MULŢIMI PARŢIAL ORDONATE
Introducerea......
I.1. Generalitati despre multimi partial ordonate.
O ordine
partiala este o relatie binara R peste o multime D
care este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva,
adica oricare ar fi avem :
- (reflexivitate)
- daca si
atunci
(antisimetrie)
- daca si
atunci
(tranzitivitate)
O multime D cu o ordine partiala, notata , se numeste multime
partial ordonata; se noteaza cu
. Relatia R
aici se introduce prin
, adica
este notat cu
.
Exemple de multimi partial ordonate :
a)
(N, )
b) (N, | )
c) Fie A o multime, P A multimea
partilor lui A si incluziunea atunci (P A),
) este multime partial ordonata.
d) Daca
este o multime
partial ordonata si
atunci restrictia
relatiei
la B îi confera acesteia o structura de multime
partial ordonata.
Fie D o multime partial ordonata , A submultime a lui D.
Definim
A se numeste
multime superioara daca .
Definim
A se numeste
multime inferioara daca .
Exemple I.1.1
Daca se considera P A), ) si multimile A
P A), atunci
A formata din toate
supramultimile multimilor din A inclusive aceasta;
A este
formata din toate submultimile multimilor din A inclusive aceasta.
Fie cu ordonarea produs a
ordonarilor naturale din cele doua intervale:
daca
si
. Aceasta este o relatie de ordine partiala.
Daca este o functie,
atunci
, graficul functiei este o submultime a
multimii D.
Aici , iar
ultima multime
fiind numita si subgraficul lui f.
În aceasta
multime se pot evidentia si alte multimi, sa
fixam si
.
Primele doua multimi sunt multimi superioare iar celelalte doua sunt multimi inferioare.
Consideram o multime partial ordonata
D, cum este descrisa în figura
alaturata. Ea este formata din puncte din , ordonarea fiind si aici ordonarea produs, mai precis
restrictia ordonarii la aceasta multime.
Fig. 1.1
Multimea A din figura 1.2, deci ramura din
dreapta începând de la punctul , dar fara acesta este o multime
superioara.
![]() |
Fig. 1.2
Daca îi adaugam
însa punctual si
notam cu
multimea
obtinuta, atunci
nu mai este multime superioara. Presupunem ca
contine si partea din stânga, simetrica cu cea din
împreuna cu
punctul
, adica
este multimea din
figura 1.3, care nu mai coincide cu
.
![]() |
Fig. 1.3
Fie multime
partial ordonata.
este multime
dirijata (la dreapta) daca
oricare ar fi
exista
astfel încât
si
.
Fie multime
partial ordonata,
submultime a acesteia. Supremul lui S este un element
astfel încât
a) , oricare ar fi
b) oricare ar fi astfel încât
, oricare ar fi
avem
Supremul este
unic. Într-adevar, daca îndeplinesc cele
doua conditii pentru S
atunci
,
si
este
antisimetrica obtinem
.
O multime
partial ordonata D se
numeste complet dirijata, prescurtat POCD,
daca in ea fiecare submultime dirijata , are supremum, notat
sau
.
I.2. Relatia "mult mai jos" în multimi partial ordonate
Fie ,
va însemna ca pentru
orice multime dirijata
cu
, atunci exista
astfel încât
.
Pentru orice notam
Pentru o multime
Fie D multime partial ordonata. D este continua daca este multime dirijata si
, oricare ar fi
.
Daca D este simultan latice completa si multime POCD continua atunci se numeste latice continua.
Un element este compact daca
, adica, daca
unde E este multime dirijata, atunci
pentru un
.
Propozitie I.2.1 Daca rezulta
.
Demonstratie: Daca si consideram
, atunci E este
dirijata si
rezulta
. ■
Propozitie I.2.2 Fie D o multime POCD, elemente cu proprietatile
,
si
atunci
.
Demonstratie: Fie E o multime dirijata cu atunci si
rezulta ca
exista un
astfel încât
deci si
atunci rezulta
ca
. ■
Propozitie I.2.3 Fie D o multime POCD continua, elemente din D astfel
încât
,
. Atunci exista
, astfel încât
si
.
Demonstratie Fie ,
este multime
continua. Atunci
este
multime dirijata si
Din ,
rezulta
ca
, cum
este multime
dirijata rezulta ca exista un
astfel încât
,
. Cum
obtinem
. ■
Propozitie I.2.4 (Proprietatea de interpolare)
Fie o multime POCD continua,
elemente din
cu
. Atunci exista
astfel încât
.
Demonstratie Fie ,
este multime
continua. Atunci
este
multime dirijata si
Din si
rezulta
ca exista
astfel încât
(1). Cum
si
este multime
dirijata rezulta
.
Fie ,
si
este multime
dirijata exista
rezulta
, deci obtinem
(2). Din (1),(2) obtinem
. ■
Propozitie I.2.5. Fie o multime POCD si
elment din
. Atunci notam cu
cel mai mic element,
daca exista, si
.
Demonstratie Presupunem
ca exista cel mai mic element , atunci
si exista
astfel încât
, conform definitiei obtinem
. ■
Propozitie I.2.6 Fie o multime POCD si
elemente din
. Daca
si
atunci rezulta
.
Demonstratie: Fie D
multime dirijata, atunci exista
astfel încât
de unde rezulta
ca
atunci exista
astfel încât
, obtinem
. ■
Fie L o multime nevida si o relatie
binara.
o numim structura relationala.
Daca R este reflexiva, adica oricare ar fi
, notat de obicei
, atunci vorbim de o structura
relationala reflexiva. Corespunzator vorbim de o structura relationala
antisimetrica, daca relatia R este antisimetrica, adica
si
implica
, respectiv structura
relationala tranzitiva daca relatia R este tranzitiva, adica
si
implica
.
Propozitie I.2.7 Fie o structura
relationala reflexiva si
elemente din
. Atunci
daca si numai daca
.
Propozitie I.2.8 Fie o structura
relationala reflexiva si antisimetrica,
element din
. Atunci oricare ar fi
avem
.
Demonstratie Daca
atunci conform
definitiei rezulta
de unde
obtinem
. ■
Propozitie I.2.9 Fie o structura
relationala reflexiva si antisimetrica,
element din
. Atunci
si
.
Propozitie I.2.10 Fie o structura
relationala reflexiva si tranzitiva,
elemente din
. Daca
, atunci
si
.
Demonstratie Daca
rezulta
si cum
atunci
de unde obtinem
, deci
.
Daca atunci
,
rezulta ca si
, deci
rezulta
. ■
Fie o structura
relationala reflexiva, antisimetrca si marginita
inferior,
un element din
. Atunci se poate observa ca multimea
nu este vida.
Daca este structura
relationala tranzitiva si
un element din
.
Atunci
este multime
inferioara
si
este multime superioara.
Propozitie I.2.11 Fie L un lant sup-complet si elemente din
. Daca
nu este compact si
atunci
.
Demonstratie Daca
nu este compact atunci
.
Presupunem atunci
, contradictie cu
nu este compact, deci
. ■
Propozitie I.2.12 Fie o structura
relationala reflexiva, antisimetrica si marginita
inferior atunci
este compact.
Demonstratie: Fie .
atunci
exista
astfel încât
, dar
de unde rezulta
ca
deci
este compact.
Fie o structura
relationala si
un element din
. Elementele din
multimea
formeaza o
submultime a lui
definita astfel
Elementele din multimea formeaza o
submultime a lui
definita astfel
Propozitie I.2.13 Fie o structura relationala si
,
elemente din
. Atunci
daca si
numai daca
.
Demonstratie Daca
, atunci conform definitiei rezulta
.
Reciproc,
daca atunci rezulta
. ■
Propozitie I.2.14 Fie o structura relationala si
elemente din
. Atunci
daca si
numai daca
.
Demonstratie: Daca
rezulta
. Reciproc, daca
atunci rezulta
. ■
Propozitie I.2.15 Fie o
structura relationala reflexiva si antisimetrica
si
elemente din
. Daca
atunci
.
Demonstratie Daca
atunci
de unde
rezulta ca
. ■
Propozitie I.2.16 Fie o structura relationala
reflexiva si antisimetrica,
elemente din
. Daca
atunci
.
Demonstratie Daca
atunci
de unde obtinem ca
. ■
Propozitie I.2.17 Fie o structura relationala
tranzitiva si
elemente din
. Daca
atunci
.
Demonstratie Fie atunci rezulta
si cum
rezulta
, deci
. ■
Propozitie I.2.18 Fie o structura relationala
tranzitiva si
elemente din
. Daca
atunci
.
Demonstratie Daca rezulta
si cum
obtinem
de unde rezulta
ca
. ■
Un POCD este algebric daca fiecare element este supremumul unei multimi dirijate de elemente compacte. Pentru simplitatea exprimarii se va spune ca fiecare element este un supremum dirijat de elemente compacte.
Alternativ, POCD-urile algebrice sunt numite domenii.
Daca un domeniu ( adica un POCD algebric ) este latice completa atunci se numeste latice algebrica.
Teorema I.2.1 Fie domeniu echivalent cu
este POCD
algebric adica oricare ar fi
,
,
elemente compacte,
multime
dirijata. Atunci
este POCD
continu.
Demonstratie Fie atunci
,
elemente compacte,
multime
dirijata rezulta ca
,
si
de unde
rezulta ca
, deci
atunci rezulta
adica
este POCD continu. ■
Teorema I.2.2 Într-un POCD algebric relatia este
caracterizata de
daca si
numai daca exista un element
compact astfel încât
.
Demonstratie Presupunem ca atunci
unde
este compact,
multime
dirijata.
rezulta ca
exista
compact astfel încât
.
Reciproc,
presupunem ,
compact rezulta
,
si
atunci
. ■
este baza numarabila pentru un POCD continu
sau se poate spune ca POCD este cu baza
numarabila daca exista
o submultime a lui
, unde
este cel mult numarabila, astfel
încât pentru
elemente din
avem
rezulta
atunci ca exista
astfel încât
.
Teorema I.2.3 Un POCD algebric are baza numarabila daca si numai daca multimea elementelor compacte este numarabila.
Demonstratie Daca presupunem ca POCD este algebric cu
baza numarabila de elemente compacte, cum pentru orice element
compact , are loc
, prin ipoteza ar exista
astfel încât
. Pentru
elemente compacte
rezulta atunci
(daca
avem
rezulta
(1) ; dar
rezulta
(2). Din (1) si (2)
rezulta
contradictie cu
ipoteza )
Reciproc, presupunem ca exista o infinitate numarabila de elemente compacte.
este algebric
rezulta ca oricare ar fi
,
exista
compact astfel încât
, dar
rezulta
rezulta ca
. Din
rezulta
. Prin urmare
atunci multimea elementelor
compacte este baza numarabila. ■
I.3. Relatia " mult mai jos " în spatii topologice.
Fie spatiu topologic,
familia
multimilor deschise atunci
este latice în raport
cu incluziunea
, si fie
. Atunci
înseamna ca pentru
oricare acoperire deschisa a lui
exista o
subfamilie finita a acestei acoperiri care acopera
. În aceasta
situatie este potrivit sa spunem ca
este compact în
.
Fie ,
si fie
o acoperire cu
multimi deschise a lui
. Proprietatiile relatiei
nu pot fi aplicate
direct lui
deoarece
nu este dirijata.
Aceasta familie poate fi transformata usor într-o famile
dirijata.
Mai precis fie familia tuturor
reuniunilor finite de multimi din
. Atunci
este evident dirijata în raport cu incluyiunea
, deoarece pentru doua reuniuni finite arbitrare de
multimi din
reuniunea acestora
este tot o reuniune finita de elemente din
care include fiecare
din reuniunile din care este formata.
În plus se
observa rezulta ca
si
este o acoperire cu
multimi deschise a multimii
si în plus
este dirijata.
Din
definitia relatiei rezulta atunci
ca exista un element din
care contine
, adica exista o subacoperire finita a lui
a multimii
.
Reciproc, presupunem
ca în orice acoperire deschisa a lui exista un numar finit de elemente a
caror reuniune contine (acopera)
.
Fie o acoperire
deschisa a lui
care este si
dirijata. Conform ipotezei exista un numar finit de multimi
în
astfel încât
, dar
este si
dirijata de aici rezulta ca exista
astfel încât
, dar atunci
si rezulta
.
Se spune ca
este nucleu
compact daca pentru
si
exista o
multime deschisa
cu
si
compact in
.
este nucleu compact
daca si numai daca oricare ar fi
exista un sistem
fundamental de vecinatati deschise si compacte.
Teorema I.3.1 este nucleu compact daca si numai
daca
este o latice
continua.
Demonstratie Presupunem ca X este nucleu compact.
Fie G deschis atunci
Aratam
ca .
Evident
Fie . Pentru ca
este nucleu compact
rezulta ca exista
deschisa cu
si
.
rezulta
deci
.
Reciproc,
presupunem latice continua adica oricare ar fi
Daca rezulta ca
exista
deschis cu
si
atunci rezulta
este nucleu compact.
■
înseamna ca
exista o multime compacta astfel încât
. Daca
este o acoperire
deschisa pentru
, atunci este o acoperire deschisa pentru
, deci contine o subacoperire finita a acesteia,
care va fi acoperire finita si pentru
, deci
.
Teorema I.3.2 Topologia unui spatiu local compact este
o latice distributiva continua in care daca si numai daca
.
Demonstratie Într-un spatiu local compact are loc si
relatia deoarece compactitatea
locala înseamna aici ca orice punct are un sistem fundamental de
vecinatati compacte.
Ultima reuniune
este dirijata care poate fi deci folosita in definitia lui care ne da
pentru un W, atunci
. Prin urmare
daca si
numai daca
. ■
Un spatiu este local compact daca pentru orice
multime deschisa
si orice
cu
exista o
multime deschisa
si o multime
compacta
, astfel încât
. Aceasta se exprima echivalent prin a spune ca
orice vecinatate compacta a acestui punct, adica orice punct al
spatiului poseda un sistem fundamental de vecinatati .
În aceasta
proprietate se poate înlocuii punctul cu o multime compacta. Mai
precis, daca este local compact,
este o multime compacta
si
o multime deschisa
cu
, atunci exista o multime deschisa
si una
compacta
astfel încât
.
Într-adevar,
sa pornim de la . Pentru fiecare
exista o
multime deschisa
si una
compacta
, astfel încât
si
.
Rezulta este o acoperire
deschisa a lui
. Din ea se poate extrage o subacoperire finita
a lui
.
Fie atunci si
. Rezulta ca
este multime deschisa
si
este multime
compacta (o reuniune
finita de multimi compacte este evident compacta
În concluzie
rezulta .
|