Metode elementare de rezolvare a ecuatiilor diofantiene
1. Metoda descompunerii
Aceasta metoda
consta în scrierea ecuatiei 
sub forma
unde 
si 
. Folosind descompunerea în factorii primi ai lui 
, obtinem un numar finit de descompuneri în 
factori întregi 
Fiecare astfel de
descompunere conduc 131e43b e la un sistem de ecuatii de forma
Rezolvând aceste sisteme de ecuatii obtinem multimea de solutii pentru ecuatia considerata.
2. Rezolvarea ecuatiilor diofantiene cu ajutorul inegalitatilor.
Aceasta metoda consta în determinarea unor intervale în care se afla necunoscutele, prin utilizarea unor inegalitati adecvate. În general, acest proces conduce la un numar finit de posibilitati pentru toate necunoscutele sau pentru o parte dintre acestea.
3. Metoda parametrica
În multe situatii solutiile întregi ale ecuatiei diofantiene
pot fi reprezentate parametric sub forma
unde 
sunt functii de l-variabile, cu valori întregi si 
Pentru unele ecuatii diofantiene multimea solutiilor poate avea mai multe reprezentari parametrice.
În multe cazuri, nu este posibil sa gasim toate solutiile pentru o ecuatie diofantiana. Metoda parametrica este o cale utila de a pune în evidenta familii infinite de solutii.
4. Metoda aritmeticii modulare
În multe situatii consideratii simple de aritmetica modulara se dovedesc a fi extrem de utile în demonstratia faptului ca anumite ecuatii diofantiene nu sunt solvabile sau în reducerea posibilitatilor de alegere a solutiilor acestora.
5. Metoda inductiei matematice
Inductia matematica este o metoda utila si eleganta în demonstrarea unor afirmatii care depind de multimea numerelor naturale.
Fie 
un sir de propozitii.
Metoda inductiei matematice ne ajuta sa demonstram ca
propozitia 
este adevarata pentru orice 
, unde 
este un numar natural fixat.
Am tratat 3 forme ale
inductiei
matematice, si anume: forma slaba, cu pasul 
si forma tare
Aceasta metoda de demonstratie este frecvent utilizata în diferite discipline matematice, inclusiv în teoria numerelor. Am dat exemple care ilustreaza utilizarea inductiei matematice în studiul ecuatiilor diofantiene.
6. Metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF)
Cercetarile lui Fermat au avut un puternic impact in lumea matematicienilor, descoperirile si metodele sale impunându-se cu repeziciune. El a fost unul dintre primii matematicieni care a utilizat o metoda de demonstratie cunoscuta sub numele de "descendenta infinita".
Fie 
o proprietate referitoare la numerele naturale
nenule si 
sirul de propozitii:
Metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF) poate fi formulata în modul urmator:
Fie un numar natural. Se presupune ca:
- daca 
este adevarata pentru un numar 
, atunci exista un
numar mai mic 
cu proprietatea ca
propozitia 
este adevarata.
Atunci este falsa pentru orice 
Acest lucru se întâmpla
deoarece daca ar exista pentru care propozitia este adevarata, atunci
s-ar putea construi un sir infinit de numere naturale 
, ceea ce evident nu este posibil.
|
