Multimi

Multimi

Moduri de definire a multimilor. Multimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildă sau ), fie prin specificarea unei proprietăti caracteristice a elementelor lor (de exemplu ).

Multimile se notează cu litere mari: A, B, C,. X, Y, Z, iar elementele lor cu li 111q1624b tere mici: a, b, c,.

Apartenenta unui element la o multime. Dacă un element a apartine unei multimi A, acesta se notează a A si se citeste "a apartine lui A".

Definitie. Multimea vidă este multimea care nu are nici un element. Se notează cu .

II.1. Egalitatea multimlor A si B:

(A = B) ("x A x B) si ("y B y A)

Proprietătile egalitătii:

" A, A = A (reflexivitatea);

(A = B) (B = A) (simetria);

(A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea multimii A în multimea B:

(A B) ("x A x B)

Multimea A se numeste o parte sau o submultime a lui B.

Proprietătile incluziunii:

" A, A A (reflexivitatea);

(A B) (B A) (A = B) (antisimetria);

(A B B C) (A C) (tranzitivitatea);

" A, A

Relatia de neincluziune se notează A B.

II.3. Reuniunea multimilor A si B:

A B =

Proprietătile reuniunii:

" A, B: A B = B A (reflexivitatea);

" A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea);

" A: A A = A (idempotenta);

" A: A = A;

" A, B: A A B, B A B.

II.4. Intersectia multimilor A si B:

A B =

Proprietătile intersectiei:

" A, B: A B = B A (comutativitatea);

" A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);

" A: A A = A (idempotenta);

" A: A =

" A, B: A B A, A B B

" A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea intersectiei fată de reuniune);

" A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii fată de intersectie);

" A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbtia).

Definitie. Multimile A si B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A B = .

II.5. Diferenta multimilor A si B:

A \ B =

Proprietătile diferentei:

" A: A \ A = ;

" A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C);

" A, B: A \ B = A \ (A B);

" A, B: A = (A B) (A \ B);

" A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C;

" A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);

" A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);

" A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.

II.6. Diferenta simetrică a multimilor A si B:

A D B = (A \ B) (B \ A)

Proprietătile diferentei simetrice:

" A: A D A = ;

" A, B: A D B = B D A (comutativitatea);

" A: A D = D A = A;

" A, B, C: (A D B) D C = A D (B D C) (asociativitatea);

" A, B, C: A (B D C) = (A B) D (A C);

" A, B: A D B = A B \ (A B)

II.7. Complementara unei multimi A în raport cu multimea E:

(A fiind o parte a lui E, adică A E)

C_EA =

Proprietăti: ("A, B E)

C_E(C_EA) = A (principiul reciprocitătii);

C_EA = E \ A;

C_E = E;

C_EE = ;

A C_EA = A (principiul exluderii tertiului);

A C_EA = (principiul necontradictiei);

A B C_EB C_EA;

A \ B = C_E(A B).

II.8. Formulele lui de Morgan "A, B E)

C_E(A B) = C_EA C_EB; C_E(A B)= C_EA C_EB.

II.9. Produsul cartezian a două multimile A si B:

A x B =

Proprietătile produsului cartezian (" A,B,C,D avem):

A x B B x A, dacă A B;

(A x B) (A x C) = A x (B C);

(A B) x C = (A x C) (B x C);

(A B) x C = (A x C) (B x C);

(A \ B) x C = A x C \ B x C;

(A B) x (C D) = (A x C) (B x D)

Definitia II.9.1. Multimile A si B se numesc echipotente dacă există o bijectie de la A la B.

Definitia II.9.2. Fie E o multime. Aceasta se numeste finită dacă E = sau dacă există n N, astfel încât E este echipotentă cu multimea .

Definitia II.9.3. O multime E se numeste infinită dacă ea nu este finită. Exemple de multimi infinite sunt: N, Z, Q, R.

Definitia II.9.4. Fie E o multime. Aceasta se numeste numărabilă dacă este echipoentă cu N. Exemplu: Multimea numerelor rationale.

Definitia II.9.5. O multime se numeste cel mult numărabilă dacă este finită sau numărabilă.

Definitia II.9.6. Fie E o multime. Se numeste cardinalul acestei multimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacă si numai dacă E este echipotentă cu F; cardinalul multimii vide se notează cu 0, cardinalul multimii cu n N, senotează cu n, iar cardinalul multimii N se notează cu x₀ (alef zero).

Teorema II.9.1. Fie A si B două multimi finite. Atunci:

A B = A + B - A B

Teorema II.9.2. Fie A, B si C trei multimi finite. Atunci:

A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C