Matematica

Matematică

Cifre romane:

1=I;4=IV;5=V;6=VI;9=IX;10=X; 11=XI; 14=XIV;15=XV; 16=XVI;19=IXX;20=XXD; 50=L;100=C;500=D;1000=M.

Fractii:

¾:3=numărător(câte părti egale au fost luate din întreg); 4=numitor(în câte părti egale a fost înpărtit

întregul);/=liniuta de fractie.

-Fractiile care reprezintă aceeas parte din întregi identici sunt fractii egale:2/3;4/6.

-Fractia echivalentă este fractia care are numărătorul egal cu numitorul:4/4=1.

-Fractia subunitară este fractia care are numărătorul naimic decât numitorul:3/8;3<8.

-Fractia supraunitară este fractia care are numărătorul mai mare decât numitorulȘ8-3s8:3.

-Dintre două fractii cu numitorii egali este mia mare fractia care are numârâtorul mai mare:6/8>3/8.

-Dintre două fractii cu numărătorii egali este mai mare fractia care are numitorul mai mic:3/8>3/10.

-Pt. a afla cât reprezintă o fractie dintrun nr. nat. împărtim nr. la numitorul fractiei si înmultim rezultatul cu numărătorul:7/9din 36è36:9x7=28è7/9din36=28

Unităti de măsură

1)Metrul:

Lungimile se măsoară cu metrul,multiplii si submultiplii lui care cresc si descresc din 10 în 10.

1m=10dm

1dm=10cm

1cm=10mm

1m=10dm=100cm=1000mm

1dam=10m

1hm=10 dam

1km=10hm

1km=10hm=100dam=1000m

2Kilogramul:

a)submultiplii:hectogramul(hg.); decagramul(dag.) ;gramul(g.);

decigramul(dg.); centigramul(cg.); miligramul(mg.)

b)multiplii:quntalul(q.);tona(t.)

1kg=10hg=100dag=1000g

1g=10dg=100cg=1000mg

1t=10q=1000kg

1q=100kg

3Litrul:

a)submultiplii:decilitrul(dl.);centilitrul(dl.);mililitrul(ml.)

b)multipli:decalitrul(dal.);hectolitrul(hl.);kilolitrul(kl.)

1l=10dl=100cl=1000ml

1kl=10hl=100dl=1000l

Numere naturale

De multe ori nr. nat. se notează cu ajutorul literelor supraliniate.

Reprezentarea nr. nat. pe axă

Axa nr. este o linie dreaptă pe care s-a fixat un punct O numit origine, în sens de parcurgere pozitiv(sopre dreapta) si o unitate de măsură(segment de dreapă).

Numărul care este asociat(corespunde)literei se numeste abscisă(coordonată).

Ori care ar fidouă nr. nat.,,a" si ,,b" poate avea una din următoarele situatii:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Compararea nr. nat

Spunem că nr. nat. a este mai mic decât nr. nat. b dacă există un nr. nat. diferit de 0,c astfel încât a+c=b si se notează a<b.

Dacă a<b sau a=b scriem scurtèa mai mic sau egal cu b, ,,d" este mai mic sau cel mult egal cu ,,b".

Spunem că nr. nat. ,,n" este mai mare decât nr. nat. m dacă există nr. nat diferit de 0 c astfel încât n=m+c

Adunarea nr. nat.

Adunarea este operatia care face ca două sau mai multe nr. nat. să corespundă unui singur nr.nat. numit sumă sau total.

Dacă schimbăm locul termenilor adunării suma rămâne constantă(nu se schimbă).

(A)Într-o expresie(ex.)termenii pot fi grupati,asociati astfel încât timpul necesar efectuării să fie foarte mic,a asocia=a grupa canvaeabil.

(N)Dacă adunăm orice nr. nat. cu 0 suma este acel nr.

Nr. 0 este element neutru la operatia de adunare.

Dacă trebuie să efectuăm o sumă de nr. nat. consecucive si nr. termenilor este par asociem pe primul cu ultimul,al doilea cu primul s.a.m.d.

Când nr. termenilor sumei este impar îl neglijem pe ultimul si grupăm ceilalti termeniconvenabil.

Scăderea nr. nat.

D-S=RèS+R=D

D>sau=S

abc=a x b x c

abc=100 x a+10 x b+c

a+b

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) a+0=0+a=a

(=;R;S;T) rel. de echivalentă

(R) a=a

(S) a=bèb=a

(T) a=b si b=cèa=c

(< sau = R;A;T)=rel. de ordine

(R) a< sau =a

(A) a<sau=b si b<sau=aèa=b

(T) a<sau=b si b<sau=cèa<sau=c

Deoarece 1 este element neutru la operatia de înmultire,când 1 este factor al produsului el nu se scrie ci se subîntelege.

Împărtirea nr. naturale

Ori care ar fi două nr. nat. a si b există două nr. nat. q si r unic determinate astfel încât a=bxq+r unde q nu =0 si r<b.

a:b=q rest r a=bxq+r,q nu =0 si r<b

D:I=C rest R CxI+R=D

Teorema împărtiri cu rest

Ori care ar fi nr. nat. a si b există două nr. nat. q si r unic determinate astfel încât bxq+r=a si b diferit de 0;r<b

a:b=q rest r bxq=r=a;b nu=0;r<b

Distributivitatea reduce nr.înmulttrilor dintr-o expresie prin scoaterea factorului comun.

Divizibilitatea

Spunem că nr. nat. ,,a" este divizibil cu nr. nat. ,,b" dacă există nr. nat. c diferit de 0 si bxc=a

b|a se citeste ,,b divide pe a"

,,a este divizibil cu b"

,,b este divizor al lui a"

,,a este multiplu de b"

Pt. a vedea dacă 2 nr. sunt divizibile împărtim nr. mare la cel mic si observăm restul.

-Dacă restul împărtiri este 0 atunci nr. sunt divizibile.

-Dacă restul împărtiri este diferit de 0 atunci nr. nu sunt divizibile.

Dacă restul îmaărtirii este 0 atunci câtul si împărtitorul sunt diviyori ai deîmpărtitului.

D:I=C rest 0

CxI=DèC|D

è I|D

Divizor

Divizorul unui nr. nat. este nr. nat. diferit de 0 care divide nr. dat.

d|n c nu =0 si cxd=n

Dacă ,,d" divide pe ,,n" spunem că ,,d" este divizor al lui ,,n".

1 este divizor al orcărui nr. nat.

Nr. care are numai divizori improprii se numeste nr. prim.

Criterii de divizibilitate

C10: Un nr. nat. este divizibil cu 10 dacă cifra unitătilor este 0.

10|abc c=0

C5: Un nr. nat. este divizibil cu 5 dacă cifra unitătilor este 0 sau 5.

5|abc c=0;c=5

C2: Un nr. nat. este divizibil cu 2 dacă cifra unitătilor este pară.

2|abc c=0;2;4;6;8

Dacă un nr. nat. este divizibil cu 10 atunci el este divizibil si cu 2 si cu 5.

Când trebuie să scădem dintr-un nr. o difrerentă neefectuată adunăm nr. cu scăzătorul iar din sumă scădem descăzutul.

Rezolvarea pb. cu ajutorul ecuatei

Când rezolvăm o pb. cu ajutorul ecuatei parcurgem urm. etape:

Însusirea enuntului pb.;

Stabilirea necunoscutei;

Stabilirea unor relatii între datele pb. si necunoscută;

Punerea pb. în ecuate;

Rezolvarea ecuatiei;

Interpretarea solutei.

Puteri

Puterea care are exponenentul nr. nat este o înmultirerepetată în care baza figurează ca factor de câte ori indică exponentul.

Orice putere care are exponentul 0 si baza diferită de 0 este egală cu 1.

Dacă putreile au si bazele si exponentii diferiti atunci pt. a le compara trebuie să la educem la aceeasi bază sau exponenet.Când nu este posibil la comparăm cu acelasi nr.

Tabla puterilor

1la n=1

2la0=1

2la1=2

2la2=4

2la3=8

2la4=16

2la5=32

2la6=64

2la7=128

2la8=256

2la9=512

2la10=1024

3la0=1

3la1=3

3la2=9

3la3=27

3la4=81

3la5=243

4la0=1

4la1=4

4la2=16

4la3=64

4la4=256

4la5=1024

5la0=1

5la1=5

5la2=25

5la3=125

5la4=625

5la5=3125

6la0=1

6la1=6

6la2=36

6la3=216

6la4=1296

6la5=7776

7la0=1

7la1=7

7la2=49

7la3=343

7la4=2401

7la5=16807

8la0=1

8la1=8

8la2=64

8la3=512

8la4=4096

8la5=32768

9la0=1

9la1=9

9la2=81

9la3=729

9la4=6561

9la5=59049

10la0=1

10la1=10

10la2=100

10la3=1000

10la4=10000

10la5=100000

Pătratul unui nr.

a la 2=axa

Puterea de ordinul 2 a unui nr. se numeste pătratul acelui nr.

Când trebuie să calculăm pătratul unui nr.,înmultim nr. cu el însusi.

Tabla pătratelor mai mare ca 10

Cubul unui nr.

a la 3=axaxa

Cubul unui nr. este o înmultire repetată în care baza figurează ca factor de 3 ori.

Un nr. este pătrat perfect dacă există un alt nr. nat. care are puterea de ordinul 2 egală cu el.

Tabla cuburilor până la 10

Înmultirea puterilor care au aceeasi bază

Când înmultim două sau mai multe puteri care au aceeasi bază,scriem o dată baza si adunăn exponentii.

Puterea unei alte puteri

Când calculăm puterea unei alte puteri scriem o dată baza si înmultim exponentii.

Când trebuie să calculăm puterea unei alte puteri si nu există nici o paranteză efectuăm puterile de sus în jos.

a la -n=1/a la n.Toate prop. 

Puterea unui produs

Când calculăm puterea unui produs de mai multi factori,calculăm pe rând puterea fiecărui factor si înmultim rezultatele.

Împărtiera puterilor care au bazele egale

Când împărtim două puteri care au bazele egale scriem o dată baza si scădem exponentii.

Sisteme de numeratie

Baza sistemului de numeratie indică câte cifre se folosesc pt. a scrie un nr. în această bază. Baza sistemului de numeratie mai indică din cât cresc si descresc unitătile de un anumit ordin în această bază.

Comparea puterilor

1)Dacă 2 puteri au bazele egale siexponentii sunt nr. nat. diferite de 0 atunci este mai mare puterea care are exponentul mai mare.

2)Toate puterile cu bazele egalecu 1 si exponentii nr. nat. sunt egale cu 1.

3)Dacă 2 puteri au exponentii egali cu nr. nat. diferite de 0 si bazele nr. nat. diferite este mai mare puterea care are baza mai mare.

4)Dacă puterile au si bazele si exponentii diferiti atuncipt. A le compara trebuie să le aducem la aceiasi bază sau exponent. Când nu este posibil le comparăm cu acelasi nr.

Ultima cifră a unui număr natural

Toate puterile lui 5 cu exponent nat. au ultima cifră 5.

Toate puterile lui 6 cu exponent nat. au ultima cifră 6.

Toate puterile lui 10 cu exponent nat. au ultima cifră 0.

Toate puterile lui 1 cu exponent nat. au ultima cifră 1.

Puterile lui 9 cu exponentul par au ultima cifră 1.

Puterile lui 9 cu exponent impar au ulitma cifră 9.

Observăm că ulima cifră a puterilor lui 2 cu exponent nat. se repetă din 4 în 4.

Prop. matematice compuse

,,/\"=ȘI

,,\/"=SAU

O prop. compusă din 2 prop. legate între ele prin ,,si" este adevărată dacă ambele prop. sunt adevărate.

O prop. compusă din 2 prop. legate prin cuv. ,,sau" este falsă numai atunci când anbele prop. sunt false.

Negatia

Prin negarea unei prop. obt. o nouă prop. care este adevărată dacă prop. initială este falsă.

Multimi

Multimi:A,B,C,D,...........

Elemente:a,b,c,d,.............

Multimi de nmere

Formule:

            =100a10b+c

            =abc

1/n(n+1)=1/n-1/n+1;nN*

Proprietati:

-n|aàn|abc

-n|a | | n|(a+b)

|è

n|b | | n|(a-b)

-produsul a două numere consecutive este par

-produsul a trei numere consecutive este divizibil cu trei

-oricare ar fi un produs de trei numere pot fi scrise sub forma

3|(3K-1)3K(3K+1)

NUMĂR CARDINAL

Nr. care indicădincă din câte elemente este formată o multime se numeste cardinalul acelui nr. si se notează card.M=25.

1)Într-o multime un element poate fi scris o singură dată.

2)Într-o multime nu contează ordinea în care sunt scrise elementele.

3)Într-o multime nu contează nat. elementelor.

Proprietatea pe care o au toatele elemantele nuei multimi se numeste proprietate caracteristică.

Spunem că între 2 multimi finite există o corespondentă biunivocă dacă fiecărui element din prima multime îi corespunde nu element din prima multime si invers.

Submultimi

Submultmea este o parte a multimii.Submultimea este o multime mai mică sau egală cu multimea dată.

Dacă o multime are ,,n"elemente atunci ea are 2 la n submultimi.

Proproetăti:

1)Dacă A intersecat cu B egal cu multimea vidă(sunt disjuncte)èAUB=card.A+card.B

2)Dacă A intersectat cu B nu este egal cu multimea vidă èAUB=card.A+card.B=card.A intersectat cu card.B

Egalitatea multimilor

Două multimi sunt egale dacă sunt formate din aceleasi elemente.

Opreatii cu multimi

1)Reuniunea

2)Intersectia

3)Diferenta

4)Produs cartezian

1)Reuniunea a două sau mai multe multimi este o altă multime formată din toate elementele multimilor luate o singură dată.

Proprietăti:

a)element neutru

b)comutativitatea

c)asociativitatea

d)reflexvitatea

2)Intersectia a două sau mai multe multimi este o altă multime formată din elementele comune tuturor multimilor.

Proprietăti:

a)reflexivitatea

b)element neutru

c)comutativitatea

d)asociativitatea

e)distributivitatea

3)Diferenta a două sau mai multe multimi formată din elementele primei multimi care nu se găsesc in a II-a.

4)Produl cartezian a două multimi A si B este multimeaperechilor ordonate de forma (x;y)care au proprietatea că x este din prima multime si y din multimea

a II-a.

Incluziunea

1)Spunem că multimea A este inclusă strict în multimea B dacă elementele lui A se găsesc în B si cardinalul lui A este mai mic decât card.B.

2)Sspunem că multimea C este inclusă în multimea D dacă toate elementele lui C se găsesc în D si card.C este egal cu card.D.

Reuniunea si intersectia-proprietăti

Dacă A intersectat cu B èA si B sunt disjuncte.

P1: Dacă două multimi sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu suma card. multimilor.

P2: Dacă două multimi nu sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu diferenta dintre suma card. multimilor si card intersectiei nultimilor.

Numere negative

Nr. care are scris în stînga semnul minus se numeste nr. negativ.

Mărimi care pot fi măsurate în 2 sensuri

1)Temperatura

2)Timpul

3)Altitudinea

4)Latitudinea

5)Longitudinea

6)Deplasarea pe axă

Numere pozitive

Nr. care are scris în stînga senmul ,,+" se numeste nr. pozitiv.

Orice nr. care nu are scris în stânga nici un semn este nr. pozitiv.

Compararea nr. întregi

1)Dacă 2 nr. întregi sunt reprezentate pe axă atunci cel mare este situat în dreapta. -5 si -1

-1>-5

2)Orice nr. negativ este mai mic ca',0".

-6<0

3)Orice nr. pozitiv este mai mare ca,,0".

+2>0

4)Orice nr. pozitiv este mai mare ca orice nr. negativ.

+1>-4

Valoarea absolută(modulul) unui nr. întreg

Distanta de la origine la punctul care are abscisa egală cu nr. dat se numeste valoarea absolută (modulul).Se notează între două bare.

Dintre 2 nr. negative este mai mare cel care are val. absolută mai mică.

Dacă o sumă de termeni nenegativi este zero atunci fiecare termen este zero.

Proprietăti:

1)|x|0(modulul este nenegativ)

2)|x|=0 x=0

3)|xy|=|x||y|

4)|Kx|=K|x|

KN*

5)|x/y|=|x|/|y|

6)|x-y|=|y-x|

7)=|x|

8)|x+y||x|+|y|

9)Dacă x>0à|x|=x

10) Dacă x<0à|x|=-x

Numere opuse

Două nr. întregi care au val. absolute egale si semne diferite se numesc nr. opuse.

Adunarea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. ăntregi,suma lor este tot nr. întreg.

Proprietăti:

1)Suma a două nr. opuse este 0

2)Ori care ar fi nr. întregi a si b,a adunat cu b egal cu b adunat cu a

3)Ori care ar fi nr. întregi a,b,c avem: a+(b+c)=(a+b)+c

4)Oricare ar fi nr. întreg ,,n" există nr. întreg 0 astfel încât n+0=0+n=n

Regula semnelor

R1:Când adunăm două nr. întregi care au semnele identice,adunăm val. absolute ale nr. si punem rezultatului semnul comun.

R1:Când adunăm 2 nr. întregi care au semne diferite scădem din val. absolută mai mare val. absolută mai mică si punem rezultatului semnul nr. care are val. absolută mai mare.

Scăderea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,diferenta lor este tot nr. întreg.

Regula semnelor

R1:Când scădem 2 nr. întregi,determinăm un nr. întreg care adunat cu scăzătorul să dea descăzutul.

R2:Când scădem 2 nr. întregi adunăm descăzutul cu opusul scăzătorului.

R3:Semnul minus din fata unei paranteze schimbă semnele tuturor nr. din paranteză.

Înmultirea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,produsul lor este tot nr. întreg.

Proprietăti:

1)Dacă un factor este 0 atunci produsul este egal cu 0.

2)Ori care ar fi 2 nr. întregi a si b,axb=bxa.

3)Oricaere ar fi 3 nr. întregi a,b,c,a(bxc)=(axb)c

4)Ori care ar fi nr. întregi a;b;c, a(b+c)=axb+axc si a(b-c)=axb-axc.

5)Nr. 1 este element neutru la înmultirea nr. întregi.

Regula semnelor

R1:Produsul a 2 nr. întregi care au acelati semn este pozitiv.(+)

R2:Produsul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

Divizibilitatea nr. întregi

Nr. ,,d" este divizor întreg al lui ,,n" dacă există nr. întreg ,,c" care înmultit cu ,,d" să dea ,,n".

Împărtirea nr. întregi

Câtul a 2 nr. întregi este nr. întreg numai atunci când împărtitorul este divizor al deâmpărtitului.

Regula semnelor

R1:Câtul a 2 nr. întregi care au acelati semn este pozitiv.(+)

R2:Câtul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

Puterea unui nr. întreg cu exponent nat.

Dacă baza puterii este nr. întreg diferit de 0 si exponentul este 0 atunci puterea este egală cu 1.

Dacă baza puterii este nr. întreg 0,iar exponentul orice nr. întreg diferit de 0 atunci puterea este egală cu 0.

Regula semnelor

R1:Puterea care are exponentul nr. par are semnul plus.

R2:Puterea care are exponentul nr. impar are semnul minus.

Divizibilitatea în multimea nr. întregi

Pt. a calcula nr. divizorilor nat. unui nr. ,,mare" procedăm astfel:

1)Descompunem mr. în factori primi

2)Mărim cu o unitate ficare exponent după care efectuăm produsul sumelor obtinute

Numere prime

Nr. care are numai divizori improprii se numeste nr. prim: D7=.

În afară de 2 toate nr. prime sunt impare.

Nr. care are cel putin un divizor propriu se numeste nr. compus.

Dacă c.m.m.d.c. a două nr. este 1 atunci nr. sunt prime între ele.

Dacă un nr. nat. este divizibil cu două nr. prime între ele atunci el este divizibil si cu produsul acestora.Dacă un nr. nat. are la sfărsit ,,n" zerouri atunci el are ca factori pe 2 la n si 5 la n.

Descompunerea unui nr. compus în factori

Cînd trebuie să calculăm c.m.m.d.c. a două sau mai multe nr. procedăm astfel:

-descompunem nr. în factori

-scriem nr. descompuse unul sub altul

-luăm factorii comuni cu exponentul cel mai mic

-facem produsul puterilor obsinute

Multiplii comuni

Cel mai mic nultiplu comun a două sau mai multe nr. este cel mai mic nr. nat. diferit de 0 care este divizibil cu toate nr. date.

Dacă nr. sunt mari atinci pt. a determina c.m.m.d.c. procedăm astfel:

1)Descompunem nr. în factori care au bazele nr. prime

2)Luăm factorii com. si necom. o dată cu exponentul cel mai mare si facem produsul.

Fractii ordinare

Scrierea de forma a/b unde a apartine N si b apartine N* se numeste fractie ordinară.

Numărătorul este nr. nat. asezat deasupra liniutei de fractie.

Numitorul este nr. diferit de 0 asezat sub liniuta de fractie.

Numitorul indică în câte părti egale a fost împărtit întregul.

Numărătorul ne arată câte părti egale s-au luat dintr-un întreg sau mai multi întregi care au fost împărtiti în părti egale.

O fractie ordinară există dacă numitorul ei este diferit de 0.

Compararea fractiei cu întregul

1)Fractia care are numărătorul egal cu numitorul se numeste fractie echivalentă.

2)Fractia care are numărătorul mai mic decât numitorul se numeste fractie subunitară.

3)Fractia care are numărătorul nai mare decât numitorul se numeste fractie supraunitară.

Fractii echivalente

Fractiile a/b si c/d care au proprietatea că a înmultit cu d egal cu b înmultit cu c se numesc fractii echivalente.

Fractiile echivalente reprezintă aceeasi parte din întreg.

Zicem echivalente si punem semnul egal deoarece egalitatea este:

-reflexivă: a/b =a/b

-simetrică: Dacă a/b=c/d è c/d=a/b

-tranzitivă

Deci este relatie de echivalentă.Dacă a/b=c/d si c/d=e/f èa/b=e/f

(,,=" R,S,T)= rel. de echvalentă

Amplificarea fractiilor ordinare

Procedeul prin care se obt. fractii echivalente înmultind numărătorul si numitorul cu acelasi nr. dif. de 0 se numeste amplificare.

1)Fractia dată este echivalentă cu fractia amplifiactă.

Simplificarea f.o.

Procedeul prin care se obtin fr. echivalente împărtind numărătorul si numitorul la acelasi nr. dif. de 0 se numeste simplificare.

Numim fr. ireductibilă  fr. ordinară care are numărătorul si numitorul nr. prime între ele.

Compararea fr.o.

1)Dacă 2 fr. ordinare au numitorii egali atunci este mai mare fr. care are numărătorul mai mare. 

2)Dacă 2 fr. ordinare au numărătorii egali atunci este mai mare fr. care are numitorul mai mic.

Când este posibil simplificăm fr. înainte de a le compara.

Șir de fr. egale. Nr. rational pozitiv.

Fr. echivalente se obt. amplificând o fr. dată cu un nr. nat.

Dacă amplificăm o fr. dată,pe rând cu nr. nat. obt. un sir de fr. echivalente (egale).

Fr. echivalente reprezintă aceeasi parte dintr-un întreg sau întregi de acelasi tip.î

Numim nr. rational pozitiv multimea fr. ordinare echivalentecu o fr. dată.

Când efectuăm operatii cu nr. rationale efectuăm operatii cu reprezentantii lor care sunt fractii ordinare.

Scoaterea întregilor dintr-o fr. o. supraunitară

Când trebuie să scoatem întregii dintr-o fractie,împărtim numărătorul la numitor,scriem câtul,iar la numărător restul împărtirii(numitorul rămâne neschimbat).

Nr. format dintr-un întreg si o fr. se numeste nr. mixt.

Introducerea întregilor în fr.

Când introducem îmtregii în fr. înmultim numitorul cu întregii,adunăm cu numărătorul si scriem rezultatul la numărător(numitorul rămâne nechimbat).

Adunarea nr. rationale pozitive

Când trebuie să adunăm 2 sau mai multe fr. ordinare care au numitorii egali,scriem o singură dată numitorul si adunăm numărătorii.

Proprietătile adunării

(C)Comutativitatea: a/b+c/d=c/d+a/b

(A)Asociativitatea: (a/b+c/d)+m/n=a/b+(c/d+m/n)

(N)Elenent neutru

Multimea nr. rationale se notează cu litera Q.

Scăderea nr. rationale

Când trebuie să scădem 2 nr. rationale scădem reprezentantii lor care sunt fr. ordinare.

1)Când fr. au numitorii egali scriem o singură dată numitorul si scădem numărătorii.

2)Dacă numitorii diferiti atunci le aducem la acelasi numitor anplificându-le sau simplificându-le când este posibil.

3)Când trebuie să scădem 2 nr. mixte scădem întregii între ei si fr. între ele după ce au fost aduse la acelasi numitor.

Înmultirea fr. ordinare

Când trebuie să înmultim 2 sau mai multe fr. ordinare,înmultim numărătorii între ei si numitorii între ei după ce am făcut simplificările posibile.

Aflarea unei fr. dintr-un nr.

Când trebuie să aflăm cât reprezintă o fr. dintr-um nr. înmultin fr. cu nr.

Împărtirea fr. ordinare

Când trebuie să împărtim 2 fr. ordinare înmultim deîmpărtitul cu inversul împărtitorului.

Putrera unei fr.o. cu exponent nat.

Orice fr. ordinară cu numărătorul 1 si numitorul produsul a 2 nr. nat. consecutive poate fi scris ca diferentă de 2 fr. cu numărătorii egali cu 1 si numitorii factorii produsului.

I)Puterea care are exponentul 0 este egală cu 1 dacă baza este diferită de 0.

II)Puterea care are baza 0 este egală cu 0 dacă exponentul este diferit de 0.

III)Orice putere care are baza egală cu 1 si exponentul nr. întreg este egală cu 1.

Puteri cu exponent întreg pozitiv

Putrerea cu exponent întreg pozitiv este o înmultire repetată în care baza figurează ca factor de câte ori indică exponentul.

Puterea cu exponent întreg negativ

a la -n=1/a la n. Toate prop. de mai sus sunt valabile si aici.

Fractii zecimale

Scrierea de forma a,b este fractie zecimală.

Cifrele situate în dreapta virgulei se numesc zecimale.

Transformarea fr. ordinare în fr. zcimale

Când trebuia să transformăm o fr. ordinară în fr. zecimală împărtim numărătorul la numitor.

Dacă numitorul fr. ordinare este o putere a lui 10 atunci împărtirea nu se efectuează ci sescrie direct rezultatul mutând virgula de la dreapta spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are împărtitorul.

Fr. ordinară care are numitorul o putere a lui 10 se transformă în fr. zecimală finită.

R1:Dacă numitorul unei fr. contine numai puteri ale lui 2,umai puteri ale lui 5 sau puteriale lui 2 si 5 atunci fr. ordinară se trandformă în fr. zecimală finită.

R2:Dacă numitorul nu este putere a lui 10 încercăm să amplificăm convenabil fr. pt. a obtine o putere a lui 10.

Transformarea fr. ordinare în fr. periodice

R1:Dacă numitorul unei fr. ordinare contine ca factori puteri care au baza diferită de 2 si 5 atunci se transformă în fr. zecimală periodică.

R2:Dacă numitorul unei fractii contine pe lîngă puterile lui 2 si 5 si alte puteri atunci se transformă în fr. zecimală periodică mixtă.

Transformarea fr. zecimale finite în fr. ordinare

Când transformăm o fr. zecimală finită în fr. ordinară procedăm astfel:

-Scriem la numărător nr. nat. format cu cifrele fr. zecimale;

-Scriem la numitor cifra 1 urmată de atâtea zerouri câte zecimale are fractia;

-Facem simplificările posibile până se ajunge la fr. ireductibilă.

Adunarea fr. zecimale finite

Asezăm fractiile una sub alta astfel încât să avem virgulă sub virgulă,zecimi sub zecimi etc. si efectuăm adunarea la fel ca la nr. nat.

Transformarea f.z.p.s. în fr. ordinare

Când transformăm o f.z.p.s. în fr. ordinară procedămastfel:

-Scriem întâi întregii;

-Scriem la numărător nr. nat. format cu cifrele perioadei;

-Scriem la numitor atâtia de 9 câte cifre are perioada;

-Se efectuează simplificările posibile.

Transformarea f.z.p.m. în fr. ordinare

Când transformăm o f.z.p.m. în fr. ordinară procedăm astfel:

-Scriem întregii;

-Scriem la numărător dif. dintre nr. nat. format cu toate cifrele si nr. nat. format cu cifrele părtii neperiodice;

-La numitor se scrie nr. nat. format din atâtia de 9 câte cifre are perioada urm. de atâtia de 0 câte cifre are partea neperiodică.

Operatii cu f.z.f.

Dacă la sfârsitul unei f.z.f. punem unul sau mai multe zerouri atunci valoarea fractiei nu se modifică.

(R)Când adunăm 2 sau mai multe f.z.f. le asezăm una sub alta astfel încât virgulele să corespundă,întregi sub întregi,zecimi sub zecimi,sutimi sub sutimi.

Înmultirea f.z.f.

Când trebuie să înmultim 2 f.z.f. la asezăm una sub alta.întâi cea care are cifre mai multe apoi cea care are cifre mai putine.

-Efectuăm produsul ca la nr. nat.,iar la produsul final despărtim de la dreapta spre stânag atâtea zecimale câte au la un loc ambele fractii.î

Împărtirea f.z.f.

R1:Când împărtitorul este f.z. înmultim deîmpărtitul ti împărtitorul cu o putere a lui 10 pt. a dispărea virgula de la împărtitor.

R2:Când trebuie să împărtim 2 f.z.f. le putem transforma în f.o. după care efectuăm împărtirea f.o.

R3:Când împărtim o f.z.f. la 10;100;1000 mutăm virgula de la dreapta spre stânga peste cifre câte zerouri are împărtitorul.

Medie aritmetică

Media aritmetică a 2 sau mai multe nr. este nr. ce reprezintă câtul dintre suma numerelor si nr. lor(câte sunt).

Dacă cunoastem Ma. a mai multor nr. atunci putem afla suma lor înmultind Ma. cu nr. lor(câte sunt).

Medie aritmetică ponderată

Maxp=XxPx+YxPy+ZxPz/Px+Py+Pz

Unităti de măsură pt. timp

Unitatea de măsură pt. timp este minutul.

1h=60min.=3600s

1zi=24h=1440min.=76400s.

Procente

Scrierea de forma p/100 se numeste raport procentual.

Pt. a afla cât reprezintă p% dintr-un nr. înmultim nr. cu raportul pricentual.

Probalităti

Raportul dintre nr. cazurilor favorabile aparitiei unui eveniment si nr. cazurilor egal posibile aparitiei acelui eveniment se numeste probabilitate.

m=nr. cazurilor fav.

n=nr. cazurilor egal pos.

p=m/n

Ecuatii

Etapele rezolvării ecuatiei

1)stabil. muls. de def.a ec.(dacă nu este dată în pb.)

2)eliminarea numit.(dacă ec. cont. rapoarte,fractii)

3)desfintarea parant.(daca ec. are parant)

4)separarea termenilor care cont. variabila de termenii liberi

5)reducerea termenilor asemenea

6)calculul val. variabilei

7)intepreterea solutiei

O ecuatie care are gradul mai mare sau cel pitin egal cu doi se reazolvă astfel:

-se trec toti termenii în stînga egalului,iar îb dreapza rămâne zero

-se reduc termenii asemenea

-se descompun în factori exprisiile din membrul stâng

-se egalează cu zero fiecare expresie din paranteză

-se rezolva ecuatia

-se scrie multimea solutiilor

Ecuatii de tipul x**=a

Orice ecuatie care are gradul mai mic sau egal cu 2 se rezolva astfel:

1)Se trec toate expr. în membrul stâng si îndreapta rămâne zero

2)Se descompune în factori expr. din M.S

3)Se ia fiecare expresie din paranteză si se egalează cu zero după care sa rezovă separat fiecare ecuatie

4)Proba

5)Scrierea mult. de solutie

Ecuatii în Q

P1:Când ecuatia contine f.o.,pt. a elimina numitorii înmultim ecuatia cu numit. Com.

P2:Când o ecuatie contine f.z.f.,eliminarea virgulei se face prin înmultirea ecuatiei cu o putere a lui 10.

AxX=b este forma redusă(standard).

I)Dacă a nu=0èec. compatibilă determinată

II)Dacă a=0 si b=0èec. compatibilă nedeterminată

III)Dcaă a=0 si b nu=0èec. incompatibilă(fără solutie)

Ecuatii de gradul I cu o necunoscută

Propozitia matematică care afirmă că două expresii au valori numerice egale pentru un element din multimea de definitie se numeste ecuatie.

O multime de nr. cu care putem înlocui variabila ,,x" se numese multime de definitie.

Numim solutie a ecuatiei elementuldin multimea de def. care face prop. adevărată.

Prima etapă a rezolvării este scrierea multimi de def. a ec.,iar ultima etapă a rezolvării este scrierea multimii de solutii.

Două ec. se numesc echivalente dacă au aceeasi solutie.

P1:Dacă adunăm sau scădem în ambii termeni ai ec. acelasi nr. obt. o ec. echivalentă cu cea dată.

P2: Dacă înmultim sau împărtim o ec. cu acelasi nr. dif. de 0 obt. o ec. echivalentă cu cea dată.

Etapele rezolvarii:

-stabilirea multimii de definitie

-eliminarea numitorilor(se înmulteste ecuatia cu numitorul comun)

-defiintarea parantezelor

-separarea termenilor ce contin variabila de termenii liberi

-reducerea termenilor asemenea

-calculul valorii variabilei(se împarte numărul din membrul drept la coeficientul variabilei)

-interpretarea solutiei(se verifică dacă valorea găsită apartine multimii de defintie după care se probează în eciatie)

-secrierea multimii solutiilor

Tipuri de ecuatii

1)a0èecuatie compatibilă determinată

2)a=0 si b=0èecuatie compatibilă nedeterminată

3)a=0 si b0èecuatie incompatibilă

Ecuatii de gradul I cu 2 necunoscute

ax+by+c =0 este forma redusa(standard)

Ecuatia este de gr. I daca după efect. calculelor si red. termenilor asemenea variabilele rămân cu exp. 1.

Multimea de definitie a ecuatiei de gradul I cu 2 necunoscute este produsul cartezian a 2 multimi de numere reale.Solutia ei este perechea de numere reale care satisface ecuatia.Solutia este de 2 tipuri:

1)generală

2)particulară

Toate solsutiile particulare ale ecuatiei sunt cordonatele unor puncte coliniare(situate pe aceeasi dreaptă).

Sisteme de două ecuatii de gradul I cu 2 necunoscute

Mult. ale caror elemente sunt ec. se numeste sist de ee.:

a=nr. din care se extrage radicalul

Extragerea radicalului din nr. pătrate perfecte

A extrage răd. pătrată(rad. de ordinul 2) dintr-un nr. înseamnă a determina prin dif. proc. nr. care are pătratul egal cu nr. se sub semnul radical.

Metode:

1)Algoritmul extragerii răd. pătrate

2)Descomp. nr. în factori care au bazele nr. prime după care scoatem de sub semnul radical puterile care au exponentii nr. pare.

Reguli de calcul cu radicali

Rădăcina pătrată a numărului nenegativ a este numărul nenegativ b dacă b**=a.

Proprietăti:

1)=x

2)=|x|

3)

4)

5)

6)

7)

Medie geometrică

Media geometrică a ,,n" nr. este radicatul de ordinul n a prod. nr. date.Media geometrica (proportională) a 2 nr. nenegative este rădăcina pătrată a prod. celor 2 nr.

Nr. reale reprezentate prin litere

Literele sunt de două feluri:

1)parametri: a;b;c;m;n;p

2)variabile: x;y;z;u;;v;t

Nr. reale sunt repr. NUMAI PRIN LTIERE MICI

x=literă mică("de mână") x apartine R

X=nedeterminata

Parametrul este nr. notat cu o literă de la începutul sau mijlocul alfabetului.Ia o val. neprecizată.

Variabila este nr. real notat printr-oliteră mică "de mână" da le sfârsitul alfabetului.Ia un nr. nedeterminat de val.Poate fi înlocuită cu orice element din multimea de solutie.

Expr. algrbrică este o însiruire de cifre si litere egale între ele prin semne de operatii.Val. numerica a expr. algebrice este nr. obt. prin înlocuirea variabilei cu o val. dupa efect. tuturor operatiilor.

Numere irationale

Multimea nr. irationale este diferită de multimea nr. reale si de multimea nr. rationale.

Formule de calcul prescurtat

1)Produsul sumei prin diferentă: (A+B)(A-B)=A**-B**

2)Pătratul binomului sumă: (A+B)=A**+2AB+B**

3)Pătratul binomului diferntă: (A-B)=A**-2AB+B**

4)Pătratul unui trinom: (A+B+C)**=A**+B**+C**+2AB+2AC+2BC

Aplicatii

1)Calcul mintal

2)Relatii metrice

3)Simplficări de rapoarte

4)Calcule de arii ale supr. poligonale

5)Calculul expr. algebrice

6)Demonstratii ale identitatilor etc.

Descompunerea expr. algebrice în factori

A descompune în factori înseamnă a deter. prin dif. metode două sau mai multe expr. care au prod. egal cu expr. dată.

Metode de descompunere:

1)Metoda factorului comun

2)Metoda grupării termenilor

3)Metoda combinată(mixtă)

4)Fol. f.d.c.p.

Metoda factorului comun

F.C. este expr. de gradul cel mai mare cotinuta ca factor îm fiecare termen al expr.

Desompunerea în factori

Factor comun este litera cu exponentul cel mai mic.Deoarece dif. nu este comutativa,cînd invesăm locul desc. cu scăz. scoatem "factor comun fotat"pe -1

A-B=(-1)(B-A)

Metoda gruparii termenilor

Constă în asocierea convenabilă a termenilor cu scopul de a obt. factor comun după care se scoate f.c.

Formule de calcul prescurtat

A**-B**=(A-B)(A+B)

A**+2AB+B**=(A+B)

Sist. de axe ortogonale

Mult. ale cărei elemente sunt axe se numeste sist. de axe.Axa este o dr. orintată.

În plan orice pct. este carac prin 2 nr.:

1)abscisa

2)ordonata

Dst. dintre două pct. din plan

Dst. dintre 2 pct. este nr. nenegativ ce repr. lung. seg. de dr. ale cărui capete sunt pct. date.Dst. dintre 2 pct. din plan se calc. cu formula:

AB= radical din (Xb-Xa)**+(Yb-Ya)**

Coordonatele mij. seg. de dr.

Punctul interior segmentului egal depărtat de capete se numeste mijlocul segmentului de dreaptă. Mij. este unic.

Partea întreagă si partea fractonară

[x]=partea întreagă a lui x

partea fractionară a lui x

[x]+=x

=x-[x]

Partea întreagă a unui număr real este cel mai mic număr întreg apropriat de numărul dat.

Când numărul real are minus se adună o unitate la întreg.

Compararea numerelor reale

Oricare ar fi două numere reale a si b avem:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Dacă a<b sau a=bàab

(R)aa(reflexivitatea)

(A)ab si baàa=b(antisimetrie)

(T)Dacă ab si bcàac(tranzitivitatea)

""fiind reflexivă,antisimetrică si tranzitivă este relatie de ordine în R.

Multimea numerelor reale este bine ordonată.

În N spunem că a<b dacă c N* si a+c=b

În Z spunem că a<b dacă c Z* si a+c=b

Două sau ma multe inegalităti de acelasi tip se pot înmulti membru cu membru.

Intervale

Intervalul este o submultime a multimii numerelor reale.

Întervalul este o multime infinită de numere reale.

Multimea numerelor reale poate fi scrisă ca interval astfel: R=(-;+)

Intervalul care are ambele numere finite se numeste înterval mărginit.

Intervalul care are cel putin un capăt nemărginit se numeste interval nemărginit.

Notatii:

[a;b]=interval închis de capete a si b

(a;b)=interval deschis de capete a si b

[a;b)=interval închis la stânga si deschis la dreapta de capete a si b

Reprezentarea pe axă a intervalelor

Când reprezentăm pe axă un interval nu este necesară unitatea de măsură.

Dificultatea reprezentării constă în ordonarea cerscătoare a capetelor intervalalului.

Când se reprezintă pe axă două intervale la primul interval trasăm linia deasuprsa axei iar la al doilea sub axă.

Dacă inegalitatea este strictă se pune paranteză rotundă.

Dacă inegalitatea este nestrictă(si =) se pune paranteză pătrată.

Operatii cu intervale:

Intervalele fiind multimi infinite de numere  reale putem efectua operatii de:

-reuniune

-intersectie

-diferentă

Adunarea numerelor reale

Oricare ar fi numerele reale a si b suma lor este tot număr real.

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) x+0=0+x=x

Monoame

Expresia algebrică în care există numai înmultiri sau înmultiri repetate(puteri) se numeste monom.

Monoamele care au aceeasi parte laterală aflată la acelasi exponent se numesc monoame asemenea.

Monoamele asemenea care au ceficientii numerici numere opuse se numesc monoame opuse.

Adunarea si scăderea se poate efectua numai cu monoame asemenea.

Când adunăm sau scădem monoame asemenea adunăm sau scădem coeficientul numeric,iar partea laiterarăse scrie o singură dată.

Diferenta monoamelor

Diferenta monoamelor asemenea este un monom asemenea cu ele care are coeficientul numeric egal cu diferenta coeficientilor monoamelor.

Înmultirea monoamelor

Produsul monoamelor se poate efevtua indiferent de tipul monoamelor.

Descompunerea în factori a unei expresii

A descompune o expresie în factori înseamnă a determina prin diferite metode niste espresii(două sau mai multe) al căror produs este egal cu expresia dată.

Metode de descompunere:

-metoda factorului comun

-metoda grupării termenilor

-folosirea formulelor de calcul prescurtat

Metoda factorului comun

Factorul comun este expresia de gradul cel mai mare continută ca factor în fiecare termen.

Distribitivitatea îmultirii ajută la scoaterea factorului comun.

Pentru că scăderea nu este comutativă cănd schimbăm descăzutul cu scăzătorul iese factor fortat -1.

A-B=-1(B-A)

Metoda grupării termenilor

A grupa înseamnă a asocia convenabil.Când espresia nu are factor comun se grupează convenabil termenii cu scopul de a obtine factor comun.

Functii

Functia este un triplet de forma(A;f;B) unde:

-A este multimea de definitie a functiei(domeniu)

-B este multimea în care functia ia valori(codomeniu)

-f este o lege de corespondentă care face ca fiecărui element din domeniu să îi corespundă un element din codomeniu.

Orice functie are 3 părti:

1)domeniu

2)codomeniu

3)legea de corespondentă

Notatii:

Functiile se notează de obicei cu litere mici f;g;h

f:AàB (Funtia f este definită pe multimea A cu valori în multimea B)

Elemnetele domeniului se notează de obicei cu x si se numesc variabile independente,iar elementele codomeniului se notează  de obicei cu y si se numesc variabile dependente(depind de x prin legea f).

Functiile pot fi definite în mai multe moduri:

1)cu ajutorul tabelului de valori

2)cu ajutorul diagramelor Venn-Euler

3)cu ajutorul unei formule

4)cu ajutorul a două formule

5)cu ajutorul a trei sau mai multe formule

Dacă domeniul si codomeniul sunt multimi finite de numere atunci numărul functiilor este egal cu cardinalul dodomeniului la cardinalul domeniului.

Grafice de functii

Gf=

Graficul functiei este o multime de puncte care au proprietatea că y=f(x)(ordonata punctului depinde de abscisă prin legea de corespodentă f).

Reguli:

1)Dacă domeniul este multime de numere reale atunci graficul functei este linie dreaptă.

2)Dacă domeniul este interval mărginit atunci graficul functei este segment de dreaptă.

3)Dacă domeniul este interval nemărginit atunci graficul functiei e semidreaptă inchisă când intervalul es inchis si deschisă cand intervalul este deschis.

4)Dacă domeniul este o multime de numere atunci graficul functiei este o multime de puncte distincte două câte două.

Etapele trasării:

-se scrie domeniul functiei

-se stabileste natura functiei

-se calculează valoarea functiei în capetele intervalului(chiar dacă sunt deschise)

-se întocmeste tabelul de vlori al functiei

-se trasează sistemul de axe ortogonale

-se reprezintă în plan punctele

-se trasează graficul functiei(se pun în capetele segmentului aceleasi paranteze ca la domeniul functiei)

Functia liniară

Două functii f:AàB;f(x)=ax+b si g:CàD;g(x)=cx+d sunt egale dacă sunt îndeplinite trei conditii:

-domeniile sunt egale

-codomeniile sunt egale

-f(x)=g(x) pentru orice element din domeniu

Un punct apartine graficului functei dacă indeplineste două conditii:

-abscisa punctului apartine domeniului

-valoarea functiei când variabila independentă se inlocuie cu abscisa este egală cu ordonata punctului.

Graficul functiei liniare

F:RàR;f(x)=x-2

Etapele:

-se scire multimea de definitie(domeniul)

-se scrie natura graficului(ce este)

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul finctiei taie axa oy

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul finctiei taie axa ox

-se întocmeste tabelul de valori al functiei

-se trasează sestemul de axe ortogonale

-se reprezintă punctul în acest sistem

-se trasează graficul functiei

Determinarea functiei liniare

Când trebuie să determinăm o funcsie trebuie să determinăm domeniul,codomeniul si legea de corespondentă.

Dacă functia este liniară atuncu D=R;C=R

Realtii între coeficienti si rădăcini

Cuvântul rădăcină nu e sinonim al cuvântului solutie.

Polinoamele au rădăcini iar ecuatiile au solutii.

Formule:

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

x1-x2=/a

Inecuatii

Prpozotia matematică care afirmă că două expresii au valori numerice inegale se numeste inecuatie.

Proprietăti:

-dacă inmultim o inecuatie cu un număr begativ se modifică semnul de inegalitate

-multimea solutiilor unei inecuatii e intersectia dintre multimea de definitie si valorile care satisfac inegalitatea.

Sisteme de inecuatii

Multimea ale cărei elemente sunt inecuatii se numeste sistem de inecuatii.

Când variabila e situată la numitor nu se îmulteste inecutia cu numitorul comun si rezolvarea se face astfel:

-se trec toate expresiile în membrul stâng,în dreapta rămâne zero

-se aduce la acelasi numitor

-se efectuează calculele până se pbtine un raport dincare rezultă două sisteme care se rezolvă S=S1S2