Multimea numerelor intregi Operatii pe multimea numerelor intregi
Multimea numerelor intregi: 
Multimea numerelor intregi: 
Valoarea absoluta (modulul)
Valoarea
absoluta (modulul) unui numar intreg a, notata cu 
, este:
, adica 
Modulul unui numar intreg a reprezinta distanta de la imaginea numarului a pe axa pana la origine.
Observatie: Modulul unui numar intreg este totdeauna un numar natural.
Proprietatile modulului
sau 
Adunarea numerelor intregi
Doua numere intregi se aduna astfel:
1. Daca cele doua numere intregi au acelasi semn, atunci suma lor este un numar intreg al carui modul este egal cu suma modulelor celor doua numere si al carui semn este acelasi cu semnul lor comun.
2. Daca cele doua numere intregi au semne contrare si sunt egale in modul, atunci suma lor este 0.
3. Daca cele doua numere intregi sunt de semne contrare si sunt diferite in modul, atunci suma lor este un numar intreg al carui modul este egal cu diferenta in modul a modulelor celor doua numere si al carui semn este acelasi cu semnul numarului mai mare in modul.
Proprietatile adunarii
Asociativitatea
Adunarea numerelor intregi este asociativa, adica 
Comutativitatea
Adunarea numerelor intregi este comutativa, adica 
Elementul neutru
Numarul natural 0 este element neutru pentru adunare,
adica 
Existenta opusului unui numar intreg
Pentru orice 
exista 
astfel incat 
. Numarul intreg b se numeste
opusul lui a si se noteaza cu 
Scaderea numerelor intregi
Cu ajutorul opusului unui numar intreg
se poate defini operatia de scadere in 
Daca 
, atunci 
Desfacerea parantezelor
1. O paranteza in fata careia se afla
semnul 
se desface suprimand parantezele si
schimband semnul tuturor termenilor din paranteza.
2. O paranteza in fata careia se afla
semnul 
se desface suprimand parantezele si
scriind termenii din paranteza fara a le schimba semnul.
Inmultirea numerelor intregi
Doua numere intregi se inmultesc astfel:
1. Daca unul din cele doua numere intregi este 0, atunci produsul lor este 0.
2. Daca cele doua numere intregi sunt nenule si au acelasi semn, atunci produsul lor este un numar intreg pozitiv al carui modul este egal cu produsul modulelor celor doua numere.
3. Daca cele doua numere intregi sunt nenule si de semne contrare, atunci produsul lor este un numar intreg negativ, al carui modul este egal cu produsul modulelor celor doua numere intregi.
Regula
semnelor: 
Proprietatile inmultirii
Asociativitatea
Inmultirea numerelor intregi este asociativa, adica 
Comutativitatea
Inmultirea este comutativa, adica 
Elementul neutru
Numarul intreg 1 este element neutru pentru inmultire, adica
Distributivitatea fata de adunare
Inmultirea este distributiva fata de adunare, adica 
Factor comun
Distributivitatea sta la baza metodei de scoatere a
factorului comun: 
sau 
Impartirea
Teorema impartirii cu rest: Pentru orice numere intregi a
si b, 
, exista doua numere intregi unice q si r, astfel incat:
si
q se numeste catul impartirii, iar r restul impartirii. De asemenea, a se numeste deimpartit, iar b impartitor.
Daca 
se spune ca a se imparte exact la b
sau ca impartirea s-a facut exact.
Pentru impartirile cu rest 0 in multimea numerelor
intregi, regula semnelor este aceeasi cu cea de la inmultirea numerelor
intregi: 
Divizibilitate
Daca a si b sunt doua numere intregi, spunem ca b divide pe a sau a este
divizibil cu b daca exista un numar intreg c astfel incat 
. Notatie: 
, respectiv 
. In aceasta situatie, mai putem spune ca b este un divizor al lui a sau ca
a este un multiplu al lui b.
Daca b nu divide pe a, folosim notatia 
Proprietatile relatiei de divizibilitate
Reflexivitatea: 
Antisimetria: Daca si 
, atunci 
Tranzitivitatea: Daca 
si 
, atunci 
si 
(
si 
se numesc divizori improprii ai lui
a).
(0 este divizibil cu
orice numar intreg
Daca si 
, atunci 
Daca , atunci 
Daca si si b si c sunt prime intre ele,
atunci 
Puteri. Operatii cu puteri
Prin
definitie, a la puterea n este numarul notat 
a se numeste baza puterii, iar n exponentul.
Prin conventie, 
, iar 
nu are sens.
Proprietati ale operatiilor cu puteri
|
