METODA SECANTEI IN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE COLINIARITATE
Pentru a ilustra aceasta metoda, vom deduce cateva teoreme si relatii ajutatoare.
Definitia 1. Orice dreapta care trece printr-un varf al unui triunghi se numeste ceviana.
Definitia 2. Orice dreapta care intersecteaza 747e42h doua din laturile unui triunghi se numeste secanta.
Teorema 2.3.1 Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duce o ceviana arbitrara AD si daca o secanta oarecare intersecteaza 747e42h pe AB, AC, AD in punctele M,N,O, atunci exista relatia :
Demonstratie: ( fig. 2.3.1 ) Fie B’, C’, M’, N’ proiectiile punctelor B, C, M si N pe AD. Din asemanarile urmatoare: D AMM’ D ABB’, D ACC’ D ANN’ , D ON’N D OM’M, D BB’D DC C’D, rezulta relatiile:
, 
,
si 
Inmultind membru cu membru aceste relatii, obtinem relatia
Fig. 2.3.1
Teorema 2.3.2 ( Relatia lui Van
Aubel ).Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duc cevienele AD, BN, CM
concurente in punctul P, atunci avem relatia : 
Demonstratie: ( fig. 2.3.2. ) Aplicand
teorema lui Menelau in D ABD cu transversala MC
avem relatia 
, de unde deducem relatia (1) 
Analog se deduce relatia (2) 
Fig. 2.3.2.
Adunand membru cu membru relatiile (1) si (2) obtinem : (3) 1=
Din
relatia (3) deducem ca : 
.
Problema 2.3.3. Daca intr-un triunghi ABC se duc cevienele AD, BN, CM concurente in punctul P si daca pe BC se iau respectiv punctele E si F, astfel incat ME || AD si NF || AD, atunci dreptele MF,NE si AD sunt concurente.
Demonstratie: ( fig. 2.3.3. )
Aplicam urmatoarea teorema : Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duc cevienele AD, BN si CM concurente in punctul P si daca = AD MN, atunci exista relatia
Aplicand aceasta teorema pentru D ABC cu ceviana AD si secanta MN rezulta ca
(1) 
.
Pe de alta patre, din relatia Van Aubel rezulta ca
(2)
Din asemanarea triunghiurilor ABD si MBE rezulta ca
de unde deducem relatia
(3) 
Analog
se deduce relatia (4 ) 
.
Din relatiile (2), (3), (4) obtinem:
Din
aceasta relatie si din relatia (1) deducem relatia : (5) 
.
Deoarece patrulaterul MEFN este un trapez ( ME || NF ), din relatia (5) rezulta ca OD trece prin punctul de intersectie al diagonalelor acestui trapez.
Fig.
2.3.3.
Problema 2.3.4.Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duce o ceviana AD,
D I (BC) si daca o secanta oarecare intersecteaza 747e42h pe AB,AC si AD in punctele M,N respectiv O, atunci exista relatia :
Demonstratie( fig. 2.3.4.)Aplicand teorema 3.2.1. in D ABD cu ceviana AC si secanta MO, obtinem :
de unde rezulta relatia
Analog, se deduce relatia
(2) 
Adunand membru cu membru relatiile (1) si (2) obtinem
EMBED Equation.3 
Din aceasta ultima relatie, rezulta :
(3) 
Fig. 2.3.4
Din relatia (3), avand in vedere faptul ca AB=AM+MB, AC=AN+NC, BC=BD+DC si AD=AO+OD, obtinem
Consecinta 2.3.4.a Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duc cevienele AD, BN, CM si daca consideram intersectiile = AD MN, =AD BN si =AD CM, atunci exista relatia
Consecinta 2.3.4. b Daca intr-un triunghi oarecare ABC se duc cevienele AD, BN si CM concurente in punctul P si daca = AD MN, atunci exista relatia
|
