ALTE DOCUMENTE |
Matrice si determinanti
Fie si
doua multimi finite si X un inel cu unitate.
2.1 Definitie. |
O aplicatie A : M N X, A (i,j) = aij X se numeste matrice de tipul m n cu elemente din inelul X. |
Valorile A (i,j) = aij se numesc elementele matricei A si în mod traditional multimea ImA, organizata într-un tabel dreptunghiular cu m linii si n coloane, notat cu A, va fi numita matrice dreptunghiulara.
Pe scurt, matricea A va fi n 616f55g otata cu ,
,
.
O matrice cu o singura linie sau coloana se va numi matrice linie respectiv matrice coloana sau vector.
Schimbarea liniilor în coloane în matricea A se numeste transpunerea lui A, iar matricea care se obtine se noteaza cu tA si se numeste transpusa matricei A.
Daca m = n, matricea A va fi numita matrice patratica, iar n va fi numit ordinul matricei.
În cele ce urmeaza, elementele matricelor folosite vor fi considerate din corpul numerelor reale R sau complexe C, notat cu K. Multimea matricelor de tipul m n cu elemente din K va fi notata cu Mm n (K).
Definim pe multimea Mm n (K) operatiile de adunare a doua matrice si produsul unei matrice cu un scalar.
Daca si
sunt doua matrice de tipul m n atunci matricea A
+B =: (aij + bij) este numita suma matricelor
A si B. Proprietatile operatiei de adunare a doua
matrice rezulta din proprietatile pe care le are suma din corpul
K.
Matricea cu toate elementele nule va fi notata cu O si o vom numi matricea
zero, iar matricea
va fi numita opusa lui A.
Daca l K si Mm n (K)atunci matricea
lA=: (l aij)
defineste produsul matricei A cu scalarul l
Daca A Mm n (K) si B Mm n (K) , atunci matricea de tipul m p, data de , va fi
numita produsul matricelor A si B .
Sa consideram multimea matricelor patratice de ordinul n, notata cu Mn (K). În multimea Mn (K ) produsul a doua matrice nu este comutativ. Daca matricele A, B Mn (K) satisfac proprietatea A B = B A , acestea vor fi numite comutabile.
O matrice patratica A cu proprietatea tA = A (tA = -A) se numeste simetrica (antisimetrica). Orice matrice patratica poate fi scrisa în mod unic ca suma dintre o matrice simetrica si o matrice antisimetrica.
O matrice patratica cu toate elementele situate dedesubtul sau deasupra diagonalei principale nule se numeste matrice triunghiulara.
O matrice patratica pentru care: k astfel încât akk 0 si
,
, se
numeste matrice diagonala.
Matricea diagonala în care aii
= 1, se numeste matrice unitate de ordinul n si
se noteaza cu In.
O matrice patratica cu proprietatea tAA = AtA = I se numeste matrice ortogonala.
Daca A este o matrice patratica, atunci pot fi definite inductiv puterile lui A:
A° = 1, An = A An-1, " n N*
Fie polinomul cu coeficientii din câmpul K.
Numim polinom de matrice, matricea
unde A M n(K) si In este matricea unitate de ordinul n.
2.2 Definitie. |
Se numeste determinantul matricei patratice A M n(K) , elementul detA K dat de
unde Sn este
grupul permutarilor de ordinul n, iar |
De cum este definit determinantul unei matrice patratice A rezulta ca det(tA) = detA, motiv pentru care orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevarata si pentru coloane. Sa enuntam principalele proprietati ale determinantilor:
- daca elementele unei linii sunt reprezentate ca sume de câte doi termeni, atunci determinantul se descompune într-o suma de doi determinanti.
- daca elementele unei linii se multiplica cu un numar t, atunci determinantul se
multiplica cu t. În general .
- daca într-un determinant se schimba doua linii între ele, atunci se schimba si semnul determinantului.
- valoarea unui detrminant nu se schimba daca la elementele unei linii adaugam o combinatie liniara formata cu elementele celorlalte linii.
Daca aij este
un element al matricei A, notam
cu Dij determinantul obtinut prin suprimarea liniei i si a coloanei
j, numit minorul elementului aij,
iar cu complementul
algebric al acestui element.
Calculul determinantului matricei A,
folosind teorema de dezvoltare dupa linia i, , este dat de formula
Matricele patratice A Mn(K) pentru care detA 0 se numesc matrice nesingulare.
Matricea A-1
cu proprietatile se numeste inversa matricei A. Matricea A este inversabila daca si numai daca A este nesingulara. Inversa
matricei A se poate determina astfel:
se calculeaza detA , se afla reciproca A*
prin înlocuirea elementelor matricei tA
cu complementii algebrici corespunzatori dupa care obtinem
Întrucât, în general, produsul a doua matrice nu este comutativ, avem (AB)-1 = B-1A-1.
Multimea matricelor de ordinul n nesingulare împreuna cu operatia de înmultire a doua matrice formeaza un grup numit grupul liniar general de ordinul n, notat cu GL (n; K).
Grupul liniar general GL (n; K) contine câteva subgrupuri remarcabile:
GO(n; K) =
numit grupul ortogonal de ordinul n
SO(n; K) =
numit grupul ortogonal special de ordinul n.
|