Logaritmi

Logaritmi

Definitia X.1. Fie a R^*_+, a 1 si b R^*₊ douã numere reale. Se numeste logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a 19219n131t obtine numãrul b.

Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã log_ab

Evident . Pentru a = 10 obtinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obtinem logaritmi naturali.

Proprietãti:

log_ab = log_ac b = c, (b,c > 0);

log_aa = 1;

log_a1 = 0

log_aa^c = c; log_a=- log_ab; log_ax²ⁿ = 2n log_a x , x 0

;

log_ab log_ba = 1;

Formula de schimbare a bazei logaritmului:

x>0 si y>0 log_axy = log_ax + log_ay;

x>0 si y>0 log_a = log_ax - log_ay; colog_ax = - log_ay

a>1 si x (0,1) log_ax < 0; a>1 si x>1 log_ax > 0;

0<a<1 si x (0,1) log_ax > 0; 0<a<1 si x>1 log_ax < 0;

a>1 si 0<x<y log_ax < log_ay;

x>0, y>0, a>0, b>0, a 1, b 1 ;

x>0, a>0, a 1, n N log_ax = log_ax^n;

x R, a>0, a 1 a^x = e^xlna.

Operatii cu logaritmi zecimali

1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive si caracteristici negative) si separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric.

2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului.

3. Înmultirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmultirea se face în mod obisnuit; când caracteristica este negativã se înmulteste separat mantisa si separat caracteristica si se adunã algebric rezultatele.

4. Împãrtirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrtirea se face obisnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa si separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãti negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrtitorul respectiv si, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã si mantisei tot atâtea unitãti, dar pozitive.

X.1. Ecuatii si inecuatii logaritmice fundamentale

log_ax = b, a>0, a 1, b R. Solutia: x = a^b.

log_ax > b, b R. Fie S multimea solutiilor. Avem:

3. log_ax < b, b R. Fie S multimea solutiilor. Avem:

X.2. Ecuatii si inecuatii exponentiale fundamentale

a^x = b, a>0, a 1, b>0. Solutia x = log_ab, b R

a^x = b, a>0, a 1, b 0, nu are nici o solutie realã

a^x > b. Fie S multimea solutiilor. Avem:

a^x < b. Fie S multimea solutiilor. Avem: