Matematici aplicate in economie
Algebra liniara
MULTIPLE CHOICE
1. Fie urmatoarea forma patratica:
Aflati matricea asociata acestei forme patratice.
a.
c.
b.
d.
2. Fie urmatoarea forma patratica:
Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice
a. c.
b.
3. Fie urmatoarea forma patratica:
Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
4. Fie un operator liniar ca re in baza canonica este dat de matricea :
.Precizati polinomul caracteristic asociat acestui operator.
a. c.
b. d.
5. Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea :
.Aflati valorile proprii asociate acestui operator.
a. c.
b. d.
6. Fie operatorul liniar , unde .Determinati spatiul vectorial X
a. c.
b.
7. Fie operatorul liniar , unde .Precizati matricea asociata acestui operator
liniar.
a.
c.
b.
d.
8. Fie operatorul liniar , unde .Determinati polinomul caracteristic asociat
acestui operator
a. c.
b. d.
9. Fie operatorul liniar , unde . Aflati valorile proprii asociate pentru acest
operator liniar.
a. c.
b. d.
10. Fie operatorul liniar , unde .Aflati vectorii proprii asociati acestui operator
liniar.
a. c.
b. d.
11. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza canonica din spatiul
a. 1,1,1 c. 2,2,2
b. 1,2,2 d. 1,0,1
12. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza
din spatiul
a. -1/3,-1/3,-1/3 c. 2/3,1/3,2/3
b. 1/3,1/3,1/3 d. -1/6,1/3,1/3
13. Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut :
A I
Detrminati pornind calculele de la schema data
a.
c.
b.
d.
14. Se da forma biliniara urmatoare:
Scrieti matricea asociata
a.
c.
b.
15. Se da matricea: atasata unei forme biliniare. Scrieti forma biliniara corespunzatoare.
a. c.
b. d.
16. Se da forma patratica
Se se reduca la forma canonica utilizand metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
d.
17. Se da forma patratica
Sa se calculeze minorii matricei asociate acestei forme patratice.
a. c.
b. d.
18. Sa se reduca la forma canonica forma patratica
Scrieti minorii asociati acestei forme patratice
a. c.
b. d.
19. Sa se reduca la forma canonica urmatoarea forma patratica
(Utilizand metoda lui Jacobi)
a.
c.
b.
d.
20. Fie urmatorul operator :
Precizati pe ce spatiu X se lucreaza
a. c.
b. d.
21. Sa se scrie matricea operatorului :
a.
c.
b.
22. Sa se determine suma valorilor proprii pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica
a. c.
b. d.
23. Pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica
stabiliti care este ecuatia caracteristica
a. c.
b. d.
24. Pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica aflati vectorii proprii asociati.
a. a(1,1,-1),b(-1,-1,-1),c(1,1,1),
a,b,c \
c. a(1,0,-1),b(-1,1,-1),c(1,2,1), a,b,c \
b. a(1,0,-1),b(1,1,1),c(2,2,1), a,b,c \ d. a(2,0,-1),b(-1,1,-1),c(2,2,1), a,b,c \
25. Scrieti ecuatia caracteristica pentru operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
a. c.
b.
26. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
Aflati produsul valorilor proprii asociate acestui operator
a. 3 c. 4
b. -3 d. -4
27. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:
Stabiliti care sunt vectorii proprii asociati acestui operator:
a. (a,a),(b,b), c. (a,a),(b,b),
b. (a,-a),(b,b), d. (a,-a),(b,2b),
28. Fie matricea . Scrieti forma biliniara corespunzatoare:
a. c.
b. d.
29. Fie vectorii v1, v2 ∈R2 v1 1, 2si v2 3, 4 Sa se scrie vectorul v 4, 2ca o
combinaŃie liniara a valorilor v1, v2.
a.
1 2 v−5v 3v c.
1 2 v3v 5v
b.
1 2 v5v 3v d.
1 2 v−5v −3v
30. Fie A = unde a1 1, 4, 2 , a2 -1, 2, 0 , a3 3, 1, 5
Sa se scrie vectorul v 2, 1, 3ca o combinatie liniara in baza A =
a. 1 2 3
a a a
v
c. 1 2 3
a a a
v −
b. 1 2 3
a a a
v −
d. 1 2 3
a a a
v −−
31. Fie vectorii v1, v2 ∈R2 v1 1, 2 si v2 3, 4 Sa se scrie vectorul ca o
combinaŃie liniara a valorilor v1, v2.
a. c.
b. d.
32. Fie vectorii b1 2, 4, 5 , b2 -1, 1, 0 , b3 -2, 0, 2 si B = baza 絜 R3 . Sa
se exprime vectorul v 2, 1, 3ca o combinatie liniara 絜 baza B =
a.
v −b −b b
c.
1 2 3 b
b
b
v −
b.
v b −b b
d.
v b b b
33. Fie V spaŃiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K si T : V →V o aplicaŃie
liniara. Un scalar ∈K se numeste ... pentru aplicaŃie liniara T daca exista cel puŃin un vector
nenul v ∈V astfel 絜c穰:
T(v) = v.
a. valoare proprie c. valoare caracteristica
b. vector propriu d. alt raspuns.
34. Vectorul nenul v ∈V care verifica relaŃia T(v) = v se numeste ... pentru aplicaŃia T asociata
valorii proprii .
a. valoare proprie c. valoare caracteristica
b. vector propriu d. alt raspuns
35. Polinomul P() = det (AT - En) se numeste ... asociat aplicaŃiei liniare T ecuaŃia P() = 0 se
numeste ecuaŃia caracteristica a aplicaŃiei T.
a. valoare proprie c. valoare caracteristica;
b. polinom caracteristic d. alt raspuns
36. EcuaŃia det (AT - En)=0 se numeste ... a aplicaŃiei T.
a. ecuaŃie caracteristica c. valoare caracteristica
b. polinom caracteristic d. alt raspuns
37. ScrieŃi matricea asociata operatorului liniar dat de
T x1, x2 x1 5x2 ,−x2 , 4x1 x2 ;T R →R
a. 1 5
A
c. 1 5
A
b. 1 5
A
d. 1 5
A
38. ScrieŃi matricea asociata operatorului liniar dat de
T x1, x2 3x1 4x2 x3, x1 −2x2 2x3, x1 x3 ;T R →R
a. 3 4 1
A
c. 3 4 1
A
b. 3 4 1
A
d. 3 4 1
A
39. AduceŃi la forma canonica forma patratica urmatoare 2 2 2
V x 2x1 3x2 x3 −2x1x2 2x2 x3 ,
utilizaŃi metoda lui Jacobi.
a. 2 2 2
V x y y y
c. 2 2 2
V x y y y
b. 2 2 2
V x y y y
d. alt raspuns
40. DeterminaŃi a, a∈R astfel 絜c穰 forma patratica urmatoare sa fie pozitiv definita
V x 2x1 3x2 ax3 −2x1x2 2x2x3 .
a. 2
a
c. 2
a
b. 2
a
d. alt raspuns
41. DeterminaŃi valorile proprii ale operatorului liniar 2 2 T R →R
av穗d matricea atasata
A
a. 1 −4,2 −4 c. 1 4,2 −4
b. 1 4,2 4 d. 1 4,2 0
42. DeterminaŃi vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar 2 2 T R →R
av穗d matricea
atasata
A
a. c. v1 0,a ,a∈R; v2 8b,−8b ,b∈R
b. v1 0,a ,a∈R; v2 b,8b ,b∈R d. alt raspuns.
43. Fie vectorii din spatiul R3 : v1 = ( 1, 4, 2 ); v 2 = ( -1, 2, 0 ); = ( 3, 2, 5 ). Stabiliti daca
a. vectorii sunt liniari dependenti c. vectorii sunt liniari independenti
b. multimea B = formeaza
o baza a spatiului R3
d. alt raspuns
44. Sa se exprime vectorul v = ( 2, 1, 3 ) ca o combinatie liniara in baza B = 1 2 3v ,v , v ,
v1 = ( 1, 4, 2 ) ; v 2 = (-1, 2, 0 ); v 3 = ( 3, 2, 5 )
a.
v =
v1 +
v 2 -
v 3
c.
v =
v1 +
v 2 +
v 3
b.
v =
v1 -
v 2 +
v 3
d. alt raspuns
45. Stabiliti natura formei patratice urmatoare
g(x)= 8x 2
1 - 6x1x 2 + 2x 2 x 3 + 4x 2
a. pozitiv definita
c. semipozitiv definita
b. negativ definita
d. nedefinita
46. Valorile proprii ale operatorului liniar T: R3 R3,
T(v) = ( 4v1 - v 2 + v 3 , v1 + 3v 2 - v 3 , v 2 + v 3 ) sunt:
a. 1 = 2 = 2 ; 3 = 3 c. 1 = 2 = -3 ; 3 = -2
b. 1 = 2 = 3 ; 3 = 2 d. 1 = 3; 2 = 3 = -2
47. Radacinile ecuatiei caracteristice asociate unei aplicatii liniare se numesc :
a. valori proprii
c. vectori proprii
b. puncte de extrem local
d. vectori liniar independenti
48. Matricea asociata unei forme patratice:
a. are determinantul zero
c. are rangul 3
b. este simetrica d. are determinantul diferit de zero
49. Daca intr-o forma patratica i > 0 pentru i par, si i < 0 pentru i impar, atunci forma patratica
este:
a. nedefinita
c. seminegativ definita
b. negativ definita
d. pozitiv definita
50. Sa se rezolve cu metoda eliminarii (pivotului) sistemul:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a. sistemul este incompatibil
c. x1= -1; x 2 = 2; x 3= -1; x 4 = -2
b. x1= 1; x 2 = 2; x 3= -1; x 4 = -2
d. sistemul este compatibil simplu
nedeterminat
51. (1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca
a.
pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
b.
exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
c.
daca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) atunci a=b =0
d.
nu exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)
52. (1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca
a.
pentru orice numere reale a,b avem ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
b.
exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
c.
daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0
d.
nu exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)
53. Cat este 2(1,1)+3(0,1)?
a. (2,4) c.
b. (3,4) d. (3,5)
54. Se considera transformarea liniara
Care din urmatoarele matrici este matricea lui in baza canonica a lui ?
a.
c.
b.
d.
55. Se considera transformarea liniara
Valorile proprii ale transformarii sunt
a. c.
b. d.
56. Se considera transformarea liniara
T(x,y,z)=(3x,3y+z,y+3z)
Valorile proprii ale transformarii sunt
a. c.
b. d.
57. Se considera transformarea liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
Atunci
a.
b.
c.
d.
58. Se considera forma patratica
Forma canonica a acestei forme patratice este
a.
c.
b.
d.
59. Se considera forma patratica
Forma canonica a acestei forme patratice obtinuta cu metoda lui Jacobi este
a.
c.
b.
d.
60. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza
canonica a lui este
a.
c.
b.
d.
61. Se considera functia .
Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul
a. x c. 2y
b.
d. z
62. Se considera functia .
Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul
a. x c. 2y
b. d. z
63. Valorile proprii ale matricii sunt
a. c.
b. d.
64. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza
canonica a lui este
a.
c.
b.
d.
65. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza
canonica a lui este
a.
c.
b.
d.
66. Valorile proprii ale matricii sunt
a. c.
b. d.
67. Se da transformarea liniara T(x,y)=(2x+y,x-5y). Matricea asociata acestei transformari liniare in baza
canonica a lui este
a.
c.
b.
d.
68. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b. 1 1,2 1,3 1,
d.
69. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b. 1 1,2 1,3 1,
d.
70. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este
. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt
a. c.
b. 1 1,2 1,3 1,
d.
71. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al
acestei transformari este
a. c.
b. d.
72. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al
acestei transformari este
a. c.
b. d.
73. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al
acestei transformari este
a. c.
b. d.
74. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al
acestei transformari este
a. c. P() 2 −68
b. d.
75. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al
acestei transformari este
a. c. P() 2 −68
b. d.
76. Fie urmatoarea forma patratica:
Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice(metoda lui Jacobi)
a. c.
b.
77. Fie urmatoarea forma patratica:
Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi
a.
c.
b.
Matematici aplicate in economie 1
Analiza matematica
MULTIPLE CHOICE
1. Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul īntāi pentru urmatoarea funcŃie:
f x, y= x2 2xy −y2
a. fx (x, y) 2x y; f y (x, y) 2x −y
c. fx (x, y) 2x 2y; f y (x, y) 2x −y
b. fx (x, y) 2x −2y; f y (x, y) 2x y
d. alt raspuns.
2. Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul īntāi pentru urmatoarea funcŃie:
2 2 2 f x, y = (x y )
a. 2 2 2 2 fx (x, y) x(x y ); f y (x, y) y(x y )
c. 2 2 2 2 fx (x, y) 2x(x y ); f y (x, y) y(x y )
b. 2 2 2 2 fx (x, y) 4x(x y ); f y (x, y) 4y(x y )
d. alt raspuns.
3. Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul al doilea pentru urmatoarea funcŃie:
( , ) ln ln x ln(x y)
x y
x
f x y −
a.
f yx x y
x y
y f x y
x y
c.
x f x y
x x y
f yx x y
x y
y f x y
x y
b.
x f x y
x x y
f yx x y
x y
y f x y
x y
d. alt raspuns.
4. Sa se gaseasca punctele staŃionare ale funcŃiei urmatoare:
f(x, y) = x2 + y2 - 4x - 2y + 5 (x, y) ∈R2
a. M(2,1) c. M(-2,1)
b. M(2,-1) d. M(-1,2)
5. Sa se gaseasca punctele de extrem ale funcŃiei urmatoare:
f(x, y) = x2 + y2 - 4x - 2y + 5 (x, y) ∈R2
a. M(2,1) punct de maxim c. M(-2,1) punct de maxim
b. M(2,1) punct de minim
d. M(-1,2) punct de maxim
6. Sa se gaseasca punctele de extrem ale funcŃiei urmatoare
y
x
f (x, y) cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\
a.
punct de minim
c. 1 1 1
, pentru
P
punct de
minim
b. 1 1 1
, pentru
P
punct de
maxim
d.
d)
, pentru
P
punct de
maxim
7. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei
f(x,y) = x+3y+2(x2+y2-5)
a. c.
b. d.
8. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei
f (x, y) 2(x y 1)
x y
a.
c.
b.
d.
9. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu x este:
a. c.
b. d.
10. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu y este:
a. c.
b. d.
11. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −. f are punct stationar pe:
a. M(1,-1) c. M(0,0)
b. M(-1,1)
d. M(3,0)
12. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −.Derivata parŃiala de ordinul
al doilea a lui f īn raport cu x este:
a. 2 , 2
x
f x y
c. 2 , 0
x
f x y
b. 2 , 1
x
f x y −
d. 2 , 2
x
f x y −x
13. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −. Derivata parŃiala de
ordinul al doilea a lui f īn raport cu y este:
a. 2 , 1
y
f x y −
c. 2 ,
y
f x y −y
b. 2 , 2
y
f x y
d. 2 ,
y
f x y x
14. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −.Alege valoarea corecta
pentru fxy x, y
a. fxy x, y0
c. fxy x, yxy
b. fxy x, y
// nu exista d. fxy
x, y
15. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) x xy y 3x 3y 2 −2 −. Estimānd valoarea
expresiei 2 2
x (1, 1) y (1, 1) xy (1, 1)
f −f −−f −
si Ńinānd cont de valoarea 2 (1, 1)
x
f −
, stabileste natura
punctului critic M(1,-1):
a. punct de minim local
c. nu se poate spune nimic despre natura
punctului M(1,-1)
b. punct de maxim local
d. nu este punct de extrem local
16. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6)
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu x este:
a. fx x, y2x −1
c. fx x, y2x
b. fx x, yy 6
d. fx x, y2x −1
17. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) .
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu y este:
a. f y x, yy 6
c. f y x, y2y
b. f y x, y2y 6
d. f y x, yx −1
18. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) .
FuncŃia are punct stationar pe:
a. M(1,-6)
c. M(0,0)
b. M(-1,6)
d. M(1,0)
19. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) . Derivata parŃiala de ordinul al
doilea a lui f īn raport cu x este:
a. 2 , 1
x
f x y
c. 2 , 0
x
f x y
b. 2 , 2
x
f x y
d. 2 , 2
x
f x y x
20. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) . Derivata parŃiala de ordinul al
doilea a lui f īn raport cu y este:
a. 2 , 1
y
f x y −
c. 2 ,
y
f x y −y
b. 2 , 2
y
f x y
d. 2 ,
y
f x y x
21. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) . Alege valoarea corecta pentru
fxy x, y
a. fxy x, y0
c. fxy x, y2
b. fxy x, y
nu exista d. fxy x, y1
22. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) (x −1) ( y 6) . Estimānd valoarea expresiei
x (1, 6) y (1, 6) xy (1, 6)
f −f −−f −
si Ńinānd cont de valoarea 2 (1, 6)
x
f −
, stabileste natura
punctului critic M(1,-6):
a. punct de maxim local
c. punct de minim local
b. nu este punct de extrem local
d. nu se poate spune nimic despre natura
punctului (1,-6)
23. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) xy
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu x este:
a. fx x, y1
c. , x f x y y /
b. fx x, yx
d. fx x, y0
Sa se integreze ecuatia diferentiala : x 2 1y dx + y 2 1x dy = 0
a. 2 1x = - 2 1y + c
c.
1 2 1x = -3 2 1y + c
b.
ln ( 1 +x 2 ) = - 2 1y + c
d. alt raspuns
Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +
xy
, x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt:
a.
xy
f x y x
x y
f x y y
y
x
c.
x y
f x y x
x y
f x y y
y
x
b.
x y
f x y x y
f x y x y
y
x
d.
xy
f x y x
xy
f x y y
y
x
Punctul stationar pentru functia:
f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +
xy
cu x >0, y >0 este
a. M(2, 5) c. M(-2, -5)
b. M(2, 3) d. nu exista
27. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +
xy
cu x >0, y >0 admite
a. punct de maxim local M(2, 5)
c. nu admite puncte de extreme local
b. punct de minim local M(2, 5) d. punct de minim local M(2, 3)
Sa se integreze ecuatia diferentiala:
(1 + y 2 ) + xyy ' = 0
a.
x 2 1y = c
c. x(1 + y ) = c
b.
x + 2 1y = c
d.
-x 2 1y = c
29. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y ' =
xy
x y2 2
a.
2x
y
= ln x + c
c.
2x
y x
= 2ln x +c
b.
2x
x y
= ln x + c
d. alt raspuns
30. Fie , rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I se determina:
a. punctele de maxim local c. punctele stationare
b. punctele de minim local
d. matricea hessiana
31. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - xy + x - 2z,
(x, y, z)∈R3 este
a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - x)dy
+ (2z - 2)dz
c. d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-
xy)dy + (x-2z)dz
b. d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2
dy + (z 2 -2z)dz
d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y -
xy)dy+(2z - 2)dz
32. Functia f (x,y) = x 3 + - 3xy definita pe
a. admite punct de minim local M(1, 1)
c. nu admite puncte de extrem
b. admite punct de maxim local M(-1, 1)
d. admite puncte de minim local pe
M(3, 2) si N(-1, 1)
33. Functia f(x, y, z) = - 2x - 4y - 6z definita pe R 3 are:
a. toate derivatele de ordin 2 nule
c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2
b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule
d. toate derivatele de ordin 2 strict
pozitive
34. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) xy
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu y este:
a. f y x, y1
c. f y x, yy
b. f y x, yx / d. f y x, y0
35. Se da funcŃia de doua variabile f (x, y) xy .
DiferenŃiala de ordinul I a lui f este
a. df dx dy c. df ydx dy
b. df dx xdy d. df ydx xdy
36. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) x y
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu x este:
a. 2 fx x, y y
c. fx x, y2y
b. fx x, y2x
d. 2 fx x, y x
37. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) x y
Derivata parŃiala a lui f īn raport cu y este:
a. 2 f y x, y x
c. f y x, y2y
b. f y x, y2x
d. 2 f y x, y y
38. Se da funcŃia de doua variabile 2 2 f (x, y) x y
DiferenŃiala de ordinul I a lui f este
a. df x dx y dy 2 2 c. df 0
b. df dx dy d. df 2xdx 2ydy
39. Fie ecuaŃia diferenŃiala y'xy
EcuaŃia este
a. cu variabile separabile
c. o ecuaŃie cu derivate parŃiale de
ordinul īntāi
b. liniara de ordinul īntāi
d. liniara de ordinul al doilea
40. O forma echivalenta a ecuaŃiei y'xy este
a. ydy xdx c. dy xy
b.
xdx
y
dy
d. dx xy
41. SoluŃia ecuaŃiei y'xy este data de
a.
c. y 2
b.
C
x
y
d. y x
42. Fie ecuaŃia diferenŃiala y'x 1
EcuaŃia este
a. liniara de ordinul intai
c. ecuatie omogena
b. cu variabile separabile
d. ecuatie diferentiala de ordinul doi
43. O forma echivalenta a ecuaŃiei y'x 1 este
a. dy x 1 c. dy (x 1)dx
b.
x 1
x
dy
d. dx x 1
44. SoluŃia ecuaŃiei y'x 1 este data de
a.
2 x
y
c.
b. y x2 x
d. y x
45. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei
a. c.
b. d.
46. Consideram functia . Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu x este
a.
b.
c.
d.
47. Consideram functia . Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu y este
a.
b.
c.
d.
48. Consideram functia . Atunci diferentiala de ordinul al doilea a lui f este
a.
b.
c.
d.
49. Se da functia de doua variabile . Derivata partiala a lui f in raport cu x este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
50. Se da functia de doua variabile . Derivata partiala a lui f in raport cu y este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
51. Se da functia de doua variabile . Diferentiala de ordinul al doilea al lui f este
a.
b.
c.
d. alt raspuns
52. Derivata partiala a lui in raport cu variabila x este egala cu
a. c.
b. d.
53. Derivata partiala la lui in raport cu variabila x este egala cu
a. c.
b. d.
54. Derivata partiala la lui in raport cu variabila y este egala cu
a. c.
b. d.
55. Derivata partiala a lui in raport cu variabila y este egala cu
a.
c.
b. d.
56. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 6y
57. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
58. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
59. Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de
este egala cu
a. c. 1
b. d. 2y
60. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte
critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (1,1,),(0,0)
b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare
61. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite
deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (1,2)
b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
62. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite
deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (2,3)
b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare
63. Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite
deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)
sunt
a. (0,0) c. (5,2)
b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare
64. Se considera functia . Atunci
punctul (0,0) este un punct
a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local
b. de maxim local pentru f(x,y)
65. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare
a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y
b.
d.
66. Care din urmatoarele ecuatii nu reprezinta o ecuatie diferentiala?
a.
c.
b.
d.
67. Care din urmatoarele ecuatii diferentiale este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile?
a.
c.
b.
d.
68. Care este solutia generala a ecuatiei diferentiale
a.
, A este o constanta
b.
, A este o constanta
c.
A este o constanta
d.
, A este o constanta
69. Fie . Sa se calculeze
a. c.
b. d.
70. Fie . Sa se calculeze
a. c.
b. d.
71. Fie . Atunci
a.
c.
b.
d.
72. Fie . Atunci
a.
c.
b.
d.
73. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
74. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
75. Fie . Atunci
a. c.
b. d.
Matematici aplicate in economie 1
Probleme cu DA si NU
TRUE/FALSE
1. Fie vectorii b1 2, 4, 5, b2 -1, 1, 0, b3 -2, 0, 2.
B = formeaza o baza īn R3?
2. FuncŃionala 3
f R →R; f x 5x1 x2 −4x3 4
este o funcŃionala liniara ?
3. FuncŃionala 3
f R →R; f x 5x1 x2 −4x3
este o funcŃionala liniara ?
4. Vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar 2 2 T R →R
avānd matricea atasata
A
sunt liniar independenŃi ?
5. Daca funcŃia f e diferenŃiabila īn (x0, y0) atunci ea este continua īn acest punct.
6. Daca funcŃia f are derivate parŃiale f'x, f'y īntr-o vecinatate V a lui (x0,y0) si daca aceste
derivate parŃiale sunt continue īn (x0, y0) atunci funcŃia f este diferenŃiabila īn (x0, y0).
7. Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut schema:
Linia pivotului in iteratia urmatoare este 0,0,
8. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Solutia gasita este cea optima.
9. Trei depozite aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine astfel:
Disponibil
Necesar 10 15 15 40
Problema este echilibrata.
10. Vectorii (1,5) si (2, -9) sunt liniar independenti.
11. Vectorii (2, -1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial
12. Vectorii (-2, 3) si (1, -1) formeaza o baza a spatiului vectorial .
13. Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2, -1) deoarece
14. Vectorii (1, 2, -1), (3, 2, 5) si (4, 4, 4) sunt liniar independenti in
15. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 si 1.
16. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 si 5.
17. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y, 3x+y+z).
18. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x-y, x-y+z).
19. este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y, x+3y).
20. Se considera functia . Atunci
21. Se considera functia . Atunci .
22. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
23. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
24. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.
25. Orice functie are puncte stationare.
26. Orice functie are cel mult 1 punct de extrem.
27. Orice functie are cel mult 2 puncte stationare.
28. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi si intr-o vecinatate V a unui punct
si daca si sunt continue in (a, b), atunci .
29. Se considera , . T este o transformare liniara.
30. Se considera , . T este o transformare liniara
31. Se considera , . T este o transformare liniara
32. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.
33. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.
34. Ecuatia diferentiala este o ecuatie liniara de ordinul intai..
35. Forma standard a problemei de programare liniara
este
36. Forma standard a problemei de programare liniara
este
37. Forma standard a problemei de programare liniara
este
38. Forma standard a problemei de programare liniara
este
39. Sistemul de ecuatii
este incompatibil.
40. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
Problema de transport este echilibrata.
41. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N-V este , ,
42. Se considera urmatoarea problema de transport:
Disponibil
Necesar 20 25 45 25
O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este , ,
43. Se considera functia . Atunci f nu are puncte stationare.
44. Radacinile polinomului caracteristic al unei aplicatii liniare se numesc puncte critice.
45. Vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii distincte ale unei aplicatii liniare sunt liniar
dependenti.
46. O forma patratica este negativ definita daca minorii impari sunt strict pozitivi si
cei pari sunt strict negativi.
47. O forma patratica este pozitiv definita daca toti minorii sai sunt strict pozitivi..
48. Daca functia are derivate partiale intr-un punct de extrem , atunci derivatele partiale de
anuleaza in acest punct fx '(a,b) f y '(a,b) 0 .
49. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este
punct de minim.
50. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este
punct de maxim.
51. Trei vectori liniar dependenti formeaza o baza a spatiului vectorial ?
52. Trei vectori liniar independenti formeaza o baza a spatiului vectorial ?
53. Patru vectori din formeaza o baza a spatiului vectorial .
54. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este ?
55. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este ?
56. In spatiul vectorial , vectorul este vector propriu?
57. Matricea asociata unei forme patratice este simetrica?
58. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.
59. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.
60. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
61. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.
62. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena.
63. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.
64. Ecuatia diferentiala este ecuatie diferentiala de ordinul intai.
65. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?
66. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
67. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
68. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
69. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?
70. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?
71. Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai?
72. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?
Matematici aplicate in economie 1
Programare liniara
MULTIPLE CHOICE
1. Fie problema de programare liniara:
[max] 5 10 20
0, 1,3 i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Sa se aduca la forma standard pentru simplex.
a.
[max] 5 10 20
0, 1,6 i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
b.
c.
[max] 5 10 20
0, 1,6 i
f x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x i
d.
[max] 5 10 20
0, 1,6 i
f x x x Mx Mx Mx
x x x x
x x x x
x x x x
x i
2. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
0, 1,3 i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui
a.
b.
c.
3. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
0, 1,3 i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
e. intra , iese
4. Fie problema de programare liniara
[max] 5 10 20
0, 1,3 i
f x x x
x x x
x x x
x x x
x i
Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a.
b.
c.
d. alt raspuns
5. Fie problema de programare liniara
Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara este
a. c.
b. d.
6. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui
a.
b.
c.
d.
7. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
8. Fie problema de programare liniara
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:
Linia lui este
a. 3, 0, 0, -4
b. -3, 0, 0, 4
c. 7, 8, 0, 0
d. -7, -8, 0, 0
9. Fie problema de programare liniara
Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:
Pivotul se afla pe coloana lui
a.
b.
c.
d.
10. Fie problema de programare liniara
a. problema are optim infinit;
b. solutia optima este , ,
c. solutia optima este , ,
d. solutia optima este , ,
11. Fie problema de programare liniara
Matricea asociata formei standard este
a.
c.
b.
d.
12. Fie problema de programare liniara
Duala acestei probleme de programare liniara este
a. c.
b. d.
13. Fie problema de programare liniara
Duala acestei probleme de programare liniara este:
a. c.
b. d.
14. Fie problema de programare liniara
Matricea asociata formei standard are prima linie:
a. 3 0 2 5 0 1
b. 3 2 5 4
c. 3 0 2 5 0 -1
d. alt raspuns
15. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:
Baza initiala pentru algoritmul simplex este
a.
b.
c.
d.
16. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:
Linia lui este
a. 12, 9, 2, 8, 12, 5, 0
b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0
c. 0, 9, 2, -2, 12, 5, 0
d. alt raspuns
17. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:
Pivotul se afla pe coloana lui
a.
b.
c.
d.
18. Fie problema de programare liniara
Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:
Ce decizie se ia?
a. s-a obtinut solutia optima
b. problema are optim infinit
c. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza
d. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza
19. Fie problema de programare liniara
Atunci
a. problema are optim infinit
b.
c.
d.
20. Se considera problema de transport:
Disponibil
Necesar 30 40 60
O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V este
a. , , , , , in rest
b. , , , , , in rest
c. , , , , , in rest
d. , , , , , in rest
21. Se considera problema de transport:
Disponibil
Necesar 30 40 60
O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie este
a. , , , , , in rest
b. , , , , , in rest
c. , , , , , in rest
d. , , , , , in rest
22. Fie problema de programare liniara
Duala acesti probleme de programare liniara este
a. c.
b. d.
23. Fie problema de programare liniara
Matricea sistemului restictiilor este
a.
b.
c.
d.
24. Fie problema de programare liniara
Forma standard a problemei de programare liniara este
a.
b.
c.
d.
25. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
Linia lui este
a. 3, 5, 1, 6, 0, 0, 0
b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0
c. 3, 5, 1, 6, M, M, M
d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M
26. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
f 0 0 0 0 0 0 0 0
Pivotul se afla pe
a. coloana lui , linia lui
b. coloana lui , linia lui
c. coloana lui , linia lui
d. coloana lui , linia lui
27. Fie problema de programare liniara
Prima iteratie a algoritmului simplex este
B
f 0 0 0 0 0 0 0 0
Coloana lui din urmatorul tabel simplex este
a.
b.
c.
28. Fie problema de programare liniara
A doua iteratie a algoritmului simplex este
B
f 120 3 0 3 6 3 0 0
Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din baza
a. intra , iese
b. intra , iese
c. intra , iese
d. intra , iese
29. Fie problema de programare liniara
Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex
B
f 200 13 5 18 6 3 5 0
Ce decizie se ia?
a. problema are optim infinit;
b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra in baza si iese
c. solutia obtinuta este cea optima si , ,
d. solutia obtinuta este cea optima si , ,
30. Fie problema de programare liniara:
max f = .
Forma standard a problemei de programare liniara va fi
a. max f =
c. max f =
b. max f =
d. max f =
31. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui:
a. d.
b. e.
c.
32. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din baza
a. intra , iese d. intra , iese
b. intra , iese e. intra , iese
c. intra , iese
33. Fie problema de programare liniara:
max f =
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
B
Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?
a. max f = 3200 ,
y=(200,0,400)
c. nu are solutie
b. max f = 3400 ,
y=(200,0,400)
34. Fie problema de programare liniara:
, i=1,2,3
Baza initiala pentru algoritmul simplex este
a. d.
b. e. nu are baza initiala
c.
35. Fie problema de programare liniara:
, i=
B
Linia corespunzatoare lui este
a. c.
b. d.
36. Fie problema de programare liniara:
, i=1,2,3
Precizati care este solutia optima
a. si c. si
b. si d. si
37. Fie problema de programare liniara:
min f =
Forma standard a problemei este :
a.
c.
b.
38. Fie problema de programare liniara:
min f =
Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este:
a.
c.
b.
d.
39. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Matricea asociata formei standard este
a.
c.
b.
d.
40. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Prima iteratie a algoritmului simplex este:
Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -M
B
-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0
-M 2 3 2 4 0 0 0 1
Linia corespunzatoare lui este:
a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1
b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1
41. Fie urmatoarea problema de programare liniara:
Prima iteratie pentru aceasta problema este:
3 4 1 0 0 -M -M
B
-M 7 5 -1 2 1 0 0 0
-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0
Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din baza
a. intra iese c. intra iese
b. intra iese d. intra , iese
42. Fie problema de programare liniara:
min f =
Solutia problemei este
a. min f =-1/2
c. min f =0
b. min f =0
d. min f =1/2
43. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui si a lui
a. =50, =5 c. =50, =10
b. =20, =10 d. =50, =20
44. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui si a lui
a. =10, =25 c. =10, =20
b. =5, =25 d. =15, =20
45. Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:
max f = 4x1 + 10x 2 +9x 3
x1 + x 2 + 2x 3 ≤18
2 x1 + x 2 + 4x 3 ≤20
x1 + x 2 + x 3 ≤12
x i ≥0 ; i = 1,3
a.
max f = 4x1 + 10x 2 +9x 3 +0y1+0y 2 +0y3
x1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x1 + + 4x 3 + y 2 = 20
x1 + x 2 + x 3 + y3 = 12
x i ≥0 ; i = 1,3
y1 , y 2 , y3 ≥0
b. max f = 4x1 + 10x 2 +9x 3
x1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x1 + x 2 + 4x 3 - y 2 = 20
x1 + x 2 + x 3 - y3 = 12
x i ≥0 ; i = 1,3
y1<0; y 2 , y3 >0
c. min f = 0
x1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18
2x1 + x 2 + 4x 3 + y 2 = 20
x1 + x 2 + x 3 + y3 = 20
x i ≥0 ; i = 1,3
y1 , y 2 , y3 ≥0
d. alt raspuns
46. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 25 15 10
Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui si a lui
a. =10, =15 c. =10, =20
b. =5, =25 d. =15, =20
47. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 80
b. 50 d. 60
48. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 10
b. 50 d. 60
49. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 80
b. 50 d. 60
50. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 55
b. 50 d. 60
51. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati
a. 40 c. 20
b. 50 d. 60
52. Fie urmatoarea problema de transport
Disponibil
Necesar 50 75 25 60
Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transport
a. 665 c. 500
b. 765 d. 400
53. Fie problema de programare liniara
Duala sa este
a. c.
b. d.
54. Fie problema de programare liniara
Forma standard este
a. c.
b. d.
55. Fie problema de programare liniara
Matricea problemei in forma standard este
a.
c.
b.
d.
56. Fie problema de programare liniara
Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este
a.
c.
b.
d.
|
