MATEMATICI FINANCIARE

MATEMATICI FINANCIARE

Bibliografie:

Purcaru I., Berbec F., Sorin D.- Matematici financiare si decizii în afaceri, Ed. Ec., 1996.

Burlacu V., Cenusa Gh. - Bazele matematice ale asigurarilor, Ed. Teora, 2002.

Boissonnade M., Mathématiques financičres, Ed. Armand Colin, 1993.

Poncet P., Portait R., Hayat S., Mathématiques financičres: évalution des actifs et des risques, Dalloz, 1993.

§. 1. Notiuni introductive.

Fie R multimea numerelor reale (considerata ca axa a timpului); orice t R va fi numit moment (de timp). Daca s, t R cu s t vom spune ca momentul s este moment anterior lui t sau ca t este moment ulterior lui s.

Notam D

Daca (s,t) D vom spune ca (s,t) este un interval sau perioada (de timp) cu momentul initial s si momentul final t; daca (s,t) D si θ R, astfel încât, s t (s < θ < t) vom spune ca θ este moment intermediar (respectiv, strict intermediar) al intervalului (s,t).

Diferenta t - s va fi numita durata sau lungimea intervalului (s,t). Unitatea de masura pentru durata unui interval va fi anul cu diviziunile sale: semestrul, trimestrul, luna, ziua. De regula, vom considera anul bancar (procedura germana):

1 an (bancar) = 2 semestre = 4 trimestre = 12 luni = 360 zile.

În anumite situatii, cu precizari în acest sens, se va folosi anul calendaristic de 365 de zile (respectiv, 366 în anii bisecti), cu luni de 28, 29, 30, respectiv 31 de zile (procedura engleza).

§.2. Dobânda

Pe piata financiara, din confruntarea între cerere si oferta, apare conceptul de pret al banilor, a carui semnificatie o da suficient de clar notiunea de dobânda.

Def.1. Vom numi functie dobânda unitara orice functie d: D→ R cu proprietatile:

d(s,s) = 0, " s R

d(s,θ) d(s,t) si d(θ,t) d(s,t), "(s, t) D R, s t.

Daca intervalul (s,t) D este fixat, numarul real d(s,t) reprezinta dobânda pentru o unitate monetara plasata pe interv 424e422e alul (s,t), calculata cu functia d si va fi numita dobânda unitara corespunzatoare functiei d si perioadei (s,t). Daca t - s = 1 an, atunci d(s,s+1) este numita dobânda unitara anuala la momentul initial s.

Obs.: Din Def. 1, luând θ = s, obtinem 0 = d(s, s) d(s, t), adica functia dobânda unitara ia numai valori pozitive.

Exemplul 1: Functia d: D→ R₊ data prin d(s,t) = (s - t)(2 - s² - st - t²) este o functie dobânda unitara. Într - adevar,

. d(s,s) = 0, " s R;

. d(s,q) = (s - q)(2 - s² - sq - t²) = 2(q - s) + (q - s)³ 2(t - s) + (t - s)³ = d(s,t), 

d(q,t) = 2(t - q) + (t - q 2(t - s) + (t - s)³ = d(s,t),

deci d este o functie dobânda unitara

Fie d: D→ R₊ o functie dobânda unitara.

Def. 2. Functiile s a D→ R₊ date prin

s(s,t) = 1+d(s,t) ,  a(s,t) = , "(s,t) D

vor fi numite functie factor de fructificare, respectiv, functie factor de actualizare asociate functiei d.

Daca intervalul (s,t) D este fixat, numerele reale s(s,t), respectiv a(s,t) vor fi numite factor de fructificare, respectiv factor de actualizare pe perioada (s,t), corespunzatoare functiei d.

Def. 3. Vom numi operatiune financiara (sau tranzactie financiara) tripletul definit prin fixarea a trei elemente:

un capital initial (suma initiala) S R₊ ;

o perioada (s,t) D

o functie dobânda unitara d.

În continuare, vom nota (S₀, (s,t), d ) o operatiune financiara de capital initial S₀, pe perioada (s,t), cu calculul dobânzii dat de functia d.

Practic, printr-o operatiune financiara suma S₀ este plasata de catre un partener P₁(creditor) catre un partener P₂(debitor)_, în anumite conditii si într-un anumit scop. În general, conditiile sunt rezultatul unor negocieri între cei doi parteneri(care pot fi persoane, grupuri de persoane, institutii, etc.), chiar daca, potrivit unei legi nescrise, ,,cine detine aurul stabileste regulile''. Scopul plasamentului poate fi pentru economisire, pentru împrumut, pentru rambursare a unui împrumut, etc..

Def. 4. Numim suma finala corespunzatoare operatiunii financiare (S₀, (s,t), d) valoarea

S_t = S₀ s(s,t) = S₀ [1+d(s,t)]

Diferenta D_t = S_t - S₀ = S₀d(s,t) se numeste dobânda (totala) rezultata din operatiunea financiara precizata.

Având în vedere semnificatia economica a dobânzii, din punctul de vedere al creditorului, aceasta trebuie sa aiba în componenta sa:

cheltuieli efectuate de creditor pentru acordarea împrumutului;

profitul creditorului;

- suma care sa acopere eventualele pierderi prevazute sau nu (eroziunea monetara, insolvabilitatea debitorului, etc.), pe perioada rambursarii împrumutului.

Costul unei operatiuni financiare reprezinta efortul pe care un partener îl suporta pentru a putea beneficia de o suma de bani din partea unui partener care dispune de aceasta suma. Cel mai adesea acest cost este asimilat cu dobânda aferenta operatiunii financiare. În realitate, dobânda reprezinta doar o componenta cuantificabila a acestui cost. O analiza financiara riguroasa trebuie sa aiba în vedere si alte componente cuantificabile sau nu, direct sau indirect, pentru a preciza la un moment dat sau în timp, ce înseamna si care este costul real al operatiunii financiare.

Unitatea de masura pentru suma initila, suma finala si dobânda este unitatea monetara (leu, $, euro, etc).

§.3. Tipuri de dobânzi.

Fie d: D→ R₊ o functie dobânda unitara.

Def.5. Spunem ca functia dobânda unitara d este simpla daca satisface relatia

d(s,t) =d(s,θ) + d(θ,t), " s t

Obs: Dobânda simpla se utilizeaza, de obicei, în operatiunile financiare a caror durata este inferioara unui an (titluri de creante negociabile, scontul efectelor comerciale, gestionarea conturilor curente, etc.).

Exemplul 2: Functia d: D → R₊ data prin d(s,t) = φ(t) - φ(s) = a(t - s), a R_+, este o functie dobânda unitara simpla. Într-adevar,

d(s,s) = a(s - s) = 0, d(s,q) = a(q - s) a(t -s) = d(s,t), d(q,t) = a(t - q a(t - s) = d(s,t)

d(s,t) = a(t - s) = a(t - q q -s) = a(t - q) + a(q - s) = d(q,t) + d(s,q " s t.

Def. 6. Spunem ca functia dobânda unitara d este compusa cu capitalizare continua, pe scurt dobânda continua, daca satisface relatia:

d(s,t) = d(s,θ) + d(θ,t) + d(s,θ) d(θ,t), " s t

Obs: 1° Relatia de mai sus este echivalenta cu oricare din urmatoarele:

a)      d(s,t) = d(s,θ) + s(s,θ) d(θ,t)," s t;

b)      s(s,t) = s(s,θ) s(θ,t), " s t.

2^o Din relatiile de mai sus observam ca în plasamentele cu dobânda continua, pentru orice moment q, dobânda acumulata pe intervalul (s,q) se adauga la capital, aducând dobânda pe intervalul ramas.

3° Dobânda continua se utilizeaza, de obicei, în operatiuni financiare a caror durata este mai mare de1an (plasamente pe piata bursiera, analiza unor proiecte de investitii, etc.).

Exemplul 3: Functia d: D → R₊ data prin d(s,t) = e^{φ(t) - φ(s)} -1 = e^{a(t - s)} - 1, a R_+, defineste o functie dobânda continua. Se observa usor ca

. d(s,s) = e^a(s-s)- 1 = 0, d(s,q) = e^a(t-q e^a(t-s)- 1 = d(s,t), d(q,t) = e^a(t-q e^a(t-s) - 1 = d(s,t)

s(s,t) = e^{a(t - s)} = e^{a(t - q q - s)} = e^{a(t - q} e^{a(q - s)} s q,t)s(s,q " s t,

deci d este o functie dobânda continua.

Fie (s,t) D si s = t₀ < t₁ < t₂ < ... <t_n-1 < t_n = t o diviziune a acestui interval.

Def.7. Spunem ca functia dobânda unitara d este compusa cu capitalizare discreta pe intervalul (s,t), la momentele t₁, t₂,., t_n-1, pe scurt, dobânda discreta, daca satisface relatia

s(s,θ) = s(s,t_i-1) s(t_i-1,θ), " t_i-1 < θ t_{i ,} i = 1,n

Obs.: 1° Daca d este o dobânda discreta

s(s,t) = s(t_{0 ,}t₁) s(t₁,t₂) ... s(t_n-1,t_n) = s(t_i-1,t_i), iar d(s,t) = s(t_i-1, t_i) - 1

2^o Din relatiile de mai sus deducem ca în plasamentele cu dobânda discreta, la sfârsitul fiecarui interval (t_i-1,t_i), dobânda corespunzatoare intervalului se adauga la capital, producând la rândul ei dobânda pe perioada ramasa;

3^o Dobânda discreta se utilizeaza tot în plasamente pe termen lung, atunci când plata dobânzii se face periodic;

3° Daca d este o dobânda continua, atunci "(s,t) D si s = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n-1 < t_n = t ,

d este cu capitalizare discreta la momentele t₁, t₂, ..., t_n-1.

Exemplul 4: Pentru (s,t) D s = t₀ < t₁ < t₂ < ... <t_n-1 < t_n = t si a R_+, definim  d(s,q 1 + a(t₁ - t₀) 1 + a(t₂ - t₁) 1 + a(t_i-1 - t_i-2) 1 + a(q - t_i-1) " t_i-1 < θ t_{i ,} i = 1,n. Deducem d(s,t) = 1 + a(t_i - t_i-1) - 1, care este o dobânda discreta.

Def. 8. Spunem ca functia dobânda unitara d este stationara daca "(s,t) D are loc relatia d(s,t) = d(0,t - s), adica d(s,t) depinde doar de lungimea t - s a intervalului (s,t). Din acest motiv, când lucram cu o dobânda stationara putem fixa s = 0, iar t va reprezenta lungimea intervalului.

Daca d este o functie dobânda unitara stationara vom nota cu r dobânda unitara anuala, adica r = d(s,s+1) = d(0,1) si o vom numi rata anuala a dobânzii. Sa observam ca r nu mai depinde de momentul initial. Numarul p = 100r se numeste procent anual si reprezinta dobânda obtinuta prin plasarea a 100 u.m. pe durata unui an.

Urmatoarele proprietati vor stabili legaturi între diferitele tipuri de dobânzi, precum si modalitati de a le obtine.

P₁ Daca d este o functie dobânda unitara simpla, atunci functia d D → R₊ data prin d'(s,t) = e^d(s,t) -1, " (s,t) D este functie dobânda unitara compusa.

Dem.: d'(s,t) = e^d(s,t) -1 s'(s,t) = e^d(s,t) = e^{d(s,θ) + d(θ,t)} = e^d(s,θ) e^d(θ,t) = s'(s,θ) s'(θ,t),

" (s, t) D si s t, deci d' este o functie dobânda unitara compusa.

P₂. Daca d' este o functie dobânda unitara compusa, atunci functia d: D → R₊, data prin d(s,t) = ln [1 + d'(s,t)], " (s,t) D, este o functie dobânda unitara simpla .

Dem.: Într - adevar, " (s,t) D si s t,

d(s,t) = ln [1 + d'(s,t)] = ln [s (s,t)] = ln [s (s, s ,t)] = ln s (s, ) + ln s ,t) = d(s, ) + d( ,t), deci d este o functie dobânda unitara simpla.

Obs.: Din P₁ si P₂ deducem ca la orice functie dobânda unitara simpla i se poate asocia o functie dobânda unitara compusa si reciproc.

P₃. Functia d este o functie dobânda unitara simpla daca, si numai daca, exista o functie crescatoare φ: R→ R astfel ca d(s,t) = φ(t) - φ(s), " (s, t) D

Dem : Necesitatea: Presupunem ca d este o functie dobânda unitara simpla. Definim functia φ: R→R astfel: φ(t) =

Ramâne sa demonstram ca φ este crescatoare si d(s,t) = φ(t) - φ(s), " (s,t) D

Fie (s,t) D. Sunt posibile urmatoarele cazuri:

a) s t < 0 pentru care d(s,0) = d(s,t) + d(t,0) 0 d(s,t) = d(s,0) - d(t,0) = φ(t) - φ(s);

b) s < 0 t când obtinem 0 d(s,t) = d(s,0) + d(0,t) = φ(t) - φ(s)

c) 0 s t de unde d(0,t) = d(0,s) + d(s,t) 0 d(s,t) = d(0,t) - d(0,s) = φ(t) - φ(s). Din a), b) si c) rezulta ca functia φ este crescatoare pe R si " (s,t) D, d(s,t) = φ(t) - φ(s).

Suficienta: Fie φ R → R crescatoare. Definim d: D→R prin d(s,t) = φ(t) - φ(s)," (s,t) D. Obtinem:

. d(s,s) = φ(s) - φ(s) = 0, d(s,θ) = φ(θ) - φ(s) ≤ φ(t) - φ(s) = d(s,t), d(θ,t) = φ(t) - φ(θ) ≤ φ(t) - φ(s) =d(s,t)

. d(s,t) = φ(t) - φ(s) = φ(t) - φ(θ) + φ(θ) - φ(s) = d(s,θ) + d(θ,s), " s t,

deci d este o functie dobânda unitara simpla.

Consecinta: Functia d': D → R este o functie dobânda unitara compusa daca, si numai daca, exista o functie crescatoare φ: R → R, astfel încât, d (s,t) = e^{φ(t) - φ(s)} - 1 sau, echivalent,

s'(s,t) = e^{φ(t) - φ(s)} ," (s,t) D

§.3. Dobânzi uzuale

Def. 9. Functia d: D → R data de d(s,t) = a(t - s) va fi numita functie dobânda unitara simpla uzuala, pe scurt dobânda simpla uzuala, iar functia d': D → R, data prin d'(s,t) = e^{a(t - s)} - 1, functie dobânda unitara compusa cu capitalizare continua uzuala, pe scurt dobânda continua uzuala.

În continuare vom utiliza numai dobânzi uzuale pe care le vom nota d_s(dobânda simpla uzuala)_, respectiv d_c(dobânda continua uzuala).

Sa observam ca ambele functii depind doar de lungimea intervalului (s,t), deci sunt stationare. Vom fixa s = 0 si vom nota cu r rata anuala a dobânzii. Înlocuind în expresiile dobânzilor uzuale d(0,1) = r, obtinem, a = r pentru dobânda simpla uzuala, deci d_s(0, t) = rt, respectiv a = ln(1+r) pentru dobânda continua uzuala, adica d_c(0, t) = (1+r)^t - 1, unde t reprezinta lungimea intervalului, masurata în ani.

Fie o operatiune financiara. Obtinem , respectiv dupa cum d este functia dobânda simpla, respectiv continua uzuala, unde r reprezinta rata anuala a dobânzii, iar t lungimea intervalului, masurata în ani.

Consideram un interval (s,t) D si s = t₀ < t₁ < t₂ < ... <t_n-1 < t _n = t o diviziune a sa. Se verifica usor ca functia d: D → R data prin

d(s,θ) = [1+r(t₁ - t₀)].[1+r(t_i -₁ - t_i -₂)] [1+r(t_i-1 - θ)] -1, " t_i-1 < θ t_{i ,} i = 1,n

este o dobânda unitara compusa pe intervalul (s,t), cu capitalizare la momentele t₁,t₂,., t_n-1.

Def. 10. Numim functie dobânda unitara discreta uzuala pe (s,t), cu capitalizare la momentele t₁,t₂,., t_n-1 , s = t₀ < t₁ < t₂ < ... <t_n-1 < t _n = t, pe scurt dobânda discreta uzuala cu capitalizare la momentele t₁,t₂,., t_n-1, functia d_d: D → R data de d_d(s,t) = 1 + r(t_i - t_i-1)

Daca (S₀, (0,t), d ) este o operatiune financiara, iar d este dobânda discreta uzuala se obtine S_t = S₀ 1 + r(t_i - t_i-1)

Mai general, daca pe intervalul (t_i-₁,t_i) se considera rata anuala a dobânzii r_i, i = 1,n, obtinem S_t = S₀1 + _i (t_i - t_i-1) daca d este dobânda simpla uzuala, S_t = S₀ (1 + r_i)^t_i ^{- t}_i-1 daca d este dobânda continua uzuala, respectiv S_t = S₀ 1 + r_i(t_i - t_i-1) daca d este dobânda discreta uzuala.

Daca an, i = , se obtine S_t = S₀(1+_i) daca se utilizeaza dobânda simpla uzuala si S_t = S₀ (1 + r_i) daca plasamentul se face cu dobânda continua sau discreta uzuala_. Daca în plus r_i = r, i = , relatiile de mai sus devin S_t= S₀(1+ nr), respectiv S_t= S₀(1+ r)ⁿ.

Sa observam ca indiferent de modul de plasare, suma finala este functie crescatoare în raport cu oricare dintre elementele S_0, r si t. Pentru S₀ si t date, factorul care conduce la o suma finala mai mica sau mai mare este rata anuala a dobânzii r.

Exemplul 5. a) Aveti posibilitatea sa plasati suma S₀ = 6∙10³ u.m. pe o durata de trei ani în una din variantele:

V₁- în regim de dobânda simpla cu rata anuala a dobânzii egala cu r₁ = r₂ = 0,1 în primii doi ani si r₃ = 0,08 în al treilea;

V₂- în regim de dobânda compusa cu rata anuala r = 0,0857;

V₃- în regim de dobânda compusa cu capitalizare semestriala cu rata anuala r₁ = 0,08 în primul an, r₂ = 0,1 în al doilea an si r₃ = 0,072

Care varianta ati alege-o?

b) Dupa cîti ani capitalul S₀ plasat cu rata anuala r = 0,1 se dubleaza, daca plasamentul se face în regim de dobânda simpla, respectiv compusa?

c) Care ar trebui sa fie rata anuala a dobânzii pentru ca suma S₀ sa se dubleze în 5 ani?

d) Care din urmatoarele oferte o considerati mai avantajoasa pentru plasarea capitalului S₀: 7500 u.m. peste trei ani sau 8300 u.m. peste patru ani?

Rezolvare: a) Suma finala în fiecare din cele trei variante este data de:

S₃ = 6∙10³(1 + 2∙0,1 + 0,08) = 7680 u.m. în varianta V_1,

S₃ = 6∙10³(1 + 0,086)³ = 7678,58 u.m. în varianta V₂, respectiv

S₃ = 6∙10³(1 + 0,04)²(1 + 0,05)²(1 + 0,036)² = 7679,2 u.m. în varianta V_3. Deducem ca V₁ este varianta cea mai buna.

b) Relatiile S_t =2S₀, S_t = S₀(1 + 0,1∙t), respectiv S_t = S₀(1 + 0,1)^t, permit determinarile t = (2S₀ - S₀)/0,1∙S₀ = 10 ani în cazul dobânzii simple, respectiv t = ln 2/ln 1,1 = 7 ani si 99 zile în cazul dobânzii compuse.

c) Din relatiile S_t =2S₀, S_t = S₀(1 + r∙5), respectiv S_t = S₀(1 +r)⁵ deducem r = (2S₀ - S₀)/5∙S₀ = 0,2 în cazul dobânzii simple, respectiv r = 2^1/5 - 1 = 0,1487 în cazul dobânzii compuse.

d) Vom compara ratele anuale ale dobânzii în cele doua oferte. S₀ = 6∙10³ reprezinta valoarea actuala în ambele plasamente. Relatia S₀ = S_t(1 + r)^-t devine 6∙10³ = 7500(1 + r)^-3, de unde r = (5/4)^1/3 - 1 = 0,0772 pentru prima oferta, respectiv 6∙10³ = 8300(1 + r)^-4 cu r = (83/60)^1/4 - 1 = 0,0845 pentru a doua care este mai buna.

§.4. Procente proportionale, procente echivalente.

Ratele (procentele) dobânzii sunt, de obicei, exprimate pe an. Daca se considera o perioada sub 1 an (semestru, trimestru, luna, zi, etc.), rata dobânzii corespunzatoare acestor perioade se poate calcula în mai multe moduri. Se disting rata proportionala si rata echivalenta.

Fie r rata anuala a dobânzii si o diviziune a anului în k parti egale.

Def.12. Se numeste rata proportionala a dobânzii, corespunzatoare unei subperioade, numarul r_p definit prin r_p = r k.

Sa observam ca plasând suma S₀ în regim de dobânda simpla pe durata unei subperioade, cu rata anuala a dobânzii r, se obtine aceeasi suma finala cu cea obtinuta prin plasarea aceleasi sume pe o durata de 1 an cu rata anuala a dobânzii egala cu r_p , adica S₀[1 + r·(1/k)] = S₀(1 + r_p). De asemenea, din plasarea sumei S₀ în regim de dobânda simpla, pe durata a k subperioade (=1 an), cu rata dobânzii r_p pe fiecare subperioada, se obtine aceeasi suma finala cu cea obtinuta prin plasarea aceleasi sume pe o durata de 1 an, cu rata anuala a dobânzii egala cu r , adica S₀(1 + kr_p) = S₀(1 + r). Nu la fel se întâmpla daca plasamentul se face în regim de dobânda compusa cu capitalizare la sfârsitul fiecarui subinterval. Într-adevar,

S₀(1 + r_p)^k = S₀(1 + k r_p + ˝ k(k - 1)r_p² + ...+ r_p^k) = S₀[1 + r + ...+ (r/k)^k] ≥ S₀(1 + r),

adica dobânda unitara anuala obtinuta este r' = (1 + r k)^k - 1 ≥ 1 + r

Def. 11. Se numeste rata echivalenta corespunzatoare unei subperioade numarul r_e definit prin r_e = (1 + r)^1/k - 1.

Sa observam ca prin plasarea sumei S₀ pe durata a k subperioade, în regim de dobânda compusa cu capitalizare la sfârsitul fiecarei subperioade, cu rata dobânzii r_e pe fiecare subperioada, se obtine aceeasi suma finala cu cea obtinuta prin plasarea aceleasi sume pe o durata de 1 an, cu rata anuala a dobânzii egala cu r, adica S₀(1 + r_e)^k = S₀(1 + r). De aici, 1 + r = (1 + r_e)^k ≥ 1 + kr_e, deci r ≥ kr_e, de unde r_p = r/k ≥ r_e.

Exemplul 6. a) Determinati rata lunara proportionala si echivalenta cu rata anuala r = 0,1.

b) O banca anunta o rata anuala r = 0,09 pentru credite imobiliare. Rambursarea se face lunar cu rata proportionala. Care este rata anuala echivalenta?

c) Un capital S₀ = 5∙10⁵ u.m. este plasat cu o rata anuala r = 0,08. Care este dobânda trimestriala obtinuta utilizând rata echivalenta; dar folosind rata proportionala?

d) Capitalul S₀ = 5∙10⁵ u.m. aduce o dobânda de 2∙10⁴ u.m. pe semestru. Care este rata anuala echivalenta a acestui plasament?

Rezolvare: a) Rata lunara proportionala este r_p = 0,1 12 = 0,0083, iar rata lunara echivalenta r_e = (1 + 0,1)^1/12 - 1 = 0,00797

b) Rata lunara proportionala r_p = 0,09 12 = 0,0075, iar rata anuala echivalenta r = (1 + 0,0075)¹² -1 = 0,0938.

c) Rata trimestriala echivalenta r_e = (1 + 0,08)^1/4 - 1 =0,01942, de unde D_1/2 = 5∙10⁵∙0,01942 = 9713 u.m.; rata trimestriala proportionala r_p = 0,08 4 =0,02, iar D_1/2 = 10000u.m.

d) Rata semestriala a plasamentului este 2∙10⁴/5∙10⁵ =0,04. Rata anuala echivalenta este r = (1 + 0,04)² - 1 =0,0816.

§.5. Dobânda postcalculata. Dobânda precalculata.

Dobânda corespunzatoare unei operatiuni financiare poate fi platita la sfârsitul sau începutul intervalului de plasament.

Def. 11. Spunem ca plasamentul este cu dobânda postcalculata daca ea se plateste la sfâsitul intervalului. Daca plata dobânzii se face la inceputul perioadei se spune ca este precalculata.

Prima varianta este mai avatajoasa pentru debitor, în timp ce creditorul prefera a doua. Într-adevar, daca (S₀, (s,t), d) este o operatiune financiara cu dobânda postcalculata suma primita de debitor este S₀, iar la sfârsitul perioadei va returna S₀ + D_t. În cazul dobânzii precalculate, suma reala primita de debitor este S' = S₀ - D_t, iar la sfârsitul intervalului returneaza creditorului S₀.

Prin conventie, se numeste rata efectiva a dobânzii simple rata dobânzii simple postcalculate.

Pentru aceeasi rata a dobânzii, varianta a doua corespunde la o rata efectiva mai mare. Într-adevar, daca rata dobânzii corespunzatoare unei perioade este r, iar plasamentul se face pe n perioade, rata efectiva a dobânzii r' se obtine din relatiile r'S' = rS_0, r' = rS₀/S₀(1 - nr) =r/(1 - nr).

Exemplul 7. a) Suma de 5∙10⁴ u.m. a fost plasata pe o perioada de 6 luni, cu rata lunara a dobânzii de 0,009. Daca dobânda se plateste la început, care este rata efectiva a dobânzii?

b) Ce ati sfatui un investitor pus sa aleaga între doua tipuri de plasamente pe o perioada de un an: primul plasament cu o rata a dobânzii simple (postcalculata) de 0,07, iar al doilea cu o rata a dobânzii precalculate de 0,065?

Rezolvare: a) Rata lunara efectiva r' = 0,009/(1 - 6∙0,009) = 0,0095137 care pentru 6 luni da o rata semestriala (proportionala) r_s'= 0,0095137∙6 = 0,05708. Acelasi rezultat se putea obtine din relatia r_s'= D_1/2/S', unde D_1/2 = 5∙10⁴∙ 0,009∙6 = 2700, S'= 47300, deci r_s'= 0,05708.

b) Rata efectiva r' corespunzatoare ratei precalculate r = 0,065 este r' = 0,065/(1 - 0,065) = 0,0695 < 0,07, deci este mai avantajos a opta pentru primul plasament.

§.6. Devalorizare.

Fie p = 100r procentul anual al dobânzii si sa presupunem ca din anumite motive (economice, sociale, etc.), cunoscute sau nu, moneda se depreciaza cu o rata anuala

O unitate monetara, plasata pe o perioada de un an cu procentul anual al dobânzii p = 100r si cu un procent anual al devalorizarii q = 100α, devine (1 + r)/(1 + α). Se observa usor ca daca α < r, (1 + r)/(1 + α) > 1, deci exista un câstig prin plasare. Daca α = r câstigul rezultat din plasare este nul. Daca α > r constatam ca (1 + r)/(1 + α) < 1, deci plasamentul este în pierdere. Daca α este foarte mare în raport cu r se spune ca are loc o devalorizare galopanta. De altfel, când α > r, oricât ar fi S_0, S_t = S₀[(1 + r)/(1 + α)]^t → 0 când t→ ∞, adica valoric, atunci când rata devalorizarii este mai mare decât rata dobânzii, suma finala a operatiunii este oricât de mica pentru o durata a operatiunii suficient de mare.

Pentru compensarea devalorizarii de rata α, o unitate monetara plasata pe durata unui an trebuie sa devina (1 +r)(1 + α). Notând 1 + r_a = (1 + r)(1 + α), deducem r_a = r + α + r α.

Def. 12. Numarul 1+ α se numeste factor de compensare a devalorizarii sau de revalorizare, iar r_a rata anuala aparenta.

Daca se cunoaste coeficientul α si se utilizeaza în mod corespunzator pentru a împiedica pierderea de valoare a monedei se spune ca are loc o devalorizare controlata. Daca una din conditii nu este îndeplinita atunci se spune ca devalorizarea este necontrolata.

Exemplul 8. Care este valoarea finala a plasamentului sumei S₀ = 10⁵ u.m. pe o perioada de 3 ani, cu o rata a dobânzii r = 0,08 daca:

a)      Nu exista devalorizare sau este neglijabila;

b)      Exista o devalorizare de rata anuala α = 0,04 necontrolata;

c)      Exista o devalorizare de rata anuala α = 0,04 controlata.

Rezolvare: a) S₃ = 10⁵· 1,08³ = 125971,2 u.m.; b) S₃ = 10⁵·(1,08/1,04)³ = 111987,91 u.m.

d)      S₃ = 10⁵·1,08³·1,04³ =141700,46 u.m.