Metode de rezolvare a problemelor de geometrie

Matematica

ALTE DOCUMENTE

Formule matematice

DEZVOLTAREA CAPACITATILOR CREATOARE ALE ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR IN CADRUL ORELOR DE MATEMATICA

Analiza si sinteza dispozitivelor numerice - PROIECT

Teza cu subiect unic la matematica

MATEMATICA PENTRU LICEE PEDAGOGICE

MODEL DE TEZA –CLASA A VII-A ( B)

FISA DE EVALUARE – TRIUNGHIUL CLASA a VI-a

TEOREMA LUI ROLLE

TRIGONOMETRIE

Citirea si scrierea numerelor formate din sute, zeci si unitati

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE

Predarea partii teoretice a geometriei trebuie insotita permanent de rezolvarea de probleme care contribuie la insusirea temeinica a cunostintelor de geometrie si la adancirea lor.In acelasi timp, cu ajutorul problemelor se arata elevilor importanta practica a cunostintelor geometrice.Se mai pot da probleme si inainte de a studia o teorema, cu scopul de a face pe elevi sa inteleaga continutul teoremei respective.Insusirea notiunilor de baza ale geometriei elementare si folosirea acestora in mod selectiv in rezolvarea problemelor, constituie esenta procesului invatarii dirijate si constiente a acestei discipline.Problemele de geometrie sunt atat de variate, incat nu se pot da indicatii generale pentru rezolvarea lor. Dificultatile principale ale problemelor de geometrie constau in caracterul lor nonstandart. Fiecare problema de geometrie comporta un studiu specific in care sunt implicate, in afara cunostintelor primite in scoala, o anumita obisnuinta de a rezolva probleme, o gandire logica bine conturata, precum si o anumita creativitate.Este esential ca rezolvitorul, dezvoltand operatiile mentale fundamentale-analiza, sinteza, comparatia, abstractizarea, generalizarea- sa imbine diferite ipoteze si prin rationament logic sa descopere solutia. In felul acesta are loc si realizarea unei unitati intre formativ si informativ.

La geometrie este nevoie intr-adevar de o mare flexibilitate a gandirii, a gandirii creatoare, de ceea ce se numeste ,,minte organizata’’.In abordarea problemelor de geometrie este absolut obligatorie stapanirea metodelor generale si paticulare.Dintre metodele generale amintim:

analiza

-sinteza

-metoda analitico-sintetica

Dintre metodele particulare, mai importante sunt:

-metoda reducerii la absurd

-metoda vectoriala

-metoda transformarilor geometrice

In continuare, vom cauta –prin diferite exemple- sa scoatem in relief esenta unora dintre metodele mai sus mentionate. Dupa expunerea principiilor care fundamenteaza fiecare metoda, urmeza cateva aplicatii care ilustreaza respectiva metoda.

METODA SINTEZEI

Aceasta metoda se dovedeste a fi folositoare atat in rezolvarea unor probleme de calcul cat si in tratarea unor probleme de demonstratie. Ne vom ocupa de ultima categorie de probleme, unde verificam sau stabilim o relatie, gasim proprietati noi ale figurilor date; in general, justificam daca o afirmatie referitoare la o figura geometrica este adevarata sau nu.

Intr-o problema de demostratie se considera o figura geometrica F, despre care se afirma ca are proprietatile a, si se cere sa se demonstreze ca, in acest caz, ea mai poseda si proprietatile b. Propozitia care afirma ca figura F poseda proprietatile a, notata cu I poarta numele de ipoteza, iar propozitia care afirma ca figura F poseda proprietatile b, notata cu C, poarta numele de concluzie.Prin urmare, intr-o problema de demonstratie se cere sa se arate ca, daca pentru o figura F este adevarata propozitia I, atunci este adevarata si propozitia C. Re cunoastem cu usurinta ca aici intervine implicatia logica a b

Mecanismul metode sintezei consta in a pleca de la propozitia a si a descoperi noi propozitii r_1,r_{2, … ,} r_kastfel incat: a r₁ r₂ r_k b

De cele mai multe ori, insa, demonstratia unei teoreme sau rezolvarea unei probleme are la baza o schema de forma:

r₁ r₂ r_k

a b

s₁ s₂ s_l

Teorema 1.1.1. (Teorema lui Menelau.) FieD ABC si punctele coliniare A^’ I BC,

B^’I CA, C^’I AB. Atunci are loc egalitatea: = 1.

Demonstratie: ( Fig. 1.1.1. )

Fig. 1.1.1.

Folosim asemanarea triunghiurilor. Construim CD || AB, unde DIC’A'Observam: ca: DA^’BC^’ DA^’CD, DB^’CD DB^’AC^’. Rezulta:

Inmultind aceste relatii , obtinem:

Aceasta relatie reprezinta egalitatea din enunt scrisa sub alta forma, deci teorema lui Menelau este demonstrata.

Teorema 1.1.2. (Teorema lui Ceva). Se considera un triunghi ABC si punctele A’IBC,B’ICA, C’IAB. Daca dreptele AA’, BB’ si CC’ sunt concurente, atunci:

Demonstratie: (fig. 1.1.2) Fie =AA’ BB’ CC’. Aplicam teorema lui Menelau pentru DAA’B si punctele coliniare C,P, C’T

Aplicam acum teorema lui Menelau pentru DAA’B si punctele coliniare B,P,B’T

Inmultind ultimele doua relatii se obtine:

Aceasta relatie reprezinta relatia din enunt, deci teorema lui Ceva este demonstrata.

Fig. 1.1.2

2. METODA ANALIZEI

Aceasta metoda este eficienta in abordarea unor probleme de calcul sau demonstratie. In cazul problemelor de demonstratie se procedeaza astfel: trebuie sa dovedim implicatia p q.Se cauta o propozitie r_n care s-o implice pe q, dupa care trebuie gasita o propozitie r_n-1 din care sa deducem r_n si asa mai departe pana reusim sa depistam propozitia r₁care rezulta direct din p.

Problema 1.2.1. Fie un triunghi oarecare ABC. Se noteaza cu D piciorul inaltimii din A si cu E punctul diametral opus lui A in cercul circumscris. Sa se arate ca AD AE=AB AC

Demonstratie: (fig. 1.2.1) Notam cu p propozitia obtinuta prin conjunctia ipotezelor, si cu q concluzia ,, AD AE=AB AC’’. Avem:

Propozitia r₂: implica propozitia q

Propozitia r₁: ,, DADC DABE’’ se deduce din r₂

In sfarsit, r₁rezulta direct din p

Schema problemei: p r₁ r₂ q

Fig. 1.2.1.

Problema 1.2.2. Unghiurile opuse <A si <C ale patrulaterului convex ABCD sunt drepte. Daca E si F sunt punctele de intersectie ale dreptelor AD si BC, respectiv BA si CD, sa se demonstreze ca, BD este perpendiculara pe EF.

Demonstratie: (fig. 1.2.2)

Fig. 1.2.2.

Trebuie sa demonstram implicatia p q, unde: Propozitia p: ,,ABCD inscriptibil si m(<A)=90’ , m(<C)=90’ siAD BC=.

Propozitia q: ,, BD EF.

Observam ca din propozitia r₂: ,, EA FC=Tq

In continuare, propozitia r₁: ,, EA BF si FC BE,in DABC’’ implica r₂

Schema problemei: p r₁ r₂ q

3. METODA REDUCERII LA ABSURD

Aceasta metoda are la baza echivalenta logica dintre teorema directa si contrara teoremei reciproce.Contrara reciprocei unei propozitii adevarate este tot o propozitie adevarata si se obtine inlocuind in teorema directa ipoteza cu negatia concluziei si concluzia cu negatia ipotezei.

Larga raspandire a folosirii acestei metode din antichitate pana in prezent, atat in demonstrarea unor teoreme de geometrie cat si in evidentierea unor adevaruri din viata de toate zilele, se datoreste faptului ca are la baza una din legile fundamentale ale logicii clasice-legea tertului exclus, care se enunta: ,,Dintre doua propozitii din care una este negatia celeilalte una este adevarata, cealalta falsa, iar a treia posibilitate nu poate exista.’’

De obicei, in geometrie nu se stie care propozitie este adevarata si care falsa. Astfel, in baza legii tertului exclus, propozitia data este adevarata si teorema este demonstrata.

Se presupune ca propozitia contradictorie este adevarata si pe baza unor deductii logice se ajunge la un rezultat absurd, pentru ca acesta contrazice ipoteza problemei date, o parte a ipotezei, sau un adevar anterior demonstrat.

De exemplu, fie B o propozitie despre care vrem sa aratam ca este adevarata si A o propozitie despre care stim ca este intotdeauna adevarata. Presupunem ca B este falsa ceea ce ar insemna ca B este adevarata, unde, cu B s-a notat propozitia contradictorie lui B. Pornind de la aceasta presupunere se deduce ca propozitia A este falsa(pentru ca A este totdeauna adevarata), ceea ce este absurd.rezulta ca B este falsa deci B este adevarata.

S-ar mai putea rationa si folosind rationamentul prin modus tallens ( prin contrapozitie) caci A are acceasi valoare logica cu A si B cu B ; astfel spus, o propozitie si negatia ei nu pot fi simultan adevarate.

Inchei aceste consideratii prin a descrie in ce consta metoda reducerii la absurd. Avand de dovedit implicatia p q, se admite ca nu este adevarata propozitia q(se nega concluzia q) si atunci, evident, ar fi adevarata q . Folosind si ipoteza p, pe baza unor deductii logice, se ajunge la o absurditate, care contravine fie ipotezei, fie unui adevar evident, fie unui adevar stabilit anterior. Contradictia obtinuta atesta valabilitatea teoremei directe p q

Incepand chiar cu clasa a-VI-a, apelam la aceasta metoda la capitolul ,, Drepte paralele’’la urmatoarea problema:

Problema 1.3.1. Doua drepte distincte paralele cu a treia sunt paralele intre ele.

Demonstratie. Fie d₁|| d₃ si d₂ || d₃. Trebuie sa demonstram ca d₁ || d₂.

Propozitia a este postulatul lui Euclid

Propozitia b este d₁ || d₂.

Propozitia b este :d₁ d₂=.

Presupunem ca b nu este adevarata, deci b este adevarata, adica d₁ d₂=.Ar rezulta ca prin a se pot duce doua drepte paralele d₁ si d₂ la d₃ ceea ce ar contrazice postulatul lui Euclid.Deci bT a

Cum implicatia este adevarata ar rezulta ca a este adevarata conform rationamentului modus ponens : b

bT a

Dar si propozitia a este adevarata. S-a ajuns la o contradictie : a a care este totdeauna falsa, deci, a a ) este totdeauna adevarata ( principiul noncontradictiei )Deci, presupunerea facuta este falsa, adica b este falsa si rezulta ca negatia ei b , care este b, este adevarata.rezulta ca dreptele d₁ si d₂ sunt paralele.

Teorema 1.3.2. (Reciproca teoremei lui Menelau ). Consideram un triunghi ABC si fie punctele A’IBC - , B’I CA - , C’IAB - , se presupune ca doua dintre punctele A’, B’. C’ sunt situate pe doua laturi ale triunghiului, iar al treilea punct este situat pe prelungirea celei de a treia laturi sau, ca toate punctele A’, B’, C’ sunt pe prelungirile laturilor triunghiului.

Daca are loc egalitatea: (1) ,atunci punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.

Demonstratie (fig. 1.3.2)

Fig. 1.3.2

Studiem cazul A’IBC [BC], B’I(CA), C’I(AB). Sa presupunem ca punctele A’, B’, C’ nu sunt coliniare. Atunci Dreapta A’B’ ar intersecta latura [AB] intr-un punct C’’ C’.Aplicam teorema lui Menelau pentru punctele coliniare A’, B’, C’’:

(2)

Din (1) si (2) T

Aceasta ar insemna ca [AB] este impartit de punctele interioare distincte C’, C’’ in acelasi raport; aceasta constituie o contradictie, asadar punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.

Teorema 1.3.3. (Reciproca teoremei lui Ceva). Fie ABC un triunghi si punctele A’I(BC), B’I(CA), C’I(AB).astfel incat, sau toate trei sa apartina laturilor respective,sau unul sa fie situat pe o latura, iar celelalte doua pe prelungirile cate uneia din celelalte doua laturi.

Daca: (1) , atunci dreptele AA’, BB’ CC’ sunt concurente

Demonstratie: (fig. 1.3.3) Fie =BB’ CC’ si fie =PA BC. Se aplica teorema lui Ceva pentru DABC si dreptele concurente AA’’, BB’, CC’. T

(2)

Din (1) si (2) T. Deoarece A’ si A’’ sunt puncte interioare lui (BC) TA’=A’’

Observatie: Reciproca teoremei lui Ceva este adevarata si in cazul in care unul din punctele A’, B’, C’ se gaseste pe o latura a triunghiului; de exemplu A’I(BC), iarcelelalte doua puncte, B’IACsi C’IAB, verifica conditia BB’ nu este paralel cu CC’.Daca BB’|| CC’ ar insemna ca m( <B’BC)+m(<C”CB)=180⁰ si de aici ar urma ca, m(<ABC)+m(<ACB)>180⁰, absurd.

Fig. 1.3.3.

4 METODA VECTORIALA

Fie A si B doua puncte din plan.Perechea ordonata (A,B) se numeste segment orientat sau vector legat in punctul A si se noteaza A, B indica sensul de parcurs al segmentului . Punctul A se numeste originea lui, iar punctul B se numeste extremitatea vectorului legat

Doua segmente orientate nenule coliniare au acelasi sens, daca sensurile de parcurs determinate pe dreapta suport coincid. Doua segmente orientate paralele (paralelism in sens strict) au acelasi sens daca extremitatile lor se afla in celasi semiplan determinat de dreapta care uneste originile segmentelor.

Prin modulul lui se intelege lungimea segmentului neorientat [AB] si se noteza cu .

Doua segmente orientate nenule paralele ( paralelism in sens larg) se numesc echipolente daca au acelasi sens si aceeasi lungime. Scriem acest lucru, ~

Se arata foarte usor ca relatia de echipolenta pentru segmente orientate nenule este o relatie de echivalenta. Clasele de echivalenta ale segmentelor orientate, relative la relatia de echipolenta, se numesc vectori liberi. Fiecare segment orientat din clasa numita vector liber este un reprezentant al clasei. De exemplu, prin vectorul liber (aceasta este notatia consacrata ) , intelegem multimea tuturor vectorilor echipolenti cu . Evident ca un reprezentant al vectorului liber este vectorul legat , ceea ce se scrie . Vectorul liber, caracterizat prin faptul ca are lungimea zero, iar directia si sensul nedeterminate, se numeste vectorul nul sau vectorul zero. El se noteaza cu si este reprezentat de orice segment orientat .

In multimea V a tuturor vectorilor liberi din plan, se defineste adunarea dupa regula paralelogramului sau dupa regula triunghiului.Este usor de demonstrat ca perechea (V,+) este grup abelian (in contextul de fata, simbolul ,,+’’ semnifica adunarea vectorilor liberi , nu a numerelor). Fiind dati un scalar tIR si un vector liber , se defineste in mod natural produsul dintre vectorul si scalarul t,care este un vector notat . Daca sau t=0, atunci .=.Se dovedeste cu usurinta ca inmultirea vectorilor liberi cu scalari, are proprietatile:

, ;

2) R, ;

3) R, ;

tI R, I V

Deducem ca multimea V a vectorilor liberi din plan este un spatiu vectorial peste corpul R Fie si doi vectori nenuli . Se noteaza cu φI[ 0, π ]unghiul dintre si .

Numarul real =| | | | cos se numeste produsul scalar al vectorilor si.Produsul scalar a doi vectori este nul daca si numai daca cei doi vectori sunt ortogonali.Este evident ca =||²0, .

Problema 1.4.1. Sa se demonstreze, cu ajutorul vectorilor, urmatoarele teoreme:

Teorema lui Pitagora generalizata

Teorema medianei

Demonstratie: i) Fie DABC . Avem Inmultind scalar aceasta relatie cu ea insasi, obtinem:

BC²=AC²+AB²-2

Fie B’ proiectia ortogonala a lui B pe AC. Este evident ca produsul scalar este pozitiv,daca si au acelasi sens( m()< 90⁰ ) ; el este negativ daca si au sensuri contrare (m() > 90⁰).

Este usor de vazut ca demonstratia include si teorema lui Pitagora ( m() = 90⁰ ); in acest caz, =0.

ii ) Fie A’ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC. Avem relatiile

2 .

Ridicam scalar la patrat, ambele relatii si obtinem :

4 AA’² = AB² +AC² +2

BC² = AC² +AB² -2

Adunand ultimele doua egalitati, obtinem relatia medianei:

4 AA’² = 2( AB² +AC²) –BC²

Problema 1.4.2. Fie H ortocentrul triunghiului ABC, O centrul cercului circumscris triunghiului si A’ punctul diametral opus lui A. Sa se arate ca :

ii )

Demonstratie: i) Fie O’ simetricul lui O fata de AC ( fig. 1.4.2 ).

Notam =.

Paralelogramul OAO’C este romb. Din OO’ AC si BM ACTBM este inaltime in DABC. Analog , aratam ca CM este inaltime in DABCT M este ortocentrul H al triunghiului.

ii) Deoarece HB || CA’ si HC || BA’ T HBA’C este paralelogram T

Fig. 1.4.2.

Problema 1.4.3. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC . M fiind un punct oarecare din plan, sa se arate ca:

MA² +MB² +MC²=3MG²+GA²+GB²+GC²

Cand MA² +MB² +MC² este minima ?

Demonstratie: (fig. 1.4.3. )

Fig 1.4.3.

Din egalitatea , obtinem

MA²=MG² + GA² +2

Analog, obtinem

MB²=MG² + GB²+2

MC²=MG² + GC² +2

Adunand ultimele trei egalitati, obtinem

MA² +MB² +MC²=3MG²+GA²+GB²+GC²+ 2

Fie A₁ simetricul lui G fata de mijlocul A’ al segmentului [BC] (fig. 4.3). Avem . Din paralelogramul GBA₁C obtinem Rezulta si din relatia (2) obtinem :