NUMERE COMPLEXE (aplicatii practice)

NUMERE COMPLEXE (aplicatii practice)

Notiunea de numar complex nu a aparut din probleme de geometrie, ci din probleme de algebra. Cristalizarea acestui concept a durat aproximativ 100 de ani, de-a lungul sec.al- XVIII-lea. Matematicieni renumiti ca Leonhard Euler (1707-1783), Jean d’Alembert (1717- 1783) au utilizat corect numerele imaginare, care le completau pe cele reale, dar fara sa le explice originea si proprietatile. Importanta introducerii numerelor 141j98b complexe in matematica s-a vazut in anul 1801in lucrarea „Disquisitiones Aritmeticae” a lui Karl Friederich Gauss.

I. Reprezentarea geometrica a numerelor complexe.

Execitiu;

Punctele M( 2,0) si N( 3,4) au ca afixe numerele complexe z_M = 2 si z_N = 3 + 4i.

Numerele complexe z₁ = 2i si z₂ = 3 – i au ca imagine geometrica punctele A( 0,2) si B(3,-1)

Prin asocierea z = x + iy M(x,y), multimii R a numerelor reale ii corespunde axa Ox numita, in acest context, axa reala, iar multimii iR a numerelor imaginare, axa Oy, numita axa imaginara. Planul ale carui puncte se identifica cu numerele complexe prin functia g o f, definita mai inainte, se numeste planul complex. In acest fel, putem transfera pe C proprietatile geometrice definite pe V₂ sau P si reciproc, orice relatie stabilita intre numere complexe poate fi interpretata in V₂ sau P .

II. Descrierea geometrica a operatiilor cu numere complexe. Distanta dintre doua puncte.

Exercitii:

Se considera punctele A, B, C si I de afixe , si respectiv 2 + i. Sa se arate ca punctele A, B si C se gasesc pe un acelasi cerc cu centrul in I.

Solutie:

Calculam distantele:

Deci A, B, C sunt puncte ale cercului cu centrul in I si raza 3

2) Sa se reprezinte in planul complex multimea punctelor M al caror afix z verifica egalitatea

.

Solutie:

Fie A si B punctele de afixe z_A = -1 –i si z_B = 3

Relatia data se scrie , adica MA = MB. Multimea cautata este mediatoarea segmentului AB.

III. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie.

1) Impartirea unui segment intr-un raport dat.

Fie A₁, A₂ puncte distincte din plan, de afixe z₁ si respectiv z₂ si fie P un punct pe dreapta A₁A₂, astfel incat , unde l I R, l -1. Daca P are afixul z_P, atunci:

z_P =

Formula reprezinta afixul punctului care imparte un segment intr-un raport dat. Demonstratia formulei foloseste expresia vectoriala a punctului P: .

2) Afixul mijlocului unui segment.

Daca P este mijlocul segmentului [ A₁A₂], atunci l = 1. Din formula precedenta se obtine:

z_P =

3) Centrul de greutate al unui triunghi.

Fie ABC un triunghi ale carui varfuri au afixele z_A, z_B, z_C. Atunci centrul de greutate G al triunghiului are afixul

z_G = ( z_A + z_B + z_C)

4) Distanta dintre doua puncte; ecuatia cercului.

Daca A₁, A₂ sunt puncte in plan de afixe z₁ si respectiv z₂, atunci lungimea segmentului [A₁A₂] este

Rezulta ca cercul de centru A_o(z_o) si raza r are ecuatia

5) Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte.

Fie A₁, A₂, doua puncte distincte din plan de afixe z₁, respectiv z₂.Atunci, dreapta A₁A₂ reprezinta multimea punctelor din plan ale caror afixe z sunt de forma:

z = ( 1 - l) z₁ + l z₂ , l I R

6) O alta forma a ecuatiei unei drepte in C

Punctul P apartine dreptei A₁A₂ daca si numai daca afixul sau z verifica egalitatea:

7) Ortocentrul unui triungh. Dreapta lui Euler.

Fie ABC un triunghi inscris intr-un cerc cu centrul in originea O a sistemului cartezian xOy. Inaltimile AA₁, BB₁ si CC₁ ale triunghiului sunt concurente intr-un punct H care indeplineste conditia vectoriala:

8) Centrul cercului inscris intr-un triunghi

Fie ABC un triunghi ale carui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c. Centrul I al cercului inscris in triunghiul ABC are afixul

z_I =