MODELUL MATEMATIC
In cazul unui fenomen (aleator) F vom realiza o modelare matematica a acestuia cu ajutorul urmatoarelor trei elemente: universul probelor W (- sau inca spatiul probelor, o multime finita), multimea tuturor evenimentelor legate de fenomenul aleator F(P(W)) si o functie P:P(W)®[0, ¥) care asociaza fiecarui eveniment A ? P(W) probabilitatea sa P(A).
UNIVERSUL PROBELOR
Definitie. Multime W a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile doua cate doua, care pot avea loc in cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeste u 242c220c niversul probelor (sau spatiul probelor).
OPERATII CU EVENIMENTE
NEGATIA
DEFINITIE. Daca A este un eveniment, atunci A (citim: non A) este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se nu realizeaza A.
Daca A ? P(W), atunci A=CA=W - A ? P (W).
REUNIUNEA
DEFINITIE. Fie A,B doua evenimente. Se numeste reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A È B (citim: A sau B) care se realizeaza cel putin unul din evenimentele A, B.
INTERSECTIA
DEFINITIE. Fie A, B doua evenimente. Se numeste intersectia evenimentelor A si B evenimentul notat A Ç B (citim: A si B) care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza simultan A si B.
EVENIMENTE INCOMPATIBILE
DEFINITIE. Doua evenimente A, B se numesc incompatibile daca si numai daca A Ç B = f.
EVENIMENTE ELEMENTARE
DEFINITIE. Fie W un univers finit W = .
Evenimentele , ,., se numesc evenimente elementare.
FUNCTIA PROBABILITATE
Dintre toate formulele propuse pentru definirea functiei probabilitate, cea folosita astazi este teoria dezvoltata de matematicianul rus Kolmogorov la inceputul deceniului al patrulea al secolului XX. El a apropiat conceptul de probabilitate de teoria masurii si analiza functionala. Kolgomorov a creat un fundament axiomatic pentru conceptul de probabilitate care se bazeaza pe o multime W de evenimente elementare si un sistem B Ì P(W). Evenimentele sistemului B, adica submultimile lui W se numesc evenimente (aleatoare). In plus B verifica posibilitatile:
daca A1, A2, .,An,. ? B, atunci U Ai ? B
i³1
daca A ? B, atunci CA ? B;
W ? B
Sistemul B care verifica cele trei axiome se numeste corp borelian. Cazul pe care il analizam noi este mai simplu, in sensul ca W este o multime finita, iar B = P(W).
DEFINITIE. Fie W un univers. Aplicatia P:P(W) ® R se numeste probabilitate pe P(W) daca au loc axiomele:
P(A) ³ 0, (") A ? P(W) (Probabilitatea oricarui eveniment este un numar pozitiv).
P(W)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu unu)
P(A È B) = P(A) + P(B), daca A Ç B= f (Probabilitatea reuniunii a doua evenimente incompatibile este egala cu suma probabilitatilor lor).
Observatii. 1) Daca universul W nu este finit, atunci nu se defineste probabilitatea pe un corp borelian B Ì P(W), axioma 3 fiind inlocuita cu P(A1 È A2 È . È An È .) = P(A1) + P(A2) + . + P(An) + . Daca Ai Ç Aj = f, (") i¹j (orice doua evenimente sunt incompatibile).
2) Pe un corp borelian B Ì P(W) ® [0,¥), P(A) = card (A) / card (B), aceasta fiind de fapt definitia clasica a probabilitatii, ca raportul dintre numarul de cazuri favorabile realizarii evenimentului A si numarul de cazuri posibile (card(W)).
Camp de probabilitate
Consideram F un eveniment aleator. Modelarea matematica a acestuia este caracterizata de cele trei elemente descrise mai sus: universul probelor (W), multimea tuturor evenimentelor (P(W)) si de probabilitatea P asociata multimii evenimentelor.
DEFINITIE. Fie F un eveniment aleator. Tripletul (W, P(W), P) se numeste camp de probabilitate asociat fenomenului F.
Operatii cu probabilitati
Din definitia probabilitatii si proprietatile operatiilor cu multimi se deduc reguli de calcul ale probabilitatii unor evenimente.
TEOREMA. Daca A,B ? P(W), atunci P(B Ç A) = P(B) - P(B Ç A).
COROLAR. 1) P(f) = 0;
2) P(A)= 1- P(A), (") A Ì W;
3) P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A È B);
4) Daca A Ì B, atunci P(A) £ P(B);
5) 0 £ P(A) £ 1, (") A Ì W.
Remarca importanta
Axiomele din definitia probabilitatii si rezultatele procedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilitatile diferitelor evenimente ale unui univers W. Alte consideratii sau experiente practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilitati sau cel putin o parte din ele.
Evenimente elementare echiprobabile
DEFINITIE. Fie W=. Evenimentele elementare , , . , se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate P() = P() = . = P().
Cum P(W) = 1, iar pe de alta parte P(W) = P() + P() + . + P() (evenimentele elementare fiind incompatibile doua cate doua) deducem P() = P() = . = P() = 1/n.
Pentru evenimentul A = = k/n.
Deci are loc
TEOREMA Daca W este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci:
P(A) = k/n = card (A)/card(B).
Regula de inmultire a probabilitatilor
Afirmatia ca la aruncarea unui zar probabilitatea de a iesi unul din numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este egala cu 1/6 se bazeaza pe ipoteza ca zarul este ideal si ca toate incercarile s-a folosit acelasi zar. Daca afirmam ca aparitia unui rebut are o probabilitate de egala cu 0,023, ne bazam pe faptul ca procesul de productie ramane neschimbat. Numim astfel de probabilitati conditionate de ipoteze ferme probabilitati neconditionate. Deseori calculul probabilitatii aparitiei unui eveniment A este conditionat de realizarea anterioara a evenimentului B cu o anumita probabilitate. O astfel de probabilitate se numeste probabilitate conditionata si se noteaza prin PB(A) (citim: probabilitatea evenimentului A conditionata de realizarea evenimentului B).
Extragere cu repunerea bilei in urna
Consideram evenimentele: A "la prima extragere se obtine o bila alba", B "la a doua extragere obtinem o bila neagra". Ne propunem sa comparam P (A Ç B) cu P(A)P(B). Daca prima bila extrasa este alba, iar a doua bila extrasa este neagra, notam aceasta prin (a,n). Cu acesta evenimentul A = , iar B = , (n,n)}.
Acum A Ç B = .
P(A) = . + . = =
P(B) = . + . = =
P(A Ç B) = . =
Avem P(A Ç B) = P(A)P(B).
Extragere fara repunerea bilei in urna
Daca dupa prima extragere bila nu se repune in urna este clar ca urna va avea un continut schimbat fata de cel intial. Daca am extras o bila alba, atunci in urna raman doua bile albe si 4 negre. A doua extragere se face din aceasta urna. Daca, insa am extras prima data o bila neagra, atunci raman in urna 3 bile albe si 3 bile negre, iar a doua extragere se face din acest ultim continut al urnei.
Acum P(A) = . + . = ,
P(B) = . + . =
Si P(A Ç B) = . .
Observam ca P(A Ç B) ¹ P(A)P(B).
Probabilitati conditionate
Intr-un eveniment aleator F dorim sa calculam probabilitatea unui eveniment A a carui realizare depinde de realizarea unui alt eveniment B. Daca realizarea acestuia din urma a avut loc, atunci aceasta informatie va modifica probabilitatea de realizare a evenimentului A. Vom nota aceasta probabilitatea prin PB(A) (citim: probabilitatea evenimentului A conditionata de evenimentul B).
DEFINITIE. Fie A, B Ì W. Se numeste probabilitatea a evenimentului A conditionata de evenimentul B numarul notat PB(A) definit prin
PB(A) = , P(B) ¹ 0.
Teorema. Fie A, B, C .evenimente ale unui univers W. Atunci
P(A Ç B) = P (A)PA(B);
P(A Ç B Ç C) = P(A)PA(B) . PAÇB(C).
Evenimente independente
Sa ne imaginam ca stim ca evenimentul A s-a produs, dar ca acest fapt nu are nici o influenta asupra probabilitatii evenimentului B, adica PA(B) = P(B). De aici = P(B) sau P(A Ç B) = P(A)P(B).
Dar atunci PB(A) = = = P(A), altfel spus daca evenimentul B nu depinde de de evenimentul A, nici A nu depinde de B.
DEFINITIE.
1) Fie A, B Ì W. Se spune ca evenimentele A, B sunt independente daca P(A Ç B) = P(A)P(B).
In caz contrar evenimentele sunt dependente.
Fie A, B, C Ì W. Se spune ca evenimentele A, B, C sunt independente daca P(A Ç B) = P(A)P(B), P(A Ç C) = P(A)P(C), P(B Ç C) = P(B)P(C), P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B)P(C).
TEOREMATeorema. Fie W1, W2, . , Wn universurile asociate la n probe succesive independente si P1, P2, . , Pn probabilitatile relative la aceste universuri. Fie U = U1 x U2 x . x Un universul asociat multimii acestor probe, iar P probabilitatea relativa la U.
Atunci P(a1, a2, . , an) = P1(a1)P2(a2) . Pn(an), ai ? Ui, i = .
Aceasta teorema caracterizeaza modelul matematic corespunzator unui fenomen F ale carui n probe sunt independente.
Scheme clasice de probabilitate
In multe probleme abordate am considerat fenomenul aleator F ca fiind aruncarea unei monede ideale, aruncarea unui zar ideal, extragerea unei bile dintr-o urna, etc. Modelarea matematica a fenomenului F era tripletul (W, P(W), P).
Primele doua fenomene aruncarea monedei si aruncarea zarului se pot reduce la modelul urnei cu doua bile (marcate cu litere b si s) in primul caz si respectiv al urnei cu sase bile (numerotate de la 1 la 6). O prima situatie corespunde la cazul in care, de fiecare data, o bila extrasa este repusa in urna inaintea urmatoarei extrageri. In acest caz spunem ca avem de-a face cu extrageri cu repunerea bilei in urna.
A doua modalitate de a efectua extragerile este aceea in care fiecare bila extrasa nu se mai pune inapoi in urna.
Daca in prima situatie componenta urnei ramane aceeasi inaintea fiecarei extrageri, in a doua situatie dupa fiecare extragere componenta urnei nu se schimba.
Problema care ne intereseaza in cele doua cazuri este de a calcula P(A), unde A este un eveniment asociat lui F (deci A Ì W).
Primei situatii ii corespunde:
Schema lui Poisson sau schema binomiala generalizata
Are loc urmatoarea
TEOREMA. Fie A1, A2, . , An evenimente independente cu P(Ai) = pi, qi = 1 - p1, i = . Probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente (si sa nu se realizeze n - k) este coeficientul lui X din polinomul
(p1X + q1)( p2X + q2) . (pnX + qn)
COROLAR (Schema lui Bernoulli). Daca evenimentele independente A1, A2, . , An au aceeasi probabilitate pi = p, qi = q = 1- p, (") i = atunci probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente, notata Pn(k), este coeficientul lui X din polinomul
(pX + q) , adica Pn(k) = C p q .
Schema hipergeometrica sau schema bilei fara revenire
Pentru o a doua situatie cadrul este oferit de o a doua urna care contine N bile dintre care a sunt bile albe, iar b sunt bile rosii. Deci N = a + b. Se extrag n bile (n N) fara a repune bila in urna. Fie k numarul de bile albe obtinute in cele n extrageri (k a). Numarul de bile rosii extrase in cele n probe este n - k (n - k b). Pentru calculul probabilitatii evenimentului de a obtine k bile albe si n - k bile rosii in urma celor n extrageri aplicam definitia probabilitatii (cand cazurile sunt echiprobabile) ca raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile. Numarul cazurilor posibile este egal cu numarul de modalitati de a alege k bile din cele N. Aceasta este C .
Pentru a obtine numarul cazurilor favorabile observam ca cele k bile albe le obtinem din cele a in C iar celelalte (n - k) bile rosii se pot extrage din b bile rosii in C . Conform regulii produsului din combinatorica, numarul tuturor posibilitatilor de a extrage k bile albe si (n - k) bile rosii este C C . Deci probabilitate ceruta este:
Pn(k) = C C / C
|
