CAPITOLUL 13

MATEMATICI FINANCIARE

O suma de bani de care dispune partenerul este plasata partenerului pentru o perioada de timp t , în anumite conditii. La sfârsitul perioadei, obtine o suma .

DEFINIŢIE : Se numeste dobânda corespunzatoare plasarii sumei pe durata t , o functie , , care îndeplineste conditiile:

D este strict crescatoare în raport cu fiecare din variabilele si t .

; .

OBSERVAŢIE: Conditia 1 este echivalenta cu si .

DEFINIŢIE: Se numeste valoare finala (sau valoare revenita) a partenerului ce a plasat suma pe durata de timp t, valoarea functiei .

DEFINIŢIE:

• Daca u.m. si an, atunci dobânda corespunzatoare se n 20420n1323u umeste procent (notat " p ").
• Daca u.m. si an, dobânda corespunzatoare se n 20420n1323u umeste dobânda unitara anuala (se noteaza cu " i ").

;

Dobânda simpla

DEFINIŢIE: Dobânda calculata asupra aceleiasi sume pe toata durata împrumutului se numeste dobânda simpla (notata D).

Prin urmare, pe întreaga durata de plasare " t ", valoarea sumei nu se modifica.

Notam:

• = suma depusa (împrumutata);
• t = timpul în ani;
• p = procentul;
• = dobânda unitara;
• D = dobânda simpla.

(1)

Prin urmare, dobânda simpla este direct proportionala cu suma împrumutata, cu timpul si cu dobânda unitara (sau procentul).

Sa consideram timpul împartit în k parti egale:

- semestre

- trimestre

- luni

- zile

În general, reprezinta un numar oarecare de asemenea parti (exemplu: luni). Atunci timpul (în exemplul dat ).

(2)

Daca , deci t se exprima în zile, obtinem:

(2

n calculele financiare :

- se numeste "numar" , iar

- se numeste "divizor fix" relativ la dobânda pentru i dat ( - dobânda unitara anuala

Astfel, din (2) obtinem :

- dobânda pentru semestru ;

- dobânda pentru trimestru.

Sa presupunem acum ca plasamentul nu are loc cu acelasi procent "p" pe toata durata de plasare "t".

t

| | | | | |

dobânda pentru aceasta perioada

este

deci:  , iar

= procentul de plasare pe durata () .

Atunci: (3)

Cu aceasta formula se determina dobânda la suma pentru perioada t , în regim de dobânda simpla, daca , astfel încât pe fiecare perioada , plasarea se face cu procentul anual .

OBSERVAŢIE: Formula (3) constituie rezultatul aplicarii succesive a dobânzii simple pe intervalele ce constituie durata de plasare.

Dam o alta expresie pentru formula (2).

Deoarece , înlocuind în (2) , vom obtine:

(4)

unde reprezinta durata în zile a operatiunii.

Notam:

• - numarul operatiunii
• - divizorul fix al operatiunii

Cu aceste notatii, (4) devine:

(5)

OBSERVAŢIE: Formula (5) este utila în cazul în care se calculeaza dobânda aferenta mai multor operatiuni, cu acelasi procent p.

Deci: daca se efectueaza operatiunile , cu acelasi procent p si daca însumarea dobânzilor are sene, atunci dobânda totala este:

(6)

În acest caz, este deci necesara calcularea doar a numerelor si a sumei acestora, suma care poate fi considerata ca "numar" al tuturor operatiunilor.

13.1.1. Elementele dobânzii simple:

1. Suma revenita (sau valoarea finala)

Deci formula , reprezinta suma revenita si se aplica atunci când procentul p este constant pe întreaga perioada.

În cazul în care în timpul t procentul variaza în diferite fractiuni ale lui t :

, , = dobânda unitara

Atunci: (8)

2. Suma initiala este data, în cele doua situatii de relatia (9) , respectiv (9 .

= factor de fructificare

= factor de actualizare

13.1.2. Operatiuni echivalente în regim de dobânda simpla

Fie mai multe sume plasate pe duratele , cu acelasi procent p.

Ne propunem sa înlocuim sumele si duratele () printr-o suma unica S si o perioada unica t astfel încât dobânda totala adusa de sumele în perioadele sa fie egala cu dobânda adusa de suma S în perioada t .

Vom spune ca cele doua operatiuni financiare sunt echivalente în regim de dobânda simpla.

Vom folosi notatia: .

Cele doua operatiuni se numesc substituibile.

Deci

(10) - ecuatie cu doua necunoscute, S si t.

Cunoscând-o pe una, o determinam pe cealalta.

(11) - durata de timp data de timp numita scadenta comuna.

Daca (12) - numita scadenta medie.

13.1.3. Procent mediu de dispunere

Sa presupunem ca sumele sunt plasate pe duratele de timp cu procentele .

Ne propunem sa determinam un procent mediu p pentru care, sumele plasate pe aceleasi durate , sa dea aceeasi dobânda totala.

.

Deci: - procentul mediu de depunere.

Dobânda compusa

DEFINIŢIA 1 : Daca valoarea luata în calcul a sumei plasate , se modifica periodic pe durata de timp t, dupa o anumita regula, vom spune ca avem un proces de dobânda compusa (sau ca plasarea sumei s-a efectuat în regim de dobânda compusa)

DEFINIŢIE : Unitatea de timp la care dobânda se modifica se numeste unitate etalon (perioada).

DEFINIŢIA 2 (echivalenta cu definitia 1): Suma este plasata cu dobânda compusa când la sfârsitul primei perioade (a primei unitati etalon) dobânda simpla a acestei perioade este adaugata la suma initiala a perioadei, pentru a produce la rândul ei dobânda în perioada urmatoare, s.a.m.d.

În operatiile financiare pe termen lung, unitatea etalon (perioada) de timp folosita este anul, uneori semestrul sau trimestrul.

Stabilirea formulei dobânzii compuse

Fie:

• t = timpul de plasament, exprimat într-un numar întreg de perioade;
• = suma initiala;
• p = procentul;
• = dobânda unitara;
• = suma finala dupa un numar întreg de perioade.

Deci: (1)

Notam : si obtinem (2)

u se numeste factorul de fructificare. El se gaseste calculat în tabele pentru anumite procente si pentru perioada de timp de 1 an.

OBSERVAŢIE : Formula (1) este valabila si în cazul când perioada de timp t nu este egala cu un an, cu conditia ca procentul folosit sa corespunda perioadei respective.

Cazul când timpul nu este un numar întreg de perioade

I. Solutia rationala

Se foloseste formula pentru partea întreaga a timpului si dobânda simpla pentru partea fractionara ramasa.

1 n

| | | | |

t

Dupa n ani, suma finala este . Calculam dobânda simpla produsa pe seama în timpul fractiunii a anului, cu dobânda unitara i . Obtinem:

Deci : (3)

II. Solutia comerciala

DEFINIŢIE : Doua procente corespunzatoare la perioade de fructificare diferite sunt echivalente când pentru aceeasi durata de plasament ele conduc la aceeasi valoare finala.

1 leu plasat cu dobânda unitara anuala "i" devine la sfârsitul primului an , 1+ i.

1 leu plasat cu dobânda unitara semestriala , devine la sfârsitul anului .

1 leu plasat cu dobânda unitara trimestriala , echivalenta cu dobânda unitara anuala i , devine la sfârsitul anului .

În general :

1 leu plasat cu dobânda unitara , corespunzatoare fractiunii a anului, este: (4)

Prin urmare, în cazul când t nu este un numar întreg de perioade , suma devine: pentru cele n perioade întregi.

Pentru o fractiune k a anului, 1 leu devine , iar pentru h fractiuni de acelasi fel, devine . Suma în perioada devine: .

Dar .

Deci: .

Astfel, formula anterioara (1) este adevarata si pentru t fractionar.

Procent normal si procent real (efectiv)

EXEMPLU : Se depune suma de 100 lei cu 20% si calculul dobânzii se face de doua ori pe an.

În primele 6 luni (primul semestru) suma de 100 lei aduce o dobânda de 10 lei, deci ea devine 110 lei la sfârsitul primului semestru.

În urmatorul semestru dobânda va fi de 10 lei pentru 100 lei si leu pentru cei 10 lei. Deci, în total, pe an, dobânda va fi 21 lei.

20% se numeste procentul nominal.

21% se numeste procentul real (efectiv).

Deci, daca facem calculul dobânzii pe fractiuni de an, dobânda adusa la sfârsitul anului difera de cea calculata cu procentul anual stabilit.

Daca anul a fost împartit în k parti egale si reprezinta dobânda unitara efectiva corespunzatoare perioadei , iar este dobânda unitara nominala corespunzatoare perioadei , vom obtine: (5)

Înlocuind în (4), vom avea:

(6)

Sau din relatia (5): (7)

Relatia (6) reprezinta legatura între dobânda nominala si cea efectiva , oricare ar fi .

Dobânda unitara instantanee

Fie i = dobânda unitara anuala efectiva.

k = numarul de parti în care a fost împartit anul

OBSERVAŢIE: Pentru vom stabili o limita pentru dobânda unitara nominala, limita numita dobânda unitara instantanee (dobânda se calculeaza astfel în mod continuu).

Din relatia (6) obtinem:

.

Deci (8) este dobânda unitara instantanee.

, adica dobânda unitara efectiva este mai mare decât dobânda instantanee.

OBSERVAŢIE: Pentru determinarea dobânzii unitare anuale nominale atunci când se cunoaste dobânda unitara efectiva i , s-au întocmit tabele.

Echivalenta în regim de dobânda compusa

DEFINIŢIE: Doua sume sunt echivalente în regim de dobânda compusa, la un moment dat, daca ele au aceeasi valoare actuala, actualizarile facându-se cu acelasi procent.

Fie doua sume de valori finale si . Fie i = dobânda unitara. Atunci valorile la momentul initial sunt:

si .

Echivalenta la momentul initial este data de relatia:

.

În general:

Fie un grup de n valori finale : platibile în perioade.

Fie un al doilea grup de m sume de valori finale: , platibile în .

DEFINIŢIE: Doua grupe de sume sunt echivalente în regim de dobânda compusa, la un moment dat, daca suma valorilor actuale ale primului grup de sume este egala cu suma valorilor actuale ale celui de-al doilea grup de sume.

Prin urmare, echivalenta corespunzatoare unui aceluiasi procent p , la momentul initial, este data de relatia:

.

Vom putea da urmatoarea definitie echivalenta:

DEFINIŢIE: Doua operatii financiare A si B sunt echivalente în regim de dobânda compusa daca ele au aceleasi valori actuale.

(1)

În cazul mai general când procentul p (deci dobânda unitara) difera de la o suma la alta, atunci:

(2)

Se cere:

a) Înlocuirea sumelor printr-o suma unica S (înlocuirea facându-se prin echivalenta) :

(3)

b) Înlocuirea numai a scadentelor printr-o scadenta comuna "t":

c) Înlocuirea numai a dobânzilor unitare (deci a procentelor ) printr-o dobânda unitara unica i (deci printr-un procent unic p)

d) Sumele platibile în perioadele le înlocuim printr-o suma unica S , platibila la scadenta t, cu procentul p (sau dobânda unitara i ).

sau

, când cunoastem i si t .

Când cunoastem S si i , daca logaritmam în relatia (6), obtinem:

Plasament cu dobânda simpla sau compusa

Suma , plasata pe durata t , cu dobânda unitara i, va aduce dobânda:

în regim de dobânda simpla.

în regim de dobânda compusa.

PROPOZIŢIE:

, pentru an

, pentru an

3) , pentru an

DEMONSTRAŢIE:

Introducem functia: , .

1

1 t

DEFINIŢIE: Operatiile de plasare a sumei pe durata t în regim de dobânda simpla cu dobânda unitara i sau în regim de dobânda compusa cu dobânda unitara j, sunt echivalente, când determina aceeasi dobânda.

Deci:

si sau

Prin urmare, pentru a realiza aceeasi valoare finala (sau aceeasi dobânda) prin plasarea sumei pe durata , procentul anual în regim de dobânda simpla este mai mare decât procentul anual în regim de dobânda compusa.