Matematica

Matematicã

Cifre romane:

1=I;4=IV;5=V;6=VI;9=IX;10=X; 11=XI; 14=XIV;15=XV; 16=XVI;19=IXX;20=XXD; 50=L;100=C;500=D;1000=M.

Fractii:

¾:3=numãrãtor(câte pãrti egale au fost luate din întreg); 4=numitor(în câte pãrti egale a fost înpãrtit

întregul);/=liniuta de fractie.

-Fractiile care reprezintã aceeas parte din întregi identici sunt fractii egale:2/3;4/6.

-Fractia echivalentã este fractia care are numãrãtorul egal cu numitorul:4/4=1.

-Fractia subunitarã este fractia care are numãrãtorul naimic decât numitorul:3/8;3<8.

-Fractia supraunitarã este fractia care are numãrãtorul mai mare decât numitorulª8-3s8:3.

-Dintre douã fractii cu numitorii egali este mia mare fractia care are numârâtorul mai mare:6/8>3/8.

-Dintre douã fractii cu numãrãtorii egali este mai mare fractia care are numitorul mai mic:3/8>3/10.

-Pt. a afla cât reprezintã o fractie dintrun nr. nat. împãrtim nr. la numitorul fractiei si înmultim rezultatul cu numãrãtorul:7/9din 36è36:9x7=28è7/9din36=28

Unitãti de mãsurã

1)Metrul:

Lungimile se mãsoarã cu metrul,multiplii si submultiplii lui care cresc si descresc din 10 în 10.

1m=10dm

1dm=10cm

1cm=10mm

1m=10dm=100cm=1000mm

1dam=10m

1hm=10 dam

1km=10hm

1km=10hm=100dam=1000m

2Kilogramul:

a)submultiplii:hectogramul(hg.); decagramul(dag.) ;gramul(g.);

decigramul(dg.); centigramul(cg.); miligramul(mg.)

b)multiplii:quntalul(q.);tona(t.)

1kg=10hg=100dag=1000g

1g=10dg=100cg=1000mg

1t=10q=1000kg

1q=100kg

3Litrul:

a)submultiplii:decilitrul(dl.);centilitrul(dl.);mililitrul(ml.)

b)multipli:decalitrul(dal.);hectolitrul(hl.);kilolitrul(kl.)

1l=10dl=100cl=1000ml

1kl=10hl=100dl=1000l

Numere naturale

De multe ori nr. nat. se noteazã cu ajutorul literelor supraliniate.

Reprezentarea nr. nat. pe axã

Axa nr. este o linie dreaptã pe care s-a fixat un punct O numit origine, în sens de parcurgere pozitiv(sopre dreapta) si o unitate de mãsurã(segment de dreapã).

Numãrul care este asociat(corespunde)literei se numeste abscisã(coordonatã).

Ori care ar fidouã nr. nat.,,a" si ,,b" poate avea una din urmãtoarele situatii:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Compararea nr. nat

Spunem cã nr. nat. a este mai mic decât nr. nat. b dacã existã un nr. nat. diferit de 0,c astfel încât a+c=b si se noteazã a<b.

Dacã a<b sau a=b scriem scurtèa mai mic sau egal cu b, ,,d" este mai mic sau cel mult egal cu ,,b".

Spunem cã nr. nat. ,,n" este mai mare decât nr. nat. m dacã existã nr. nat diferit de 0 c astfel încât n=m+c

Adunarea nr. nat.

Adunarea este operatia care face ca douã sau mai multe nr. nat. sã corespundã unui singur nr.nat. numit sumã sau total.

Dacã schimbãm locul termenilor adunãrii suma rãmâne constantã(nu se schimbã).

(A)Într-o expresie(ex.)termenii pot fi grupati,asociati astfel încât timpul necesar efectuãrii sã fie foarte mic,a asocia=a grupa canvaeabil.

(N)Dacã adunãm orice nr. nat. cu 0 suma este acel nr.

Nr. 0 este element neutru la operatia de adunare.

Dacã trebuie sã efectuãm o sumã de nr. nat. consecucive si nr. termenilor este par asociem pe primul cu ultimul,al doilea cu primul s.a.m.d.

Când nr. termenilor sumei este impar îl neglijem pe ultimul si grupãm ceilalti termeniconvenabil.

Scãderea nr. nat.

D-S=RèS+R=D

D>sau=S

abc=a x b x c

abc=100 x a+10 x b+c

a+b

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) a+0=0+a=a

(=;R;S;T) rel. de echivalentã

(R) a=a

(S) a=bèb=a

(T) a=b si b=cèa=c

(< sau = R;A;T)=rel. de ordine

(R) a< sau =a

(A) a<sau=b si b<sau=aèa=b

(T) a<sau=b si b<sau=cèa<sau=c

Deoarece 1 este element neutru la operatia de înmultire,când 1 este factor al produsului el nu se scrie ci se subîntelege.

Împãrtirea nr. naturale

Ori care ar fi douã nr. nat. a si b existã douã nr. nat. q si r unic determinate astfel încât a=bxq+r unde q nu =0 si r<b.

a:b=q rest r a=bxq+r,q nu =0 si r<b

D:I=C rest R CxI+R=D

Teorema împãrtiri cu rest

Ori care ar fi nr. nat. a si b existã douã nr. nat. q si r unic determinate astfel încât bxq+r=a si b diferit de 0;r<b

a:b=q rest r bxq=r=a;b nu=0;r<b

Distributivitatea reduce nr.înmulttrilor dintr-o expresie prin scoaterea factorului comun.

Divizibilitatea

Spunem cã nr. nat. ,,a" este divizibil cu nr. nat. ,,b" dacã existã nr. nat. c diferit de 0 si bxc=a

b|a se citeste ,,b divide pe a"

,,a este divizibil cu b"

,,b este divizor al lui a"

,,a este multiplu de b"

Pt. a vedea dacã 2 nr. sunt divizibile împãrtim nr. mare la cel mic si observãm restul.

-Dacã restul împãrtiri este 0 atunci nr. sunt divizibile.

-Dacã restul împãrtiri este diferit de 0 atunci nr. nu sunt divizibile.

Dacã restul îmaãrtirii este 0 atunci câtul si împãrtitorul sunt diviyori ai deîmpãrtitului.

D:I=C rest 0

CxI=DèC|D

è I|D

Divizor

Divizorul unui nr. nat. este nr. nat. diferit de 0 care divide nr. dat.

d|n c nu =0 si cxd=n

Dacã ,,d" divide pe ,,n" spunem cã ,,d" este divizor al lui ,,n".

1 este divizor al orcãrui nr. nat.

Nr. care are numai divizori improprii se numeste nr. prim.

Criterii de divizibilitate

C10: Un nr. nat. este divizibil cu 10 dacã cifra unitãtilor este 0.

10|abc c=0

C5: Un nr. nat. este divizibil cu 5 dacã cifra unitãtilor este 0 sau 5.

5|abc c=0;c=5

C2: Un nr. nat. este divizibil cu 2 dacã cifra unitãtilor este parã.

2|abc c=0;2;4;6;8

Dacã un nr. nat. este divizibil cu 10 atunci el este divizibil si cu 2 si cu 5.

Când trebuie sã scãdem dintr-un nr. o difrerentã neefectuatã adunãm nr. cu scãzãtorul iar din sumã scãdem descãzutul.

Rezolvarea pb. cu ajutorul ecuatei

Când rezolvãm o pb. cu ajutorul ecuatei parcurgem urm. etape:

Însusirea enuntului pb.;

Stabilirea necunoscutei;

Stabilirea unor relatii între datele pb. si necunoscutã;

Punerea pb. în ecuate;

Rezolvarea ecuatiei;

Interpretarea solutei.

Puteri

Puterea care are exponenentul nr. nat este o înmultirerepetatã în care baza figureazã ca factor de câte ori indicã exponentul.

Orice putere care are exponentul 0 si baza diferitã de 0 este egalã cu 1.

Dacã putreile au si bazele si exponentii diferiti atunci pt. a le compara trebuie sã la educem la aceeasi bazã sau exponenet.Când nu este posibil la comparãm cu acelasi nr.

Tabla puterilor

1la n=1

2la0=1

2la1=2

2la2=4

2la3=8

2la4=16

2la5=32

2la6=64

2la7=128

2la8=256

2la9=512

2la10=1024

3la0=1

3la1=3

3la2=9

3la3=27

3la4=81

3la5=243

4la0=1

4la1=4

4la2=16

4la3=64

4la4=256

4la5=1024

5la0=1

5la1=5

5la2=25

5la3=125

5la4=625

5la5=3125

6la0=1

6la1=6

6la2=36

6la3=216

6la4=1296

6la5=7776

7la0=1

7la1=7

7la2=49

7la3=343

7la4=2401

7la5=16807

8la0=1

8la1=8

8la2=64

8la3=512

8la4=4096

8la5=32768

9la0=1

9la1=9

9la2=81

9la3=729

9la4=6561

9la5=59049

10la0=1

10la1=10

10la2=100

10la3=1000

10la4=10000

10la5=100000

Pãtratul unui nr.

a la 2=axa

Puterea de ordinul 2 a unui nr. se numeste pãtratul acelui nr.

Când trebuie sã calculãm pãtratul unui nr.,înmultim nr. cu el însusi.

Tabla pãtratelor mai mare ca 10

Cubul unui nr.

a la 3=axaxa

Cubul unui nr. este o înmultire repetatã în care baza figureazã ca factor de 3 ori.

Un nr. este pãtrat perfect dacã existã un alt nr. nat. care are puterea de ordinul 2 egalã cu el.

Tabla cuburilor pânã la 10

Înmultirea puterilor care au aceeasi bazã

Când înmultim douã sau mai multe puteri care au aceeasi bazã,scriem o datã baza si adunãn exponentii.

Puterea unei alte puteri

Când calculãm puterea unei alte puteri scriem o datã baza si înmultim exponentii.

Când trebuie sã calculãm puterea unei alte puteri si nu existã nici o parantezã efectuãm puterile de sus în jos.

a la -n=1/a la n.Toate prop. 

Puterea unui produs

Când calculãm puterea unui produs de mai multi factori,calculãm pe rând puterea fiecãrui factor si înmultim rezultatele.

Împãrtiera puterilor care au bazele egale

Când împãrtim douã puteri care au bazele egale scriem o datã baza si scãdem exponentii.

Sisteme de numeratie

Baza sistemului de numeratie indicã câte cifre se folosesc pt. a scrie un nr. în aceastã bazã. Baza sistemului de numeratie mai indicã din cât cresc si descresc unitãtile de un anumit ordin în aceastã bazã.

Comparea puterilor

1)Dacã 2 puteri au bazele egale siexponentii sunt nr. nat. diferite de 0 atunci este mai mare puterea care are exponentul mai mare.

2)Toate puterile cu bazele egalecu 1 si exponentii nr. nat. sunt egale cu 1.

3)Dacã 2 puteri au exponentii egali cu nr. nat. diferite de 0 si bazele nr. nat. diferite este mai mare puterea care are baza mai mare.

4)Dacã puterile au si bazele si exponentii diferiti atuncipt. A le compara trebuie sã le aducem la aceiasi bazã sau exponent. Când nu este posibil le comparãm cu acelasi nr.

Ultima cifrã a unui numãr natural

Toate puterile lui 5 cu exponent nat. au ultima cifrã 5.

Toate puterile lui 6 cu exponent nat. au ultima cifrã 6.

Toate puterile lui 10 cu exponent nat. au ultima cifrã 0.

Toate puterile lui 1 cu exponent nat. au ultima cifrã 1.

Puterile lui 9 cu exponentul par au ultima cifrã 1.

Puterile lui 9 cu exponent impar au ulitma cifrã 9.

Observãm cã ulima cifrã a puterilor lui 2 cu exponent nat. se repetã din 4 în 4.

Prop. matematice compuse

,,/\"=ªI

,,\/"=SAU

O prop. compusã din 2 prop. legate între ele prin ,,si" este adevãratã dacã ambele prop. sunt adevãrate.

O prop. compusã din 2 prop. legate prin cuv. ,,sau" este falsã numai atunci când anbele prop. sunt false.

Negatia

Prin negarea unei prop. obt. o nouã prop. care este adevãratã dacã prop. initialã este falsã.

Multimi

Multimi:A,B,C,D,...........

Elemente:a,b,c,d,.............

Multimi de nmere

Formule:

            =100a10b+c

            =abc

1/n(n+1)=1/n-1/n+1;nN*

Proprietati:

-n|aàn|abc

-n|a | | n|(a+b)

|è

n|b | | n|(a-b)

-produsul a douã numere consecutive este par

-produsul a trei numere consecutive este divizibil cu trei

-oricare ar fi un produs de trei numere pot fi scrise sub forma

3|(3K-1)3K(3K+1)

NUMÃR CARDINAL

Nr. care indicãdincã din câte elemente este formatã o multime se numeste cardinalul acelui nr. si se noteazã card.M=25.

1)Într-o multime un element poate fi scris o singurã datã.

2)Într-o multime nu conteazã ordinea în care sunt scrise elementele.

3)Într-o multime nu conteazã nat. elementelor.

Proprietatea pe care o au toatele elemantele nuei multimi se numeste proprietate caracteristicã.

Spunem cã între 2 multimi finite existã o corespondentã biunivocã dacã fiecãrui element din prima multime îi corespunde nu element din prima multime si invers.

Submultimi

Submultmea este o parte a multimii.Submultimea este o multime mai micã sau egalã cu multimea datã.

Dacã o multime are ,,n"elemente atunci ea are 2 la n submultimi.

Proproetãti:

1)Dacã A intersecat cu B egal cu multimea vidã(sunt disjuncte)èAUB=card.A+card.B

2)Dacã A intersectat cu B nu este egal cu multimea vidã èAUB=card.A+card.B=card.A intersectat cu card.B

Egalitatea multimilor

Douã multimi sunt egale dacã sunt formate din aceleasi elemente.

Opreatii cu multimi

1)Reuniunea

2)Intersectia

3)Diferenta

4)Produs cartezian

1)Reuniunea a douã sau mai multe multimi este o altã multime formatã din toate elementele multimilor luate o singurã datã.

Proprietãti:

a)element neutru

b)comutativitatea

c)asociativitatea

d)reflexvitatea

2)Intersectia a douã sau mai multe multimi este o altã multime formatã din elementele comune tuturor multimilor.

Proprietãti:

a)reflexivitatea

b)element neutru

c)comutativitatea

d)asociativitatea

e)distributivitatea

3)Diferenta a douã sau mai multe multimi formatã din elementele primei multimi care nu se gãsesc in a II-a.

4)Produl cartezian a douã multimi A si B este multimeaperechilor ordonate de forma (x;y)care au proprietatea cã x este din prima multime si y din multimea

a II-a.

Incluziunea

1)Spunem cã multimea A este inclusã strict în multimea B dacã elementele lui A se gãsesc în B si cardinalul lui A este mai mic decât card.B.

2)Sspunem cã multimea C este inclusã în multimea D dacã toate elementele lui C se gãsesc în D si card.C este egal cu card.D.

Reuniunea si intersectia-proprietãti

Dacã A intersectat cu B èA si B sunt disjuncte.

P1: Dacã douã multimi sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu suma card. multimilor.

P2: Dacã douã multimi nu sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu diferenta dintre suma card. multimilor si card intersectiei nultimilor.

Numere negative

Nr. care are scris în stînga semnul minus se numeste nr. negativ.

Mãrimi care pot fi mãsurate în 2 sensuri

1)Temperatura

2)Timpul

3)Altitudinea

4)Latitudinea

5)Longitudinea

6)Deplasarea pe axã

Numere pozitive

Nr. care are scris în stînga senmul ,,+" se numeste nr. pozitiv.

Orice nr. care nu are scris în stânga nici un semn este nr. pozitiv.

Compararea nr. întregi

1)Dacã 2 nr. întregi sunt reprezentate pe axã atunci cel mare este situat în dreapta. -5 si -1

-1>-5

2)Orice nr. negativ este mai mic ca',0".

-6<0

3)Orice nr. pozitiv este mai mare ca,,0".

+2>0

4)Orice nr. pozitiv este mai mare ca orice nr. negativ.

+1>-4

Valoarea absolutã(modulul) unui nr. întreg

Distanta de la origine la punctul care are abscisa egalã cu nr. dat se numeste valoarea absolutã (modulul).Se noteazã între douã bare.

Dintre 2 nr. negative este mai mare cel care are val. absolutã mai micã.

Dacã o sumã de termeni nenegativi este zero atunci fiecare termen este zero.

Proprietãti:

1)|x|0(modulul este nenegativ)

2)|x|=0 x=0

3)|xy|=|x||y|

4)|Kx|=K|x|

KN*

5)|x/y|=|x|/|y|

6)|x-y|=|y-x|

7)=|x|

8)|x+y||x|+|y|

9)Dacã x>0à|x|=x

10) Dacã x<0à|x|=-x

Numere opuse

Douã nr. întregi care au val. absolute egale si semne diferite se numesc nr. opuse.

Adunarea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. ãntregi,suma lor este tot nr. întreg.

Proprietãti:

1)Suma a douã nr. opuse este 0

2)Ori care ar fi nr. întregi a si b,a adunat cu b egal cu b adunat cu a

3)Ori care ar fi nr. întregi a,b,c avem: a+(b+c)=(a+b)+c

4)Oricare ar fi nr. întreg ,,n" existã nr. întreg 0 astfel încât n+0=0+n=n

Regula semnelor

R1:Când adunãm douã nr. întregi care au semnele identice,adunãm val. absolute ale nr. si punem rezultatului semnul comun.

R1:Când adunãm 2 nr. întregi care au semne diferite scãdem din val. absolutã mai mare val. absolutã mai micã si punem rezultatului semnul nr. care are val. absolutã mai mare.

Scãderea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,diferenta lor este tot nr. întreg.

Regula semnelor

R1:Când scãdem 2 nr. întregi,determinãm un nr. întreg care adunat cu scãzãtorul sã dea descãzutul.

R2:Când scãdem 2 nr. întregi adunãm descãzutul cu opusul scãzãtorului.

R3:Semnul minus din fata unei paranteze schimbã semnele tuturor nr. din parantezã.

Înmultirea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,produsul lor este tot nr. întreg.

Proprietãti:

1)Dacã un factor este 0 atunci produsul este egal cu 0.

2)Ori care ar fi 2 nr. întregi a si b,axb=bxa.

3)Oricaere ar fi 3 nr. întregi a,b,c,a(bxc)=(axb)c

4)Ori care ar fi nr. întregi a;b;c, a(b+c)=axb+axc si a(b-c)=axb-axc.

5)Nr. 1 este element neutru la înmultirea nr. întregi.

Regula semnelor

R1:Produsul a 2 nr. întregi care au acelati semn este pozitiv.(+)

R2:Produsul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

Divizibilitatea nr. întregi

Nr. ,,d" este divizor întreg al lui ,,n" dacã existã nr. întreg ,,c" care înmultit cu ,,d" sã dea ,,n".

Împãrtirea nr. întregi

Câtul a 2 nr. întregi este nr. întreg numai atunci când împãrtitorul este divizor al deâmpãrtitului.

Regula semnelor

R1:Câtul a 2 nr. întregi care au acelati semn este pozitiv.(+)

R2:Câtul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

Puterea unui nr. întreg cu exponent nat.

Dacã baza puterii este nr. întreg diferit de 0 si exponentul este 0 atunci puterea este egalã cu 1.

Dacã baza puterii este nr. întreg 0,iar exponentul orice nr. întreg diferit de 0 atunci puterea este egalã cu 0.

Regula semnelor

R1:Puterea care are exponentul nr. par are semnul plus.

R2:Puterea care are exponentul nr. impar are semnul minus.

Divizibilitatea în multimea nr. întregi

Pt. a calcula nr. divizorilor nat. unui nr. ,,mare" procedãm astfel:

1)Descompunem mr. în factori primi

2)Mãrim cu o unitate ficare exponent dupã care efectuãm produsul sumelor obtinute

Numere prime

Nr. care are numai divizori improprii se numeste nr. prim: D7=.

În afarã de 2 toate nr. prime sunt impare.

Nr. care are cel putin un divizor propriu se numeste nr. compus.

Dacã c.m.m.d.c. a douã nr. este 1 atunci nr. sunt prime între ele.

Dacã un nr. nat. este divizibil cu douã nr. prime între ele atunci el este divizibil si cu produsul acestora.Dacã un nr. nat. are la sfãrsit ,,n" zerouri atunci el are ca factori pe 2 la n si 5 la n.

Descompunerea unui nr. compus în factori

Cînd trebuie sã calculãm c.m.m.d.c. a douã sau mai multe nr. procedãm astfel:

-descompunem nr. în factori

-scriem nr. descompuse unul sub altul

-luãm factorii comuni cu exponentul cel mai mic

-facem produsul puterilor obsinute

Multiplii comuni

Cel mai mic nultiplu comun a douã sau mai multe nr. este cel mai mic nr. nat. diferit de 0 care este divizibil cu toate nr. date.

Dacã nr. sunt mari atinci pt. a determina c.m.m.d.c. procedãm astfel:

1)Descompunem nr. în factori care au bazele nr. prime

2)Luãm factorii com. si necom. o datã cu exponentul cel mai mare si facem produsul.

Fractii ordinare

Scrierea de forma a/b unde a apartine N si b apartine N* se numeste fractie ordinarã.

Numãrãtorul este nr. nat. asezat deasupra liniutei de fractie.

Numitorul este nr. diferit de 0 asezat sub liniuta de fractie.

Numitorul indicã în câte pãrti egale a fost împãrtit întregul.

Numãrãtorul ne aratã câte pãrti egale s-au luat dintr-un întreg sau mai multi întregi care au fost împãrtiti în pãrti egale.

O fractie ordinarã existã dacã numitorul ei este diferit de 0.

Compararea fractiei cu întregul

1)Fractia care are numãrãtorul egal cu numitorul se numeste fractie echivalentã.

2)Fractia care are numãrãtorul mai mic decât numitorul se numeste fractie subunitarã.

3)Fractia care are numãrãtorul nai mare decât numitorul se numeste fractie supraunitarã.

Fractii echivalente

Fractiile a/b si c/d care au proprietatea cã a înmultit cu d egal cu b înmultit cu c se numesc fractii echivalente.

Fractiile echivalente reprezintã aceeasi parte din întreg.

Zicem echivalente si punem semnul egal deoarece egalitatea este:

-reflexivã: a/b =a/b

-simetricã: Dacã a/b=c/d è c/d=a/b

-tranzitivã

Deci este relatie de echivalentã.Dacã a/b=c/d si c/d=e/f èa/b=e/f

(,,=" R,S,T)= rel. de echvalentã

Amplificarea fractiilor ordinare

Procedeul prin care se obt. fractii echivalente înmultind numãrãtorul si numitorul cu acelasi nr. dif. de 0 se numeste amplificare.

1)Fractia datã este echivalentã cu fractia amplifiactã.

Simplificarea f.o.

Procedeul prin care se obtin fr. echivalente împãrtind numãrãtorul si numitorul la acelasi nr. dif. de 0 se numeste simplificare.

Numim fr. ireductibilã  fr. ordinarã care are numãrãtorul si numitorul nr. prime între ele.

Compararea fr.o.

1)Dacã 2 fr. ordinare au numitorii egali atunci este mai mare fr. care are numãrãtorul mai mare. 

2)Dacã 2 fr. ordinare au numãrãtorii egali atunci este mai mare fr. care are numitorul mai mic.

Când este posibil simplificãm fr. înainte de a le compara.

ªir de fr. egale. Nr. rational pozitiv.

Fr. echivalente se obt. amplificând o fr. datã cu un nr. nat.

Dacã amplificãm o fr. datã,pe rând cu nr. nat. obt. un sir de fr. echivalente (egale).

Fr. echivalente reprezintã aceeasi parte dintr-un întreg sau întregi de acelasi tip.î

Numim nr. rational pozitiv multimea fr. ordinare echivalentecu o fr. datã.

Când efectuãm operatii cu nr. rationale efectuãm operatii cu reprezentantii lor care sunt fractii ordinare.

Scoaterea întregilor dintr-o fr. o. supraunitarã

Când trebuie sã scoatem întregii dintr-o fractie,împãrtim numãrãtorul la numitor,scriem câtul,iar la numãrãtor restul împãrtirii(numitorul rãmâne neschimbat).

Nr. format dintr-un întreg si o fr. se numeste nr. mixt.

Introducerea întregilor în fr.

Când introducem îmtregii în fr. înmultim numitorul cu întregii,adunãm cu numãrãtorul si scriem rezultatul la numãrãtor(numitorul rãmâne nechimbat).

Adunarea nr. rationale pozitive

Când trebuie sã adunãm 2 sau mai multe fr. ordinare care au numitorii egali,scriem o singurã datã numitorul si adunãm numãrãtorii.

Proprietãtile adunãrii

(C)Comutativitatea: a/b+c/d=c/d+a/b

(A)Asociativitatea: (a/b+c/d)+m/n=a/b+(c/d+m/n)

(N)Elenent neutru

Multimea nr. rationale se noteazã cu litera Q.

Scãderea nr. rationale

Când trebuie sã scãdem 2 nr. rationale scãdem reprezentantii lor care sunt fr. ordinare.

1)Când fr. au numitorii egali scriem o singurã datã numitorul si scãdem numãrãtorii.

2)Dacã numitorii diferiti atunci le aducem la acelasi numitor anplificându-le sau simplificându-le când este posibil.

3)Când trebuie sã scãdem 2 nr. mixte scãdem întregii între ei si fr. între ele dupã ce au fost aduse la acelasi numitor.

Înmultirea fr. ordinare

Când trebuie sã înmultim 2 sau mai multe fr. ordinare,înmultim numãrãtorii între ei si numitorii între ei dupã ce am fãcut simplificãrile posibile.

Aflarea unei fr. dintr-un nr.

Când trebuie sã aflãm cât reprezintã o fr. dintr-um nr. înmultin fr. cu nr.

Împãrtirea fr. ordinare

Când trebuie sã împãrtim 2 fr. ordinare înmultim deîmpãrtitul cu inversul împãrtitorului.

Putrera unei fr.o. cu exponent nat.

Orice fr. ordinarã cu numãrãtorul 1 si numitorul produsul a 2 nr. nat. consecutive poate fi scris ca diferentã de 2 fr. cu numãrãtorii egali cu 1 si numitorii factorii produsului.

I)Puterea care are exponentul 0 este egalã cu 1 dacã baza este diferitã de 0.

II)Puterea care are baza 0 este egalã cu 0 dacã exponentul este diferit de 0.

III)Orice putere care are baza egalã cu 1 si exponentul nr. întreg este egalã cu 1.

Puteri cu exponent întreg pozitiv

Putrerea cu exponent întreg pozitiv este o înmultire repetatã în care baza figureazã ca factor de câte ori indicã exponentul.

Puterea cu exponent întreg negativ

a la -n=1/a la n. Toate prop. de mai sus sunt valabile si aici.

Fractii zecimale

Scrierea de forma a,b este fractie zecimalã.

Cifrele situate în dreapta virgulei se numesc zecimale.

Transformarea fr. ordinare în fr. zcimale

Când trebuia sã transformãm o fr. ordinarã în fr. zecimalã împãrtim numãrãtorul la numitor.

Dacã numitorul fr. ordinare este o putere a lui 10 atunci împãrtirea nu se efectueazã ci sescrie direct rezultatul mutând virgula de la dreapta spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are împãrtitorul.

Fr. ordinarã care are numitorul o putere a lui 10 se transformã în fr. zecimalã finitã.

R1:Dacã numitorul unei fr. contine numai puteri ale lui 2,umai puteri ale lui 5 sau puteriale lui 2 si 5 atunci fr. ordinarã se trandformã în fr. zecimalã finitã.

R2:Dacã numitorul nu este putere a lui 10 încercãm sã amplificãm convenabil fr. pt. a obtine o putere a lui 10.

Transformarea fr. ordinare în fr. periodice

R1:Dacã numitorul unei fr. ordinare contine ca factori puteri care au baza diferitã de 2 si 5 atunci se transformã în fr. zecimalã periodicã.

R2:Dacã numitorul unei fractii contine pe lîngã puterile lui 2 si 5 si alte puteri atunci se transformã în fr. zecimalã periodicã mixtã.

Transformarea fr. zecimale finite în fr. ordinare

Când transformãm o fr. zecimalã finitã în fr. ordinarã procedãm astfel:

-Scriem la numãrãtor nr. nat. format cu cifrele fr. zecimale;

-Scriem la numitor cifra 1 urmatã de atâtea zerouri câte zecimale are fractia;

-Facem simplificãrile posibile pânã se ajunge la fr. ireductibilã.

Adunarea fr. zecimale finite

Asezãm fractiile una sub alta astfel încât sã avem virgulã sub virgulã,zecimi sub zecimi etc. si efectuãm adunarea la fel ca la nr. nat.

Transformarea f.z.p.s. în fr. ordinare

Când transformãm o f.z.p.s. în fr. ordinarã procedãmastfel:

-Scriem întâi întregii;

-Scriem la numãrãtor nr. nat. format cu cifrele perioadei;

-Scriem la numitor atâtia de 9 câte cifre are perioada;

-Se efectueazã simplificãrile posibile.

Transformarea f.z.p.m. în fr. ordinare

Când transformãm o f.z.p.m. în fr. ordinarã procedãm astfel:

-Scriem întregii;

-Scriem la numãrãtor dif. dintre nr. nat. format cu toate cifrele si nr. nat. format cu cifrele pãrtii neperiodice;

-La numitor se scrie nr. nat. format din atâtia de 9 câte cifre are perioada urm. de atâtia de 0 câte cifre are partea neperiodicã.

Operatii cu f.z.f.

Dacã la sfârsitul unei f.z.f. punem unul sau mai multe zerouri atunci valoarea fractiei nu se modificã.

(R)Când adunãm 2 sau mai multe f.z.f. le asezãm una sub alta astfel încât virgulele sã corespundã,întregi sub întregi,zecimi sub zecimi,sutimi sub sutimi.

Înmultirea f.z.f.

Când trebuie sã înmultim 2 f.z.f. la asezãm una sub alta.întâi cea care are cifre mai multe apoi cea care are cifre mai putine.

-Efectuãm produsul ca la nr. nat.,iar la produsul final despãrtim de la dreapta spre stânag atâtea zecimale câte au la un loc ambele fractii.î

Împãrtirea f.z.f.

R1:Când împãrtitorul este f.z. înmultim deîmpãrtitul ti împãrtitorul cu o putere a lui 10 pt. a dispãrea virgula de la împãrtitor.

R2:Când trebuie sã împãrtim 2 f.z.f. le putem transforma în f.o. dupã care efectuãm împãrtirea f.o.

R3:Când împãrtim o f.z.f. la 10;100;1000 mutãm virgula de la dreapta spre stânga peste cifre câte zerouri are împãrtitorul.

Medie aritmeticã

Media aritmeticã a 2 sau mai multe nr. este nr. ce reprezintã câtul dintre suma numerelor si nr. lor(câte sunt).

Dacã cunoastem Ma. a mai multor nr. atunci putem afla suma lor înmultind Ma. cu nr. lor(câte sunt).

Medie aritmeticã ponderatã

Maxp=XxPx+YxPy+ZxPz/Px+Py+Pz

Unitãti de mãsurã pt. timp

Unitatea de mãsurã pt. timp este minutul.

1h=60min.=3600s

1zi=24h=1440min.=76400s.

Procente

Scrierea de forma p/100 se numeste raport procentual.

Pt. a afla cât reprezintã p% dintr-un nr. înmultim nr. cu raportul pricentual.

Probalitãti

Raportul dintre nr. cazurilor favorabile aparitiei unui eveniment si nr. cazurilor egal posibile aparitiei acelui eveniment se numeste probabilitate.

m=nr. cazurilor fav.

n=nr. cazurilor egal pos.

p=m/n

Ecuatii

Etapele rezolvãrii ecuatiei

1)stabil. muls. de def.a ec.(dacã nu este datã în pb.)

2)eliminarea numit.(dacã ec. cont. rapoarte,fractii)

3)desfintarea parant.(daca ec. are parant)

4)separarea termenilor care cont. variabila de termenii liberi

5)reducerea termenilor asemenea

6)calculul val. variabilei

7)intepreterea solutiei

O ecuatie care are gradul mai mare sau cel pitin egal cu doi se reazolvã astfel:

-se trec toti termenii în stînga egalului,iar îb dreapza rãmâne zero

-se reduc termenii asemenea

-se descompun în factori exprisiile din membrul stâng

-se egaleazã cu zero fiecare expresie din parantezã

-se rezolva ecuatia

-se scrie multimea solutiilor

Ecuatii de tipul x**=a

Orice ecuatie care are gradul mai mic sau egal cu 2 se rezolva astfel:

1)Se trec toate expr. în membrul stâng si îndreapta rãmâne zero

2)Se descompune în factori expr. din M.S

3)Se ia fiecare expresie din parantezã si se egaleazã cu zero dupã care sa rezovã separat fiecare ecuatie

4)Proba

5)Scrierea mult. de solutie

Ecuatii în Q

P1:Când ecuatia contine f.o.,pt. a elimina numitorii înmultim ecuatia cu numit. Com.

P2:Când o ecuatie contine f.z.f.,eliminarea virgulei se face prin înmultirea ecuatiei cu o putere a lui 10.

AxX=b este forma redusã(standard).

I)Dacã a nu=0èec. compatibilã determinatã

II)Dacã a=0 si b=0èec. compatibilã nedeterminatã

III)Dcaã a=0 si b nu=0èec. incompatibilã(fãrã solutie)

Ecuatii de gradul I cu o necunoscutã

Propozitia matematicã care afirmã cã douã expresii au valori numerice egale pentru un element din multimea de definitie se numeste ecuatie.

O multime de nr. cu care putem înlocui variabila ,,x" se numese multime de definitie.

Numim solutie a ecuatiei elementuldin multimea de def. care face prop. adevãratã.

Prima etapã a rezolvãrii este scrierea multimi de def. a ec.,iar ultima etapã a rezolvãrii este scrierea multimii de solutii.

Douã ec. se numesc echivalente dacã au aceeasi solutie.

P1:Dacã adunãm sau scãdem în ambii termeni ai ec. acelasi nr. obt. o ec. echivalentã cu cea datã.

P2: Dacã înmultim sau împãrtim o ec. cu acelasi nr. dif. de 0 obt. o ec. echivalentã cu cea datã.

Etapele rezolvarii:

-stabilirea multimii de definitie

-eliminarea numitorilor(se înmulteste ecuatia cu numitorul comun)

-defiintarea parantezelor

-separarea termenilor ce contin variabila de termenii liberi

-reducerea termenilor asemenea

-calculul valorii variabilei(se împarte numãrul din membrul drept la coeficientul variabilei)

-interpretarea solutiei(se verificã dacã valorea gãsitã apartine multimii de defintie dupã care se probeazã în eciatie)

-secrierea multimii solutiilor

Tipuri de ecuatii

1)a0èecuatie compatibilã determinatã

2)a=0 si b=0èecuatie compatibilã nedeterminatã

3)a=0 si b0èecuatie incompatibilã

Ecuatii de gradul I cu 2 necunoscute

ax+by+c =0 este forma redusa(standard)

Ecuatia este de gr. I daca dupã efect. calculelor si red. termenilor asemenea variabilele rãmân cu exp. 1.

Multimea de definitie a ecuatiei de gradul I cu 2 necunoscute este produsul cartezian a 2 multimi de numere reale.Solutia ei este perechea de numere reale care satisface ecuatia.Solutia este de 2 tipuri:

1)generalã

2)particularã

Toate solsutiile particulare ale ecuatiei sunt cordonatele unor puncte coliniare(situate pe aceeasi dreaptã).

Sisteme de douã ecuatii de gradul I cu 2 necunoscute

Mult. ale caror elemente sunt ec. se numeste sist de ee.:

a=nr. din care se extrage radicalul

Extragerea radicalului din nr. pãtrate perfecte

A extrage rãd. pãtratã(rad. de ordinul 2) dintr-un nr. înseamnã a determina prin dif. proc. nr. care are pãtratul egal cu nr. se sub semnul radical.

Metode:

1)Algoritmul extragerii rãd. pãtrate

2)Descomp. nr. în factori care au bazele nr. prime dupã care scoatem de sub semnul radical puterile care au exponentii nr. pare.

Reguli de calcul cu radicali

Rãdãcina pãtratã a numãrului nenegativ a este numãrul nenegativ b dacã b**=a.

Proprietãti:

1)=x

2)=|x|

3)

4)

5)

6)

7)

Medie geometricã

Media geometricã a ,,n" nr. este radicatul de ordinul n a prod. nr. date.Media geometrica (proportionalã) a 2 nr. nenegative este rãdãcina pãtratã a prod. celor 2 nr.

Nr. reale reprezentate prin litere

Literele sunt de douã feluri:

1)parametri: a;b;c;m;n;p

2)variabile: x;y;z;u;;v;t

Nr. reale sunt repr. NUMAI PRIN LTIERE MICI

x=literã micã("de mânã") x apartine R

X=nedeterminata

Parametrul este nr. notat cu o literã de la începutul sau mijlocul alfabetului.Ia o val. neprecizatã.

Variabila este nr. real notat printr-oliterã micã "de mânã" da le sfârsitul alfabetului.Ia un nr. nedeterminat de val.Poate fi înlocuitã cu orice element din multimea de solutie.

Expr. algrbricã este o însiruire de cifre si litere egale între ele prin semne de operatii.Val. numerica a expr. algebrice este nr. obt. prin înlocuirea variabilei cu o val. dupa efect. tuturor operatiilor.

Numere irationale

Multimea nr. irationale este diferitã de multimea nr. reale si de multimea nr. rationale.

Formule de calcul prescurtat

1)Produsul sumei prin diferentã: (A+B)(A-B)=A**-B**

2)Pãtratul binomului sumã: (A+B)=A**+2AB+B**

3)Pãtratul binomului diferntã: (A-B)=A**-2AB+B**

4)Pãtratul unui trinom: (A+B+C)**=A**+B**+C**+2AB+2AC+2BC

Aplicatii

1)Calcul mintal

2)Relatii metrice

3)Simplficãri de rapoarte

4)Calcule de arii ale supr. poligonale

5)Calculul expr. algebrice

6)Demonstratii ale identitatilor etc.

Descompunerea expr. algebrice în factori

A descompune în factori înseamnã a deter. prin dif. metode douã sau mai multe expr. care au prod. egal cu expr. datã.

Metode de descompunere:

1)Metoda factorului comun

2)Metoda grupãrii termenilor

3)Metoda combinatã(mixtã)

4)Fol. f.d.c.p.

Metoda factorului comun

F.C. este expr. de gradul cel mai mare cotinuta ca factor îm fiecare termen al expr.

Desompunerea în factori

Factor comun este litera cu exponentul cel mai mic.Deoarece dif. nu este comutativa,cînd invesãm locul desc. cu scãz. scoatem "factor comun fotat"pe -1

A-B=(-1)(B-A)

Metoda gruparii termenilor

Constã în asocierea convenabilã a termenilor cu scopul de a obt. factor comun dupã care se scoate f.c.

Formule de calcul prescurtat

A**-B**=(A-B)(A+B)

A**+2AB+B**=(A+B)

Sist. de axe ortogonale

Mult. ale cãrei elemente sunt axe se numeste sist. de axe.Axa este o dr. orintatã.

În plan orice pct. este carac prin 2 nr.:

1)abscisa

2)ordonata

Dst. dintre douã pct. din plan

Dst. dintre 2 pct. este nr. nenegativ ce repr. lung. seg. de dr. ale cãrui capete sunt pct. date.Dst. dintre 2 pct. din plan se calc. cu formula:

AB= radical din (Xb-Xa)**+(Yb-Ya)**

Coordonatele mij. seg. de dr.

Punctul interior segmentului egal depãrtat de capete se numeste mijlocul segmentului de dreaptã. Mij. este unic.

Partea întreagã si partea fractonarã

[x]=partea întreagã a lui x

partea fractionarã a lui x

[x]+=x

=x-[x]

Partea întreagã a unui numãr real este cel mai mic numãr întreg apropriat de numãrul dat.

Când numãrul real are minus se adunã o unitate la întreg.

Compararea numerelor reale

Oricare ar fi douã numere reale a si b avem:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Dacã a<b sau a=bàab

(R)aa(reflexivitatea)

(A)ab si baàa=b(antisimetrie)

(T)Dacã ab si bcàac(tranzitivitatea)

""fiind reflexivã,antisimetricã si tranzitivã este relatie de ordine în R.

Multimea numerelor reale este bine ordonatã.

În N spunem cã a<b dacã c N* si a+c=b

În Z spunem cã a<b dacã c Z* si a+c=b

Douã sau ma multe inegalitãti de acelasi tip se pot înmulti membru cu membru.

Intervale

Intervalul este o submultime a multimii numerelor reale.

Întervalul este o multime infinitã de numere reale.

Multimea numerelor reale poate fi scrisã ca interval astfel: R=(-;+)

Intervalul care are ambele numere finite se numeste înterval mãrginit.

Intervalul care are cel putin un capãt nemãrginit se numeste interval nemãrginit.

Notatii:

[a;b]=interval închis de capete a si b

(a;b)=interval deschis de capete a si b

[a;b)=interval închis la stânga si deschis la dreapta de capete a si b

Reprezentarea pe axã a intervalelor

Când reprezentãm pe axã un interval nu este necesarã unitatea de mãsurã.

Dificultatea reprezentãrii constã în ordonarea cerscãtoare a capetelor intervalalului.

Când se reprezintã pe axã douã intervale la primul interval trasãm linia deasuprsa axei iar la al doilea sub axã.

Dacã inegalitatea este strictã se pune parantezã rotundã.

Dacã inegalitatea este nestrictã(si =) se pune parantezã pãtratã.

Operatii cu intervale:

Intervalele fiind multimi infinite de numere  reale putem efectua operatii de:

-reuniune

-intersectie

-diferentã

Adunarea numerelor reale

Oricare ar fi numerele reale a si b suma lor este tot numãr real.

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) x+0=0+x=x

Monoame

Expresia algebricã în care existã numai înmultiri sau înmultiri repetate(puteri) se numeste monom.

Monoamele care au aceeasi parte lateralã aflatã la acelasi exponent se numesc monoame asemenea.

Monoamele asemenea care au ceficientii numerici numere opuse se numesc monoame opuse.

Adunarea si scãderea se poate efectua numai cu monoame asemenea.

Când adunãm sau scãdem monoame asemenea adunãm sau scãdem coeficientul numeric,iar partea laiterarãse scrie o singurã datã.

Diferenta monoamelor

Diferenta monoamelor asemenea este un monom asemenea cu ele care are coeficientul numeric egal cu diferenta coeficientilor monoamelor.

Înmultirea monoamelor

Produsul monoamelor se poate efevtua indiferent de tipul monoamelor.

Descompunerea în factori a unei expresii

A descompune o expresie în factori înseamnã a determina prin diferite metode niste espresii(douã sau mai multe) al cãror produs este egal cu expresia datã.

Metode de descompunere:

-metoda factorului comun

-metoda grupãrii termenilor

-folosirea formulelor de calcul prescurtat

Metoda factorului comun

Factorul comun este expresia de gradul cel mai mare continutã ca factor în fiecare termen.

Distribitivitatea îmultirii ajutã la scoaterea factorului comun.

Pentru cã scãderea nu este comutativã cãnd schimbãm descãzutul cu scãzãtorul iese factor fortat -1.

A-B=-1(B-A)

Metoda grupãrii termenilor

A grupa înseamnã a asocia convenabil.Când espresia nu are factor comun se grupeazã convenabil termenii cu scopul de a obtine factor comun.

Functii

Functia este un triplet de forma(A;f;B) unde:

-A este multimea de definitie a functiei(domeniu)

-B este multimea în care functia ia valori(codomeniu)

-f este o lege de corespondentã care face ca fiecãrui element din domeniu sã îi corespundã un element din codomeniu.

Orice functie are 3 pãrti:

1)domeniu

2)codomeniu

3)legea de corespondentã

Notatii:

Functiile se noteazã de obicei cu litere mici f;g;h

f:AàB (Funtia f este definitã pe multimea A cu valori în multimea B)

Elemnetele domeniului se noteazã de obicei cu x si se numesc variabile independente,iar elementele codomeniului se noteazã  de obicei cu y si se numesc variabile dependente(depind de x prin legea f).

Functiile pot fi definite în mai multe moduri:

1)cu ajutorul tabelului de valori

2)cu ajutorul diagramelor Venn-Euler

3)cu ajutorul unei formule

4)cu ajutorul a douã formule

5)cu ajutorul a trei sau mai multe formule

Dacã domeniul si codomeniul sunt multimi finite de numere atunci numãrul functiilor este egal cu cardinalul dodomeniului la cardinalul domeniului.

Grafice de functii

Gf=

Graficul functiei este o multime de puncte care au proprietatea cã y=f(x)(ordonata punctului depinde de abscisã prin legea de corespodentã f).

Reguli:

1)Dacã domeniul este multime de numere reale atunci graficul functei este linie dreaptã.

2)Dacã domeniul este interval mãrginit atunci graficul functei este segment de dreaptã.

3)Dacã domeniul este interval nemãrginit atunci graficul functiei e semidreaptã inchisã când intervalul es inchis si deschisã cand intervalul este deschis.

4)Dacã domeniul este o multime de numere atunci graficul functiei este o multime de puncte distincte douã câte douã.

Etapele trasãrii:

-se scrie domeniul functiei

-se stabileste natura functiei

-se calculeazã valoarea functiei în capetele intervalului(chiar dacã sunt deschise)

-se întocmeste tabelul de vlori al functiei

-se traseazã sistemul de axe ortogonale

-se reprezintã în plan punctele

-se traseazã graficul functiei(se pun în capetele segmentului aceleasi paranteze ca la domeniul functiei)

Functia liniarã

Douã functii f:AàB;f(x)=ax+b si g:CàD;g(x)=cx+d sunt egale dacã sunt îndeplinite trei conditii:

-domeniile sunt egale

-codomeniile sunt egale

-f(x)=g(x) pentru orice element din domeniu

Un punct apartine graficului functei dacã indeplineste douã conditii:

-abscisa punctului apartine domeniului

-valoarea functiei când variabila independentã se inlocuie cu abscisa este egalã cu ordonata punctului.

Graficul functiei liniare

F:RàR;f(x)=x-2

Etapele:

-se scire multimea de definitie(domeniul)

-se scrie natura graficului(ce este)

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul finctiei taie axa oy

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul finctiei taie axa ox

-se întocmeste tabelul de valori al functiei

-se traseazã sestemul de axe ortogonale

-se reprezintã punctul în acest sistem

-se traseazã graficul functiei

Determinarea functiei liniare

Când trebuie sã determinãm o funcsie trebuie sã determinãm domeniul,codomeniul si legea de corespondentã.

Dacã functia este liniarã atuncu D=R;C=R

Realtii între coeficienti si rãdãcini

Cuvântul rãdãcinã nu e sinonim al cuvântului solutie.

Polinoamele au rãdãcini iar ecuatiile au solutii.

Formule:

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

x1-x2=/a

Inecuatii

Prpozotia matematicã care afirmã cã douã expresii au valori numerice inegale se numeste inecuatie.

Proprietãti:

-dacã inmultim o inecuatie cu un numãr begativ se modificã semnul de inegalitate

-multimea solutiilor unei inecuatii e intersectia dintre multimea de definitie si valorile care satisfac inegalitatea.

Sisteme de inecuatii

Multimea ale cãrei elemente sunt inecuatii se numeste sistem de inecuatii.

Când variabila e situatã la numitor nu se îmulteste inecutia cu numitorul comun si rezolvarea se face astfel:

-se trec toate expresiile în membrul stâng,în dreapta rãmâne zero

-se aduce la acelasi numitor

-se efectueazã calculele pânã se pbtine un raport dincare rezultã douã sisteme care se rezolvã S=S1S2