ALTE DOCUMENTE |
OPERATORI LINIARI PE SPAŢII VECTORIALE
Nucleul si imaginea unui operator liniar
Fie spatii vectoriale peste acelasi corp K.
Definitie O functie se numeste operator
liniar daca satisface:
Observatie
Proprietatile 1 si 2 din
definitie se pot înlocui cu:
Exemple: 1. operator identitate pe
X
2. operatorul de derivare
3.
Propozitie
Operatorul liniar are
proprietatile:
a)
b)
c)
Notam L multimea operatorilor liniari din spatiul X în spatiul Y.
Pe aceasta multime introducem operatiile:
- adunarea operatorilor
(operatie bine definita, i.e. este operator liniar)
L
L
- înmultirea
operatorilor cu scalari (op bine def, i.e. este operator liniar)
L
L
Observatie (L) estespatiu vectorial peste corpul K.
- compunerea operatorilor (op bine def: U ○ T operator liniar)
|
|
U ○ T L |
|
-
inversarea operatorilor (op bine definita: T-1 operator liniar)
L
, T functie bijectiva
L
a.î.
Definitie Se numeste
nucleul operatorului liniar T, multimea notata:
Definitie Se numeste imaginea operatorului liniar T multimea notata:
Propozitie ker T este subspatiu vectorial al lui X, iar ImT este subspatiu liniar al lui U
Definitie Se numeste defectul lui T , dimensiunea subspatiului kerT, iar rangul lui T, dimensiunea subspatiului ImT
Propozitie , X spatiu de dimensiune finita
Observatie |
|
|
X finit dimensional |
||
T bijectie |
Matricea atasata unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.
Fie
o baza în X,
o baza în Y.
Fie cu coordonate în G :
Definitie Matricea
se numeste matricea operatorului T în bazele E si G. Notam A sau AT
Se obtine astfel o
corespondenta între mai precis un izomorfism
F:,
si
Scrierea operatorului T cu ajutorul matricii atasate AT
Adunarea operatorilor:
; E, G baze în X si Y ;
matricile
atasate.
,
i.e.
Înmultirea operatorilor cu scalari:
, a K
Modificarea matricii unui operator la schimbarea bazelor.
cu A matricea
atasata în bazele E si G. În spatiul X trecem de la baza E
la baza F
unde
În spatiul Y
trecem de la baza G la baza H: unde
|
|
|
|
A = matricea atasata
lui T în baza E si facem o schimbare de baza de la E la F.
Rezulta
ca noua matrice atasata lui T în baza F este:
Vectori si valori proprii, diagonalizarea unui operator
Fie
Definitie Se numeste vector propriu al lui T, un vector x≠0 pentru care
( l K a.i. T(x)=lx
l se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu x.
Definitie Multimea se
numeste subspatiu propriu corespunzator lui l K
Propozitie Xl este subspatiu liniar al lui X , Xl X.
Algoritmul de determinare a valorilor si vectorilor proprii unui operator liniar sau matricii asociate lui.
Fie dimX=n si E= baza în X.
AT=matricea operatorului T în
baza E.
este un sistem
liniar omogen de ,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute xi ,
si admite
solutii nenule det(A-lI)=0 care se numeste ecuatia
caracteristica a operatorului T
Solutiile acestei ecuatii sunt valorile proprii ale operatorului T.
P(l)=det(A-lI) se numeste polinomul caracteristic lui T. Acesta e un polinom de grad ,,n" cu coeficienti în K , iar daca K C P(l) are ,,n" radacini(C este corp algebric închis).
Propozitie Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte doua câte doua sunt liniar indepedenti.
Consecinta Daca operatorul T are n valori proprii distincte, atunci exista o baza în care matricea sa are forma diagonala si pe diagonala se gasesc valorile proprii.
Definitie O matrice patratica are forma diagonala daca aij=0 (") i j
Definitie Un operator liniar este diagonalizabil daca exista o baza în care matricea sa are forma diagonala. Atunci o matrice patratica A este diagonalizabila daca exista o matrice C nesingulara, astfel încât C-1AC sa fie o matrice diagonala.
|