Cu acest concept
ne-am intalnit inca din primul an de liceu , atunci cand s-a pus problema
rezolvarii unui sistem de 2 ecuatii cu doua necunoscute x,y de forma 
Acestui
sistem I-am asociat un tablou patratic care contine coeficientii
necunoscutelor (in prima linie sunt coeficientii lui x,y din prima ecuatie iar in
a doua sunt linie figureaza coeficientii lui x,y din ecuatia a doua ): 
Am numit acest tablou matrice patratica. Pe cele doua coloane ale matricei figureaza coeficientii lui x si respectiv coeficientii lui.
DEFINITIE : Se numeste matrice cu m linii si n coloane un tablou cu m linii si n coloane ale carui elemente aij sunt numere complexe.
Uneori aceasta matrice se noteaza si A=(a i,j)
Pentru elementul a i,j indicele arata linia pe care se afla elementul iar al-doi-lea indice j indica pe ce coloana este situat.
Vom nota matricile A,B,C,.,X,Y,...
Multimea
matricilor de tip M*N cu elementele numere reale se noteaza prin 
.Daca matricele au elemente irationale , atunci notam 
.
Definitie. Fie A=(a i,j),B=(b i,j) ,Spunem ca matricile A si B sunt egale
si scriem A=B daca a i,j=b i,j 
Definitie Fie A=(a i.j), B=(b i,j) , C=(c i,j) . Matricea C se numeste suma matricelor A,B daca c i,j =a i,j+b i,j .
Altfel spus matricele se aduna pe componenete.
Observatii
1) Doua matrici se
pot aduna daca sunt de acelasi 10310m1215k tip, adica daca au
acelasi numar de linii si acelasi numar de coloane,
deci A, B 
.
Explicit adunarea matricilor A, B înseamna:
Exemplu: Sa se calculeze A + B pentru:
1. 
;
2.
R. 1. Avem
2. Avem
Proprietati ale adunarii matricilor
(Asociativitatea
adunarii). Adunarea matricilor este asociativa,
adica:
A, B, C
(Comutativitatea
adunarii). Adunarea matricilor este comutativa,
adica:
A, B
(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nula ca element neutru,
adica 
astfel încât A += A, A
(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat
, astfel încât
.
Cu scalari :
Definie Fie A=(a i,j) si 
Se numeste produsul dintre scalarul si matricea A,matricea notata 
A definita prin A=(a i,j).
Inmultirea a doua matrici
Definitie . Fie A=(a k,i), B(b i,j) . Produsul dintre matricile A si B notat AB este matricea
C=(c k,j) definita prin 
Exemplu: Daca 
Proprietati ale înmultirii matricilor cu scalari
, 
C, A;
,C, A, B;
,C, A;
,1C, A;
Observatii
Produsul AB a doua matrici nu se
poate efectua întotdeauna decât daca A
, B
, adica numarul
de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale lui B,
când se obtine o matrice C = AB
Daca matricile sunt patratice A,
B
atunci are sens
întotdeauna atât AB cât si BA, iar, în general, AB
BA adica înmultirea matricilor nu
este comutativa.
Proprietati ale înmultirii matricilor
(Asociativitatea
înmultirii). Înmultirea matricilor este asociativa, adica
A B
C
(Distributivitatea
înmultirii în raport cu adunarea). Înmultirea matricilor este
distributiva în raport cu adunarea matricilor,
adica
A, B, C matrici pentru care
au sens operatiile de adunare si înmultire.
Daca 
este matricea unitate,
atunci
A.
Se spune ca este element neutru în raport cu
operatia de înmultire a matricilor.
TEOREMA Cayley - Hamilton
Orice matrice
A îsi verifica polinomul caracteristic 
.
Pentru n = 2.
.
polinom caracteristic
Generalizat.
Program de_adunare_a_matricilor
uses crt;
type matrice=array [1..30,1..30] of integer;
var a,b,c:matrice;
i,j,n,m:integer;
f,g:text;
procedure citire;
begin
assign (f,'date.in');
reset (f);
read (f,n,m);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
read (f,a[i,j]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
read (f,b[i,j]);
close(f);
end;
procedure adunare;
begin
assign (g,'date.out');
rewrite (g);
writeln (g,'Cele doua matrice sunt');
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (g,a[i,j]:2);
writeln (g);
end;
writeln (g);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (g,b[i,j]:2);
writeln (g);
end;
writeln (g);
writeln (g,'Matricea C=A+B este:');
writeln (g);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];
write (g,c[i,j]:2);
end;
writeln (g);
end;
close (g);
end;
begin
citire;
adunare;
end.
Exemplu:
Cele doua matrice sunt
1 2 4 5
-3 2 3 4
1 0 0 3
0 1 1 2
10 2 2 9
0 0 1 3
10 1 -1 4
9 9 8 -1
2 4 7 7
-2 3 4 4
Matricea C=A+B este:
1 2 5 8
7 3 2 8
10 9 8 2
2 5 8 9
8 5 6 13
Program de_inmultire_a_matricilor
uses crt;
type matrice=array [1..30,1..30] of integer;
var a,b,c:matrice;
i,j,k,n,m,p,s:integer;
f,g:text;
procedure citire;
begin
assign (f,'date.in');
reset (f);
read (f,n,m,p);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
read (f,a[i,j]);
for i:=1 to m do
for j:=1 to p do
read (f,b[i,j]);
close(f);
end;
procedure inmultire;
begin
assign (g,'date.out');
rewrite (g);
writeln (g,'Cele doua matrice sunt');
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (g,a[i,j]:2);
writeln (g);
end;
writeln (g);
for i:=1 to m do
begin
for j:=1 to p do
write (g,b[i,j]:2);
writeln (g);
end;
writeln (g);
writeln (g,'Matricea C=A*B este:');
writeln (g);
for i:=1 to p do
begin
for k:=1 to n do
begin
s:=0;
for j:=1 to m do
s:=s+(a[k,j]*b[j,i]);
c[k,i]:=s;
end;
end;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to p do
write (g,c[i,j]:3);
writeln (g);
end;
close (g);
end;
begin
citire;
inmultire;
end.
Exemplu:
Cele doua matrice sunt
0 1-1
3 1
0 1
Matricea C=A*B este:
5 6
-1 -2
Definitia
determinantului de ordin n
Fie A=
o matrice
patratica. Vom asocia acestei matrici un numar notat det(A)
numit determinantul matricii A.
Definitie.
Daca A=
este o matrice
patratica de ordinul întâi, atunci
det(A) =
.
Definitie.
Determinantul matricii 
este numarul
si se numeste determinant de ordin 2.
Termenii
se numesc termenii dezvoltarii
determinantului de ordin 2.
Definitie. Determinantul matricii
este numarul
si se numeste determinant de ordin 3. Termenii care apar în formula se numesc termenii dezvoltarii determinantului.
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaza trei tehnici simple:
Regula lui Sarrus
Fie
determinantul de ordin 3, 
Pentru a calcula un astfel de determinant se
utilizeaza tabelul de mai jos.
primele doua linii)
Se face produsul elementelor de pe
diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonala descendenta este cu
semnul plus. Avem trei astfel de
produse: 
.
Produsul
elementelor de pe o diagonala ascendenta este cu semnul minus. Avem
trei astfel de produse: 
.
Suma celor sase produse da valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeste "regula lui Sarrus".
Regula triunghiului
Am vazut ca determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa sase termeni, trei cu semnul plus si alti trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se gaseste înmultind elementele de pe diagonala principala, iar ceilalti doi, înmultind elementele situate în vârfurile celor doua triunghiuri care au o latura paralela cu cu diagonala principala. Dupa aceeasi regula, referitoare la diagonala secundara, se obtin termenii cu minus.
Obs.: Atât "regula lui Sarrus" cât si "regula triunghiului" se aplica numai determinantilor de ordin 3.
Exemplu. Sa se calculeze prin cele doua metode de mai sus determinantul
R. Regula lui Sarrus.
Regula triunghiului
Recurent (sau dezvoltare dupa o linie sau o coloana)
Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalti cu semnul minus.
Are loc urmatoarea proprietate:
, (1)
= 
. (2)
Observatii
Egalitatea (1) se mai numeste dezvoltarea determinantului dupa elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeste dezvoltarea determinantului dupa elementele coloanei întâi.
Formulele (1) si (2) sunt relatii de recurenta, deoarece determinantul de ordin 3 se exprima cu ajutorul unor deteminanti de ordin inferior (2).
Definitia determinantului de ordin n
Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenta cu ajutorul determinantilor de ordin n - 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizari.
Fie A=.
Definitie1.
Se numeste minor asociat elementului 
determinantul matricii
patratice
de ordin n - 1 obtinut prin suprimarea liniei i
si coloanei j din matricea A. Se noteaza acest minor
prin 
sau 
.
Definitie2.
Se numeste complement algebric al elementului numarul 
. Exponentul 
al lui (-1) este suma dintre numarul liniei i
si coloanei j pe care se afla .
Definitie.
Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima
linie cu complementii lor algebrici adica
.
Observatii
Elementelor, liniilor si coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile si coloanele determinantului
.
Formula din definitie spunem ca reprezinta dezvoltarea determinantului de ordin n dupa elementele primei linii.
Definitia determinantului de mai sus este înca putin eficienta (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietati ale determinantilor care sa fie comode atât din punct de vedere al teoriei si din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietati le prezint în paragraful urmator.
Continuând cu explicitarea determinantilor de ordin n - 1
din definitie 
se obtine pentru 
o suma de produse de elemente din determinant, fiecare
produs continând elemente situate pe linii si coloane diferite.
Determinantul este o functie 
.
Exemplu Sa se calculeze determinantul de ordin 4:
.
R. Aplicam definitia data mai sus pentru n = 4 si dezvoltam determinantul dupa elementele liniei întâi. Avem:
=
=
,
unde determinantii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinantii de ordin 3.
Proprietatile determinantilor
Determinantul unei matrici coincide cu
determinantul matricii transpuse, adica daca A, atunci 
.
Demonstratie. Fie 
si 
.
Atunci 
, iar 
. Prin urmare .
Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice
sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstratie. Avem 
si 
.
Daca într-o matrice schimbam doua linii (sau doua
coloane) între ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul
determinantului matricii initiale.
Demonstratie. Prin schimbarea
liniilor sa arat ca avem egalitatea 
. Avem evident 
.
Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci
determinantul sau este nul.
Demonstratie. Verific pentru linii (si tot odata pentru coloane). Avem:
.
Daca toate elementele unei linii (sau
coloane) ale unei matrici sunt înmultite cu un numar 
, obtinem o matrice al carei determinant este egal
cu înmultit cu
determinantul matricii initiale.
Demonstratie. Verificam pentru
linii proprietatea. 
.
Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrici
sunt proportionale, atunci determinantul este nul.
Demonstratie. Verificam pentru
linii. 
.
Calculul inversei unei matrici
Definitie. Fie A. Matricea A se numeste inversabila
daca exista matricea B cu proprietatea ca 
, fiind matricea
unitate.
Matricea
B din definitie se numeste inversa matricii A
si se noteaza 
. Deci
.
Teorema. Matricea A este inversabila daca si numai
daca 
O astfel de matrice se
numeste nesingulara.
Constructia
lui 
presupune
urmatorii pasi:
Pasul 1. (Constructia transpusei)
Daca 
,
atunci construim transpusa lui A 
.
Pasul 2. (Constructia adjunctei)
Matricea
obtinuta din 
, inlocuin fiecare element cu complementul sau algebric
se numeste adjuncta matricii A.
Pasul 3. (Constructia inversei) Se tine cont de teorema precedenta si se gaseste ca:
iar de aici 
|
|
Ultimele egalitati arata ca :
program regula_lui_Sarrus;
uses crt;
type matrice =array [1..30,1..30] of longint;
var a:matrice;
i,j,s,s1,s2,k,n,m,p,x:longint;
f:text;
procedure citire;
begin
assign (f,'fisier.txt');
reset (f);
textcolor(2);
writeln(' Aceasta problema a putut fi rezolvata cu ajutorul');
writeln(' REGULEI lui SARRUS');
writeln;
writeln;
writeln;
writeln;
writeln;
textcolor(11);
writeln (' Matricea A este:');
writeln;
read(f,n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
read (f,a[i,j]);
write (a[i,j]:2);
end;
writeln;
end;
m:=n;
writeln;
close (f);
end;
procedure prelucrare_matrice;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do
a[n+i,j]:=a[i,j];
writeln;
writeln(' Matricea + liniile adaugate');
writeln;
x:=n;
n:=n+n-1;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (a[i,j]:2);
writeln;
end;
end;
procedure calcul;
begin
s1:=0;
s2:=0;
p:=1;
for k:=0 to x-1 do
begin
p:=1;
i:=k;
for j:=1 to x do
begin
inc(i);
p:=p*a[i,j];
end;
s1:=s1+p;
end;
writeln;
for k:=x+1 to n+1 do
begin
p:=1;
i:=k;
for j:=1 to x do
begin
i:=i-1;
p:=p*a[i,j];
end;
s2:=s2+p;
end;
s:=s1-s2;
writeln;
writeln (' Determinantul matricii A este: det(A)=',s)
end;
begin
clrscr;
citire;
if n=2 then
begin
s1:=a[1,1]*a[2,2];
s2:=a[2,1]*a[1,2];
s:=s1-s2;
writeln;
writeln (' Determinantul matricii A este: det(A)=',s);
end
else
begin
prelucrare_matrice;
calcul;
end;
readkey;
end.
program regula_triunghiului;
uses crt;
type matrice =array [1..30,1..30] of longint;
var a:matrice;
i,j,s,s1,s2,k,n:longint;
f:text;
procedure citire;
begin
assign (f,'fisier2.txt');
reset (f);
textcolor(2);
writeln(' Aceasta problema este rezolvata cu ajutorul');
writeln(' REGULEI TRIUNGHIULUI');
writeln;
writeln;
writeln;
writeln;
textcolor(11);
writeln (' Matricea A este:');
writeln;
for i:=1 to 3 do
begin
for j:=1 to 3 do
begin
read (f,a[i,j]);
write (a[i,j]:2);
end;
writeln;
end;
writeln;
close (f);
end;
procedure calcul;
begin
s1:=a[1,1]*a[2,2]*a[3,3];
s1:=s1+(a[2,1]*a[3,2]*a[1,3]);
s1:=s1+(a[1,2]*a[2,3]*a[1,3]);
s2:=a[1,3]*a[2,2]*a[3,1];
s2:=s2+(a[1,2]*a[2,1]*a[3,3]);
s2:=s2+(a[3,2]*a[2,3]*a[1,1]);
s:=s1-s2;
writeln;
writeln (' Determinantul matricii A este: det(A)=',s);
end;
begin
clrscr;
citire;
calcul;
readkey;
end.
Manual
pg. 75 Sa se determine numerele reale x, y, z astfel încât sa aiba loc egalitatea de matrici, în cazurile
1) 
2) 
3) 
I.
daca 
, atunci 
II.
daca 
, atunci 
4) 
pg. 79 1.
Sa se calculeze 
în cazurile:
1) 
, 
.
2) 
, 
Se considera matricile
Sa se determine m, n, p
astfel încât 
.
Deci 
pg. 83 1. Se
considera matricile 
Sa
se calculeze: 
, 
.
pg. 95 1.
Calculati produsele de matrici 
, unde
a) 
si 
b) 
si 
c) 
si 
d) 
si 
e) 
si 
2.
Sa se calculeze 
, daca:
; 
3. Fie 
. Sa se calculeze
, 
.
Inductie
matematica 
(A)
.pg. 129 1. Calculati determinantii de ordinul doi:
1) 
2) 
3) 
2. Calculati determinantii de ordinul trei:
1) 
2)
3)
6. Calculati determinantii urmatori:
1)
2)
12. Sa se rezolve ecuatiile:
3)
Deci
.
13. Sa se rezolve ecuatiile:
1)
1. Sa se determine matricea X din ecuatia
a) Gasiti matricea X
astfel încât
b) Sa se determine m
astfel încât sistemul urmator sa fie
compatibil si apoi rezolvatil:
a)
Deci
.
b)
. Sa se rezolve ecuatia:
. Mircea Ganga, Manual de Matematica, Elemente de Algebra liniara, si geometrie analitica, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2004
2. Ghid de pregatire pentru examenul de bacalaureat la matematica 2005, editura SIGMA,2005.
|
