Matematica
True/False
Indicate whether the sentence or statement is true or false.
Fie vectorii b 2, 4, 5 , b , b
B = formeaza o baza īn R
Functionala
f R R; f x 5x x 4x este o functionala liniara
Functionala
f R R; f x 5x x 4x este o functionala liniara
Vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar T R R avānd matricea atasata
A
sunt liniar independenti ?
Daca functia f e diferentiabila īn (x , y ) atunci ea este continua īn acest punct.
Daca functia f are derivate partiale f'x, f'y īntr-o vecinatate V a lui (x ,y si daca aceste derivate
partiale sunt continue īn (x , y ) atunci functia f este diferentiabila īn (x , y
____ 7. Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut schema:
Linia pivotului in iteratia urmatoare este 0,0,
____ 8. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Solutia gasita este cea optima.
____ 9. Trei depozite aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine astfel:
Disponibil
Necesar 10 15 15 40
Problema este echilibrata.
____ 10. Vectorii (1,5) si (2, -9) sunt liniar independenti.
____ 11. Vectorii (2, -1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial
____ 12. Vectorii (-2, 3) si (1, -1) formeaza o baza a spatiului vectorial .
____ 13. Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2, -1) deoarece
____ 14. Vectorii (1, 2, -1), (3, 2, 5) si (4, 4, 4) sunt liniar independenti in
____ 15. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 si 1.
____ 16. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 si 5.
____ 17. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y, 3x+y+z).
____ 18. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x-y, x-y+z).
____ 19. este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y, x+3y).
____ 20. Se considera functia . Atunci
____ 21. Se considera functia . Atunci .
____ 22. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
____ 23. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
____ 24. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
____ 25. Orice functie are puncte stationare.
____ 26. Orice functie are cel mult 1 punct de extrem.
____ 27. Orice functie are cel mult 2 puncte stationare.
____ 28. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi si intr-o vecinatate V a unui punct si daca
si sunt continue in (a, b), atunci .
____ 29. Se considera , . T este o transformare liniara.
____ 30. Se considera , . T este o transformare liniara
____ 31. Se considera , . T este o transformare liniara
____ 32. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.
____ 33. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.
____ 34. Ecuatia diferentiala este o ecuatie liniara de ordinul intai..
____ 35. Forma standard a problemei de programare liniara
este
____ 36. Forma standard a problemei de programare liniara
este
____ 37. Forma standard a problemei de programare liniara
este
____ 38. Forma standard a problemei de programare liniara
este
____ 39. Sistemul de ecuatii
este incompatibil.
____ 40. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
Problema de transport este echilibrata.
____ 41. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N-V este , , ,
____ 42. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este , , ,
____ 43. Se considera functia . Atunci f nu are puncte stationare.
____ 44. Radacinile polinomului caracteristic al unei aplicatii liniare se numesc puncte critice.
____ 45. Vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii distincte ale unei aplicatii liniare sunt liniar dependenti.
____ 46. O forma patratica este negativ definita daca minorii impari sunt strict pozitivi si cei pari
sunt strict negativi.
____ 47. O forma patratica este pozitiv definita daca toti minorii sai sunt strict pozitivi..
____ 48. Daca functia are derivate partiale intr-un punct de extrem , atunci derivatele partiale de
anuleaza in acest punct '( , ) '( fx a b f y a,b)
____ 49. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este punct de
minim.
____ 50. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este punct de
maxim.
____ 51. Trei vectori liniar dependenti formeaza o baza a spatiului vectorial ?
____ 52. Trei vectori liniar independenti formeaza o baza a spatiului vectorial ?
____ 53. Patru vectori din formeaza o baza a spatiului vectorial .
____ 54. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este ?
____ 55. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este ?
____ 56. In spatiul vectorial , vectorul este vector propriu?
____ 57. Matricea asociata unei forme patratice este simetrica?
____ 58. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.
____ 59. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.
____ 60. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
____ 61. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.
____ 62. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena.
____ 63. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.
____ 64. Ecuatia diferentiala este ecuatie diferentiala de ordinul intai.
____ 65. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?
____ 66. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
____ 67. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
____ 68. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
____ 69. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?
____ 70. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
____ 71. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
____ 72. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile? T
Matematica - Algebra
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
____ 1. Fie urmatoarea forma patratica:
Aflati matricea asociata acestei forme patratice.
a.
c.
b.
d.
____ 2. Fie urmatoarea forma patratica:
Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice
a. c.
b.
____ 3. Fie urmatoarea forma patratica:
Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
____ 4. Fie un operator liniar ca re in baza canonica este dat de matricea :
.Precizati polinomul caracteristic asociat acestui operator.
a. c.
b. d.
____ 5. Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea :
.Aflati valorile proprii asociate acestui operator.
a. c.
b. d.
____ 6. Fie operatorul liniar , unde .Determinati spatiul vectorial X
a. c.
b
____ 7. Fie operatorul liniar , unde .Precizati matricea asociata acestui operator liniar.
a.
c.
b.
d.
____ 8. Fie operatorul liniar , unde .Determinati polinomul caracteristic asociat acestui
operator
a. c.
b. d.
____ 9. Fie operatorul liniar , unde . Aflati valorile proprii asociate pentru acest operator
liniar.
a. c.
b. d.
____ 10. Fie operatorul liniar , unde .Aflati vectorii proprii asociati acestui operator liniar.
a. c.
b. d.
____ 11. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza canonica din spatiul
a. 1,1,1 c. 2,2,2
b. 1,2,2 d. 1,0,1
____ 12. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza
din spatiul
a. -1/3,-1/3,-1/3 c. 2/3,1/3,2/3
b. 1/3,1/3,1/3 d. -1/6,1/3,1/3
____ 13. Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut :
A I
Detrminati pornind calculele de la schema data
a.
c.
b.
d.
____ 14. Se da forma biliniara urmatoare:
Scrieti matricea asociata
a.
c.
b.
____ 15. Se da matricea: atasata unei forme biliniare. Scrieti forma biliniara corespunzatoare.
a. c.
b. d.
____ 16. Se da forma patratica
Se se reduca la forma canonica utilizand metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
d.
____ 17. Se da forma patratica
Sa se calculeze minorii matricei asociate acestei forme patratice.
a. c.
b. d.
____ 18. Sa se reduca la forma canonica forma patratica
Scrieti minorii asociati acestei forme patratice
a. c.
b. d.
____ 19. Sa se reduca la forma canonica urmatoarea forma patratica
(Utilizand metoda lui Jacobi)
a.
c.
b.
d.
____ 20. Fie urmatorul operator :
Precizati pe ce spatiu X se lucreaza
a. c.
b. d
____ 21. Sa se scrie matricea operatorului :
a.
c.
b.
____ 22. Sa se determine suma valorilor proprii pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica
a. c.
b. d.
____ 23. Pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica
stabiliti care este ecuatia caracteristica
a. c.
b. d.
____ 24. Pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica aflati vectorii proprii asociati.
a. a(1,1,-1),b(-1,-1,-1),c(1,1,1),
a,b,c \
c. a(1,0,-1),b(-1,1,-1),c(1,2,1), a,b,c \
b. a(1,0,-1),b(1,1,1),c(2,2,1), a,b,c \ d. a(2,0,-1),b(-1,1,-1),c(2,2,1), a,b,c \
____ 25. Scrieti ecuatia caracteristica pentru operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
a. c.
b.
____ 26. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
Aflati produsul valorilor proprii asociate acestui operator
a. 3 c. 4
b. -3 d. -4
____ 27. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
Stabiliti care sunt vectorii proprii asociati acestui operator:
a. (a,a),(b,b), c. (a,a),(b,b),
b. (a,-a),(b,b), d. (a,-a),(b,2b),
____ 28. Fie matricea . Scrieti forma biliniara corespunzatoare:
a. c.
b. d.
Fie vectorii v , v R v si v Sa se scrie vectorul v ca o combinatie
liniara a valorilor v , v
a.
v 5v 3v c.
v 3v 5v
b.
v 5v 3v d.
v 5v 3v
Fie A = unde a , a , a
Sa se scrie vectorul v ca o combinatie liniara in baza A =
a.
a a a
v
c.
a a a
v
b.
a a a
v
d.
a a a
v
Fie vectorii v , v R v si v Sa se scrie vectorul ca o combinatie
liniara a valorilor v , v
a. c.
b. d.
Fie vectorii b , b , b si B = baza īn R . Sa
se exprime vectorul v ca o combinatie liniara īn baza B =
a.
v b b b
c.
b
b
b
v
b.
v b b b
d.
v b b b
Fie V spatiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K si T : V V o aplicatie liniara. Un
scalar K se numeste ... pentru aplicatie liniara T daca exista cel putin un vector nenul v V
astfel īncāt:
T(v) = v.
a. valoare proprie c. valoare caracteristica
b. vector propriu d. alt raspuns.
Vectorul nenul v V care verifica relatia T(v) = v se numeste ... pentru aplicatia T asociata
valorii proprii
a. valoare proprie c. valoare caracteristica
b. vector propriu d. alt raspuns
Polinomul P( ) = det (AT En) se numeste ... asociat aplicatiei liniare T ecuatia P( ) = 0 se
numeste ecuatia caracteristica a aplicatiei T.
a. valoare proprie c. valoare caracteristica
b. polinom caracteristic d. alt raspuns
Ecuatia det (AT En)=0 se numeste ... a aplicatiei T.
a. ecuatie caracteristica c. valoare caracteristica
b. polinom caracteristic d. alt raspuns
Scr ieti m atricea asociata operatoru lui liniar dat de
T x , x x 5x x ,4x x ;T R R
a.
A
c.
A
b.
A
d.
A
Scrieti matricea asociata operatorului liniar dat de
T x , x 3x 4x x , x 2x 2x , x x ;T R R
a.
A
c.
A
b.
A
d.
A
Aduceti la forma canonica forma patratica urmatoare
V x 2x 3x x 2x x 2x x
utilizati metoda lui Jacobi.
a.
V x y y y
c.
V x y y y
b.
V x y y y
d. alt raspuns
Determinati a, a R astfel īncāt forma patratica urmatoare sa fie pozitiv definita
V x 2x 3x ax 2x x 2x x
a.
a
c.
a
b.
a
d. alt raspuns
Determinati valorile proprii ale operatorului liniar T R R avānd matricea atasata
A
a. c.
b. d.
Determinati vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar T R R avānd matricea atasata
A
a. c. v 0,a , a R; v 8b, 8b ,b R
b. v 0,a , a R; v b,8b ,b R d. alt raspuns.
Fie vectorii din spatiul R : v = ( 1, 4, 2 ); v = ( -1, 2, 0 ); = ( 3, 2, 5 ). Stabiliti daca
a. vectorii sunt liniari dependenti c. vectorii sunt liniari independenti
b. multimea B = formeaza
o baza a spatiului R
d. alt raspuns
Sa se exprime vectorul v = ( 2, 1, 3 ) ca o combinatie liniara in baza B =
v = ( 1, 4, 2 ) ; v = (-1, 2, 0 ); v
a.
v =
v
v
v
c.
v =
v
v
v
b.
v =
v
v
v
d. alt raspuns
Stabiliti natura formei patratice urmatoare
g(x)= 8x
- 6x x + 2x x + 4x
a. pozitiv definita
c. semipozitiv definita
b. negativ definita
d. nedefinita
Valorile proprii ale operatorului liniar T: R³ R³,
T(v) = ( 4v - v + v , v + 3v - v , v + v ) sunt:
a.
c.
b.
d.
Radacinile ecuatiei caracteristice asociate unei aplicatii liniare se numesc :
a. valori proprii
c. vectori proprii
b. puncte de extrem local
d. vectori liniar independenti
Matricea asociata unei forme patratice:
a. are determinantul zero
c. are rangul 3
b. este simetrica d. are determinantul diferit de zero
Daca intr-o forma patratica i
> 0 pentru i par, si i
< 0 pentru i impar, atunci forma patratica este:
a. nedefinita
c. seminegativ definita
b. negativ definita
d. pozitiv definita
Sa se rezolve cu metoda eliminarii (pivotului) sistemul:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a. sistemul este incompatibil
c. x = -1; x = 2; x = -1; x
b. x = 1; x = 2; x = -1; x
d. sistemul este compatibil simplu
nedeterminat
(1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca
a. pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
b. exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
c. daca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) atunci a=b =0
d. nu exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
(1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca
a. pentru orice numere reale a,b avem ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
b. exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
c. daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0
d. nu exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
Cat este 2(1,1)+3(0,1)?
a. (2,4) c.
b. (3,4) d. (3,5)
Se considera transformarea liniara
Care din urmatoarele matrici este matricea lui in baza canonica a lui ?
a.
c.
b.
d.
Se considera transformarea liniara
Valorile proprii ale transformarii sunt
a. c.
b. d.
Se considera transformarea liniara
T(x,y,z)=(3x,3y+z,y+3z)
Valorile proprii ale transformarii sunt
a. c.
b. d.
Se considera transformarea liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
Atunci
a.
b.
c.
d.
Se considera forma patratica
Forma canonica a acestei forme patratice este
a.
c.
b.
d.
Se considera forma patratica
Forma canonica a acestei forme patratice obtinuta cu metoda lui Jacobi este
a.
c.
b.
d.
____ 60. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza canonica a
lui este
a.
c.
b.
d.
____ 61. Se considera functia .
Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul
a. x c. 2y
b. d. z
____ 62. Se considera functia .
Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul
a. x c. 2y
b. d. z
____ 63. Valorile proprii ale matricii sunt
a. c.
b. d.
____ 64. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza canonica a
lui este
a.
c.
b.
d.
____ 65. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza canonica a
lui este
a.
c.
b.
d.
____ 66. Valorile proprii ale matricii sunt
a. c.
b. d.
____ 67. Se da transformarea liniara T(x,y)=(2x+y,x-5y). Matricea asociata acestei transformari liniare in baza
canonica a lui este
a.
c.
b.
d.
____ 68. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b.
d.
____ 69. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b.
d.
____ 70. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b.
d.
____ 71. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al acestei
transformari este
a. c.
b. d.
____ 72. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al acestei
transformari este
a. c.
b. d.
____ 73. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al acestei
transformari este
a. c.
b. d.
____ 74. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al acestei
transformari este
a. c. P
b. d.
____ 75. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al acestei
transformari este
a. c. P
b. d.
____ 76. Fie urmatoarea forma patratica:
Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice(metoda lui Jacobi)
a. c.
b.
____ 77. Fie urmatoarea forma patratica:
Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
Matematica - Analiza
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul īntāi pentru urmatoarea functie:
f x, y = x 2xy y
a. fx (x, y) x y ; f y (x, y) x y c. fx (x, y) x 2y ; f y (x, y) x y
b. fx (x, y) x 2y ; f y (x, y) x yd. alt raspuns.
Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul īntāi pentru urmatoarea functie:
f x, y = (x y
a. fx (x, y) x(x y ); f y (x, y) y(x cy ) fx (x, y) 2x(x y ); f y (x, y) y(x y
b. fx (x, y) 4x(x y ); f y (x, y) 4 y(x d. ya lt) raspuns.
Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul al doilea pentru urmatoarea functie:
( , ) ln ln x ln(x y)
x y
x
f x y
a.
f yx x y
x y
f y x y
x y
c.
fx x y
x x y
f yx x y
x y
f y x y
x y
b.
fx x y
x x y
f yx x y
x y
f y x y
x y
d. alt raspuns.
Sa se gaseasca punctele stationare ale functiei urmatoare:
f(x, y) = x + y - 4x - 2y + 5 (x, y) R
a. M(2,1) c. M(-2,1)
b. M(2,-1) d. M(-1,2)
Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei urmatoare:
f(x, y) = x + y - 4x - 2y + 5 (x, y) R
a. M(2,1) punct de maxim c. M(-2,1) punct de maxim
b. M(2,1) punct de minim
d. M(-1,2) punct de maxim
Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei urmatoare
y
x
f (x, y) cu conditia x+y=1 definit pe R
a.
punct de minim
c.
, pentru
P punct de
minim
b.
, pentru
P punct de
maxim
d.
d)
, pentru
P punct de
maxim
Scrieti diferentiala de ordinul intai a functiei
f(x,y) = x+3y+2(x +y
a. c.
b. d.
Scrieti diferentiala de ordinul intai a functiei
f (x, y) 2(x y 1)
x y
a.
c.
b.
d.
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y
Derivata partiala a lui f īn raport cu x este:
a. c.
b. d.
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y
Derivata partiala a lui f īn raport cu y este:
a. c.
b. d.
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y . f are punct stationar pe:
a. M(1,-1) c. M(0,0)
b. M(-1,1)
d. M(3,0)
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y .Derivata partiala de ordinul al
doilea a lui f īn raport cu x este:
a.
x
f x y
c.
x
f x y
b.
x
f x y
d.
x
f x y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y . Derivata partiala de ordinul
al doilea a lui f īn raport cu y este:
a.
y
f x y
c.
y
f x y y
b.
y
f x y
d.
y
f x y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y .Alege valoarea corecta pentru
fxy x, y
a. fxy x, y
c. fxy x, y xy
b. fxy x, y
nu exista
d. fxy x, y
Se da functia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y . Estimānd valoarea expresiei
x y xy
f f f
si tinānd cont de valoarea
x
f
, stabileste natura punctului
critic M(1,-1):
a. punct de minim local
c. nu se poate spune nimic despre natura
punctului M(1,-1)
b. punct de maxim local
d. nu este punct de extrem local
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y
Derivata partiala a lui f īn raport cu x este:
a. fx x, y 2x
c. fx x, y 2x
b. fx x, y y
d. fx x, y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y
Derivata partiala a lui f īn raport cu y este:
a. f y x, y y
c. f y x, y 2y
b. f y x, y y
d. f y x, y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y
Functia are punct stationar pe:
a. M(1,-6)
c. M(0,0)
b. M(-1,6)
d. M(1,0)
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y . Derivata partiala de ordinul al
doilea a lui f īn raport cu x este:
a.
x
f x y
c.
x
f x y
b.
x
f x y
d.
x
f x y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y . Derivata partiala de ordinul al
doilea a lui f īn raport cu y este:
a.
y
f x y
c.
y
f x y y
b.
y
f x y
d.
y
f x y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y . Alege valoarea corecta pentru
fxy x, y
a. fxy x, y
c. fxy x, y
b. fxy x, y
nu exista
d. fxy x, y
Se da functia de doua variabile f (x, y) (x ( y . Estimānd valoarea expresiei
x y xy
f f f
si tinānd cont de valoarea
x
f
, stabileste natura punctului
critic M(1,-6):
a. punct de maxim local
c. punct de minim local
b. nu este punct de extrem local
d. nu se poate spune nimic despre natura
punctului (1,-6)
Se da functia de doua variabile f (x, y) xy
Derivata partiala a lui f īn raport cu x este:
a. fx x, y
c. fx x, y y
b. fx x, y x
d. fx x, y
Sa se integreze ecuatia diferentiala : x y dx + y x dy = 0
a. x y + c
c.
x y + c
b.
ln ( 1 +x y + c
d. alt raspuns
Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy
, x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt:
a.
xy
f x y x
x y
f x y y
y
x
c.
x y
f x y x
x y
f x y y
y
x
b.
x y
f x y x y
f x y x y
y
x
d.
xy
f x y x
xy
f x y y
y
x
Punctul stationar pentru functia:
f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy
cu x >0, y >0 este
a. M(2, 5) c. M(-2, -5)
b. M(2, 3) d. nu exista
Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy
cu x >0, y >0 admite
a. punct de maxim local M(2, 5)
c. nu admite puncte de extreme local
b. punct de minim local M(2, 5) d. punct de minim local M(2, 3)
Sa se integreze ecuatia diferentiala:
(1 + y ) + xyy
a.
x y = c
c. x(1 + y ) = c
b.
x y = c
d.
-x y = c
Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y
xy
x y
a.
2x
y
= ln x + c
c.
2x
y x
= 2ln x +c
b.
2x
x y
= ln x + c
d. alt raspuns
Fie , rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I se determina:
a. punctele de maxim local c. punctele stationare
b. punctele de minim local
d. matricea hessiana
Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x + y + z - xy + x - 2z,
(x, y, z) R este
a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - x)dy
+ (2z - 2)dz
c. d f(x, y, z) = (x + y + z )dx + (1-
+ (2z - 2)dz
xy)dy + (x-2z)dz
b. d f(x, y, z) = (2x - xy + x)dx + y
dy + (z -2z)dz
d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y -
xy)dy+(2z - 2)dz
Functia f (x,y) = x + - 3xy definita pe
a. admite punct de minim local M(1, 1)
c. nu admite puncte de extrem
b. admite punct de maxim local M(-1, 1)
d. admite puncte de minim local pe
M(3, 2) si N(-1, 1)
Functia f(x, y, z) = - 2x - 4y - 6z definita pe R are:
a. toate derivatele de ordin 2 nule
c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2
b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule
d. toate derivatele de ordin 2 strict
pozitive
Se da functia de doua variabile f (x, y) xy
Derivata partiala a lui f īn raport cu y este:
a. f y x, y
c. f y x, y y
b. f y x, y x
d. f y x, y
Se da functia de doua variabile f (x, y) xy
Diferentiala de ordinul I a lui f este
a. df dx dy c. df ydx dy
b. df dx xdy d. df ydx xdy
Se da functia de doua variabile f (x, y) x y
Derivata partiala a lui f īn raport cu x este:
a. fx x, y y
c. fx x, y 2y
b. fx x, y 2x
d. fx x, y x
Se da functia de doua variabile f (x, y) x y
Derivata partiala a lui f īn raport cu y este:
a. f y x, y x
c. f y x, y 2y
b. f y x, y 2x
d. f y x, y y
Se da functia de doua variabile f (x, y) x y
Diferentiala de ordinul I a lui f este
a. df x dx y dy
c. df
b. df dx dy d. df 2xdx 2ydy
Fie ecuatia diferentiala y xy
Ecuatia este
a. cu variabile separabile
c. o ecuatie cu derivate partiale de
ordinul īntāi
b. liniara de ordinul īntāi
d. liniara de ordinul al doilea
O forma echivalenta a ecuatiei y xy este
a. ydy xdx c. dy xy
b.
xdx
y
dy
d. dx xy
Solutia ecuatiei y xy este data de
a.
c. y
b.
C
x
y
d. y x
Fie ecuatia diferentiala y x
Ecuatia este
a. liniara de ordinul intai
c. ecuatie omogena
b. cu variabile separabile
d. ecuatie diferentiala de ordinul doi
O forma echivalenta a ecuatiei y x este
a. dy x c. dy (x 1)dx
b.
x
x
dy
d. dx x
Solutia ecuatiei y x este data de
a.
x
y
c.
b. y x x
d. y x
Scrieti diferentiala de ordinul intai a functiei
a. c.
b. d.
____ 46. Consideram functia . Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu x este
a.
b.
c.
d.
____ 47. Consideram functia . Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu y este
a.
b.
c.
d.
____ 48. Consideram functia . Atunci diferentiala de ordinul al doilea a lui f este
a.
b.
c.
d.
____ 49. Se da functia de doua variabile . Derivata partiala a lui f in raport cu x este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
____ 50. Se da functia de doua variabile . Derivata partiala a lui f in raport cu y este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
____ 51. Se da functia de doua variabile . Diferentiala de ordinul al doilea al lui f este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
____ 52. Derivata partiala a lui in raport cu variabila x este egala cu
a. c.
b. d.
____ 53. Derivata partiala la lui in raport cu variabila x este egala cu
a. c.
b. d.
____ 54. Derivata partiala la lui in raport cu variabila y este egala cu
a. c.
b. d.
____ 55. Derivata partiala a lui in raport cu variabila y este egala cu
a. c.
b. d.
____ 56. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 6y
____ 57. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
____ 58. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
____ 59. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
____ 60. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice)
ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (1,1,),(0,0)
b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare
____ 61. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite deasemenea
puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (1,2)
b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
____ 62. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite deasemenea
puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (2,3)
b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare
____ 63. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite deasemenea
puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (5,2)
b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
____ 64. Se considera functia . Atunci
punctul (0,0) este un punct
a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local
b. de maxim local pentru f(x,y)
____ 65. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare
a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y
b. d.
Care din urmatoarele ecuatii nu reprezinta o ecuatie diferentiala?
a.
c.
b.
d.
Care din urmatoarele ecuatii diferentiale este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile?
a.
c.
b.
d.
Care este solutia generala a ecuatiei diferentiale
a.
, A este o constanta
b.
, A este o constanta
c.
A este o constanta
d.
, A este o constanta
____ 69. Fie . Sa se calculeze
a. c.
b. d.
____ 70. Fie . Sa se calculeze
a. c.
b. d.
____ 71. Fie . Atunci
a.
c.
b.
d.
____ 72. Fie . Atunci
a.
c.
b.
d.
____ 73. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
____ 74. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
____ 75. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
Matematica - Programare liniara
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
Fie problema de programare liniara:
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Sa se aduca la forma standard pentru simplex.
a.
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
b.
c.
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
d.
[max] 5 10 20
i
f x x x Mx Mx Mx
x x x x
x x x x
x x x x
x i
____ 2. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui
a.
b.
c.
____ 3. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
e. intra , iese
____ 4. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a.
b.
c.
d. alt raspuns
____ 5. Fie problema de programare liniara
Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara este
a. c.
b. d.
____ 6. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui
a.
b.
c.
d.
____ 7. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
____ 8. Fie problema de programare liniara
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:
Linia lui este
a. 3, 0, 0, -4
b. -3, 0, 0, 4
c. 7, 8, 0, 0
d. -7, -8, 0, 0
____ 9. Fie problema de programare liniara
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:
Pivotul se afla pe coloana lui
a.
b.
c.
d.
____ 10. Fie problema de programare liniara
a. problema are optim infinit;
b. solutia optima este , ,
c. solutia optima este , ,
d. solutia optima este , ,
____ 11. Fie problema de programare liniara
Matricea asociata formei standard este
a.
c.
b.
d.
____ 12. Fie problema de programare liniara
Duala acestei probleme de programare liniara este
a. c.
b. d.
____ 13. Fie problema de programare liniara
Duala acestei probleme de programare liniara este:
a. c.
b. d.
____ 14. Fie problema de programare liniara
Matricea asociata formei standard are prima linie:
a. 3 0 2 5 0 1
b. 3 2 5 4
c. 3 0 2 5 0 -1
d. alt raspuns
____ 15. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:
Baza initiala pentru algoritmul simplex este
a.
b.
c.
d.
____ 16. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:
Linia lui este
a. 12, 9, 2, 8, 12, 5, 0
b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0
c. 0, 9, 2, -2, 12, 5, 0
d. alt raspuns
____ 17. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:
Pivotul se afla pe coloana lui
a.
b.
c.
d.
____ 18. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:
Ce decizie se ia?
a. s-a obtinut solutia optima
b. problema are optim infinit
c. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza
d. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza
____ 19. Fie problema de programare liniara
Atunci
a. problema are optim infinit
b.
c.
d.
____ 20. Se considera problema de transport:
Disponibil
Necesar 30 40 60
O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V este
a. , , , , , in rest
b. , , , , , in rest
c. , , , , , in rest
d. , , , , , in rest
____ 21. Se considera problema de transport:
Disponibil
Necesar 30 40 60
O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie este
a. , , , , , in rest
b. , , , , , in rest
c. , , , , , in rest
d. , , , , , in rest
____ 22. Fie problema de programare liniara
Duala acesti probleme de programare liniara este
a. c.
b. d.
____ 23. Fie problema de programare liniara
Matricea sistemului restictiilor este
a.
b.
c.
d.
____ 24. Fie problema de programare liniara
Forma standard a problemei de programare liniara este
a.
b.
c.
d.
____ 25. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Linia lui este
a. 3, 5, 1, 6, 0, 0, 0
b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0
c. 3, 5, 1, 6, M, M, M
d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M
____ 26. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
f 0 0 0 0 0 0 0 0
Pivotul se afla pe
a. coloana lui , linia lui
b. coloana lui , linia lui
c. coloana lui , linia lui
d. coloana lui , linia lui
____ 27. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
f 0 0 0 0 0 0 0 0
Coloana lui din urmatorul tabel simplex este
a.
b.
c.
____ 28. Fie problema de programare liniara
A doua iteratie a algoritmului simplex este
B
f 120 3 0 3 6 3 0 0
Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
____ 29. Fie problema de programare liniara
Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex
B
f 200 13 5 18 6 3 5 0
Ce decizie se ia?
a. problema are optim infinit;
b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra in baza si iese
c. solutia obtinuta este cea optima si , ,
d. solutia obtinuta este cea optima si , ,
____ 30. Fie problema de programare liniara:
max f = .
Forma standard a problemei de programare liniara va fi
a. max f =
c. max f =
b. max f =
d. max f =
____ 31. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui:
a. d.
b. e.
c.
____ 32. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din baza
a. intra , iese d. intra , iese
b. intra , iese e. intra , iese
c. intra , iese
____ 33. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a. max f = 3200 ,
y=(200,0,400)
c. nu are solutie
b. max f = 3400 ,
y=(200,0,400)
____ 34. Fie problema de programare liniara:
, i=1,2,3
Baza initiala pentru algoritmul simplex este
a. d.
b. e. nu are baza initiala
c.
____ 35. Fie problema de programare liniara:
, i=
B
Linia corespunzatoare lui este
a. c.
b. d.
____ 36. Fie problema de programare liniara:
, i=1,2,3
Precizati care este solutia optima
a. si c. si
b. si d. si
____ 37. Fie problema de programare liniara:
min f =
Forma standard a problemei este :
a.
c.
b.
____ 38. Fie problema de programare liniara:
min f =
Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este:
a.
c.
b.
d.
____ 39. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Matricea asociata formei standard este
a.
c.
b.
d.
____ 40. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -M
B
-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0
-M 2 3 2 4 0 0 0 1
Linia corespunzatoare lui este:
a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1
b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1
____ 41. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -M
B
-M 7 5 -1 2 1 0 0 0
-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0
Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din baza
a. intra iese c. intra iese
b. intra iese d. intra , iese
____ 42. Fie problema de programare liniara:
min f =
Solutia problemei este
a. min f =-1/2
c. min f =0
b. min f =0
d. min f =1/2
____ 43. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui si a lui
a. =50, =5 c. =50, =10
b. =20, =10 d. =50, =20
____ 44. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui si a lui
a. =10, =25 c. =10, =20
b. =5, =25 d. =15, =20
Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:
max f = 4x + 10x +9x
x + x + 2x
2 x + x + 4x
x + x + x
x i 0 ; i =
a.
max f = 4x + 10x +9x +0y +0y +0y
x + x + 2x + y
2x + + 4x + y
x + x + x + y
x i 0 ; i =
y , y , y
b. max f = 4x + 10x +9x
x + x + 2x + y
2x + x + 4x - y
x + x + x - y
x i 0 ; i =
y <0; y , y >0
c. min f = 0
x + x + 2x + y
2x + x + 4x + y
x + x + x + y
x i 0 ; i =
y , y , y
d. alt raspuns
____ 46. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui si a lui
a. =10, =15 c. =10, =20
b. =5, =25 d. =15, =20
____ 47. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 80
b. 50 d. 60
____ 48. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 10
b. 50 d. 60
____ 49. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 80
b. 50 d. 60
____ 50. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 55
b. 50 d. 60
____ 51. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 20
b. 50 d. 60
____ 52. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transport
a. 665 c. 500
b. 765 d. 400
____ 53. Fie problema de programare liniara
Duala sa este
a. c.
b. d.
____ 54. Fie problema de programare liniara
Forma standard este
a. c.
b. d.
____ 55. Fie problema de programare liniara
Matricea problemei in forma standard este
a.
c.
b.
d.
____ 56. Fie problema de programare liniara
Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este
a.
c.
b.
d.
|
