De exemplu daca A = (a_ij) M_{m n} (K)este o matrice de tip n m cu elemente din corpul K, iar ca multime de operatori scalari consideram multimea numerelor reale R, atunci produsul unei matrice cu un numar real, , defineste o lege de compozitie externa pe multimea M_{m n} (K).

Daca multimile X si A sunt înzestrate cu operatii algebrice interne atunci pe multimea X pot fi definite alte tipuri de structuri.

Observatii

° Notiunea de A modul la dreapta se defineste în mod similar, considerând aplicatia , .

° Daca inelul A este comutativ, atunci orice A - modul la stânga este un A - modul la dreapta, si reciproc.

° Daca A este un corp comutativ (câmp) atunci (X, +, j) se numeste spatiu vectorial. Aceasta structura va fi studiata în capitolul urmator.

Structurile algebrice definite anterior pot fi prezentate schematic în modelul urmator, unde " " (+ sau _°) desemneaza o lege de compozitie interna pe X ce satisface una sau mai multe proprietati din grupa I, iar j defineste o lege de compozitie externa ce satisface grupa a II - a de axiome.

Un model similar poate fi construit pentru substructuri.