ORGANIZAREA CA SPATII EUCLIDIENE, NORMATE, METRICE
Fie X spatiu vectorial real
Definitie Functia <,> : X∙X→R se numeste produs scalar pe multimea X daca:
<x,y>=<y,x>
,
(simetrie)
(aditivitate in prima variabila)
(omogenitate in prima variabila)
Observatie: Produsul scalar <,> este liniar si in a II-a variabila si este o functionala biliniara ,pozitiv definita.
Exemple: 
X=C
Definitie Se numeste spatiu euclidian un spatiu pe care s-a definit un produs scalar.
Propozitie (Inegalitatea Cauchy Buniakovski)
Intr-un spatiu euclidian X ,are loc relatia:
Exemple:
Definitie Functia:
se numeste norma
a spatiului euclidian.
Norma are urmatoarele proprietati:
N1) 
N2) 
N3) 
( inegalitatea
triunghiului)
Observatii: 1) 
se numeste norma indusa de produsul
scalar.
2) Din inegalitatea Cauchy Buniakovski se poate defini unghiul dintre x si y.
, 
Definitie Vectorii x si y se numesc ortogonali daca: 
Propozitie Un sistem de vectori nenuli si ortogonali doi cate doi este liniar independent
Definitie O baza a spatiului X se numeste ortogonalaÛvectorii ei sunt ortogonali doi cate doi.
Propozitie Intr-un spatiu finit dimensional X exista o baza ortogonala.
Procedeul Gramm Schimdt de ortogonalizare a unei baze
oarecare, 
si determinam 
astfel incat
Presupunem ca s-au construit astfel vectorii g1,g2,.gk-1 nenuli si ortogonali doi cate doi.
Construim 
determinand 
astfel incat 
sau 
si 
Se obtine baza G=cu vectorii ortogonali doi cate doi.
Definitie Functia 
se numeste distanta in X.
Un spatiu vectorial pe care s-a desfinit o distanta se numeste spatiu metric.
Functia distanta are propretatile:
P1) 
P2) 
P3) 
Exemplu: In Rn distanta intre vectorii
x,y este 
iar norma 
Pt.n=2,n=3 se obtine distanta obisnuita din geometria euclidiana.
|
