NUMERE RATIONALE

NUMERE RAŢIONALE

II.1.  Fractie; reprezentarea fractiilor cu ajutorul unor desene.

NOŢIUNI TEORETICE.

Definitie: O pereche de numere naturale a si b, în care b 0 scrisa sub forma se numeste fractie.

Numarul a îl vom numi numaratorul fractiei, numarul b numitorul fractiei iar linia care le desparte, linie de fractie.

Exemplu: numarul 2 este numaratorul fractiei, numarul 7 este numitorul fractiei; citim "doi supra sapte" sau " doi pe sapte" sau "doua septimi".

APLICAŢII.

Se da multimea : A= . Aflati mult 10310i85k imile:

B=

C=

2. Din urmatorul sir de notatii alegeti pe cele care reprezinta o fractie (motivati raspunsul):

Scrie ce fractie reprezinta suprafata hasurata în fiecare din urmatoarele figuri :

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6

Scrie ce fractie reprezinta suprafata hasurata în fiecare din urmatoarele figuri :

Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12

5. Reprezentati cu ajutorul unor desene (rin hasurare) urmatoarele fractii :

6. În clasa a-V-a a unei scoli sunt 24 de elevi. Câti elevi reprezinta

din numarul elevilor clasei.

7. Completati spatiile libere pentru a obtine un întreg scris cu ajutorul fractiilor :

8. Sa se determine toate fractiile de forma unde este numar prim (admite ca divizori doar pe 1 si el insusi).

Sa se determine toate fractiile de forma unde este numar prim.

10. Sa se determine toate fractiile de forma unde M5 si M

11. Sa se determine multimea M=.

12 Sa se determine multimea N=.

13. Sa se determine multimea A=.

14. Sa se determine multimea B=.

15. stiind ca x si y scrie multimea formata din elementele

16. Gasiti toate fractiile de forma unde x N

17. Fie notatia

a)      Gasiti toate fractiile ce se obtin pentru x

b)      Aflati x astfel încât notatia de mai sus sa nu fie o fractie

18. Sa se afle x N pentru care nu exista fractia :

a  ; b)  ; c) ; d) ; e)

19. Sa se afle x N pentru care nu exista fractia :

a  ; b)  ; c) ; d) ; e)

20.Scrie toate fractiile posibile de forma stiind ca 5 a <8

II.2.  Fractii echiunitare, subunitare, supraunitare

NOŢIUNI TEORETICE.

Priviti urmatoarele figuri

Fig. 13 Fig. 14 Fig. 15

În Fig. 14 portiunea hasurata corespunde fractiei si reprezinta mai putin decât întreaga figura. Considerând figura ca un întreg putem spune ca fractia reprezinta mai putin decât o unitate si o vom numi fractie subunitara. În Fig. 15 portiunea hasurata corespunde fractiei si reprezinta un întreg (o unitate); fractia o vom numi fractie echiunitara. În Fig. 16 portiunea hasurata corespunde fractiei si reprezinta mai mult decât o unitate; fractia se va numi fractie supraunitara.

O fractie de forma cu a N si b N^* va fi:

a)      Subunitara daca a<b;

b)      Supraunitara daca a>b;

c)      Echiunitara daca a=b;

APLICAŢII

1. Fie multimea M=.

Sa se determine multimile

A

C=.

2. Fie A= si B=.

Scrie toate fractiile de forma unde x A si y B astfel încât fractiile sa fie

a)      subunitare

b)      supraunitare

c)      echiunitare

3. Scrie toate fractiile de forma unde M3 si M5 , specificând tipul lor.

4. Scrie toate fractiile de forma unde x N, x<

5. Scrie toate fractiile echiunitare în care numaratorul si numitorul sunt numere prime cuprinse între 40 si 50.

6. Scrie toate fractiile supraunitare care au numitorul 5 si numaratorul numar prim mai mic decât 20.

Sa se determine x N astfel încât fractia sa fie :

d)      subunitara

e)      supraunitara

f)        echiunitara

8. Sa se determine toate fractiile supraunitare de forma .

9. Sa se determine toate fractiile de forma unde este numar prim mai mic decât 40.

10. Determinati elementele multimii X

11. Gasiti toate fractiile de forma astfel încât

a)      a b<10 si este supraunitara

b)      5<a<10 ; 7<b 9 si este subunitara.

12. Fie multimea A=.

Aflati x A astfel încât

a)      x fractie subunitara

b)      x fractie supraunitara

c)      x fractie echiunitara

13. Sa se determine toate fractiile subunitare de forma M3 si M

14. Sa se determine toate fractiile supraunitare de forma M15 si 12 .

15. Se da fractia . Aflati x astfel încât fractia sa fie echiunitara.

16. Se da fractia Aflati x astfel încât fractia sa fie subunitara.

17. Aflati x astfel încât fractia sa fie fractie subunitara.

18. Fie fractiile . Convenim sa notam cu partea întreaga a numarului si partea fractionara a numarului .

Vom avea =1 si =; scriem =1(un întreg si doua treimi)

=2 si =; scriem =2 (doi întregi si patru cincimi)

=6 si =; scriem =6 (sase întregi si o patrime)

=0 si =; scriem =0 (zero întregi si )

=1 si =0;

Gasiti partea întreaga respectiv partea fractionara a urmatoarelor numere

a)

b)

II.3.  Fractii egale, reprezentari echivalente ale fractiilor.

NOŢIUNI TEORETICE.

Priviti urmatoarele figuri

Fig. 16 Fig. 17 Fig. 18

Fractiile corespunzatoare pentru suprafetele hasurate sunt : pentru Fig. 17 ; pentru Fig. 18 ; pentru Fig. 18 . Suprafetele hasurate în cele trei figuri sunt de aceeasi marime. Spunem ca cele trei fractii sunt echivalente si scriem ==( citim este echivalent (egal) cu )

= (observam ca 3*8=6*4)

= (observam ca 8*12=6*16)

Definitie : Doua fractii si sunt echivalente daca a*d=b*c (b,d N^*);

APLICAŢII

1. Exprimati prin fractiile echivalente portiunile hasurate din fractiile de mai jos:

Fig. 19 Fig. 20 Fig. 21

2. Aflati valoarea de adevar a propozitiilor

a) =; b) =; c) =; d) =; e) =; f) =; g) =;

3. Între fractiile urmatoare gasiti fractiile echivalente:

a)

b)

4. Gasiti trei fractii echivalente cu fractia

5. Scrieti toate fractiile echivalente care se pot forma cu numerele 2;4;5;10;

6. Cu ajutorul numerelor 2;3;5;6 se pot forma doua fractii echivalente? Justificati raspunsul.

7. Se stie ca 4*a=3*8. Scrie perechile de fractii echivalente ce se pot obtine cu ajutorul numerelor 3;4;8;a.

8. Gasiti fractii echivalente cu fractia la care suma dintre numarator si numitor este 24.

9. Gasiti fractii echivalente cu fractia la care suma dintre numarator si numitor este 70.

10. Aflati fractiile si stiind ca a*3=8*b (a,b N^*);

11. Sa se determine x N astfel încât fractiile sa fie echivalente

a); b); c);

12 Gasiti x N^* astfel încât

a); b); c); d);

13. Gasiti x N^* astfel încât ;

14 Aflati n N^* astfel încât ;

a); b);

15. Gasiti o fractie echivalenta cu în urmatoarele situatii:

a)      Suma dintre numarator si numitor sa fie 28;

b)      Diferenta dintre numitor si numarator sa fie cel mai mic numar prim de doua cifre;

c)      Produsul dintre numarator si numitor sa fie numar impar;

d)      Produsul dintre numarator si numitor sa fie 108.

16. Daca = aratati ca 21x-15y=0

17. stiind ca =sa se calculeze 84a-24b+5;

18. Stabiliti daca fractiile si sunt echivalente.

II.4. Amplificarea si simplificarea fractiilor. sir de fractii egale. Numar rational pozitiv.

NOŢIUNI TEORETICE.

Definitie : A amplifica o fractie cu un numar natural nenul înseamna a înmultii atât numaratorul cât si numitorul cu acelasi numar.

Exemplu : fractia prin amplificare cu umarul c N^* devine (se observa ca a*(b*c) = b*(a*c); deci prin amplificare se obtine o fractie echivalenta cu fractia data =) .

1. Sa se amplifice cu 3 fractiile :

2. Sa se amplifice cu 3 fractiile : unde b,y N^*

3. Sa se amplifice cu 5 fractiile : unde n N

4. Sa se amplifice cu x N^* fractiile : unde b N^*

5. Se da fractia . Amplificati fractia data în asa fel încât sa obtineti fractii echivalente cu ea care sa aiba numitorul 9, 15, 36, 105, 279, 10101, 9134, 3n+6, 6n-18 unde n N, n>3

6. Sa se amplifice fractiile pentru a obtine fractii cu numitorul 36.

7. Sa se amplifice în mod convenabil urmatoarele fractii pentru a obtine fractii cu acelasi numarator

8. Fie fractiile

Care dintre fractiile de mai sus pot fi obtinute prin amplificarea fractiei si cu ce numar

Definitie : A simplifica o fractie cu un numar natural nenul înseamna a împarti atât numaratorul cât si numitorul cu acelasi numar.

Exemplu : fractia prin simplificare cu umarul n N^* devine (se observa ca a*(b:c) = b*(a:c); deci prin simplificare se obtine o fractie echivalenta cu fractia data =