ORGANIZAREA CA SPAŢII EUCLIDIENE, NORMATE, METRICE
Fie X spatiu vectorial real
Definitie Functia <,> : X∙X→R se numeste produs scalar pe multimea X daca:
<x,y>=<y,x>
,(simetrie)
(aditivitate în prima variabila)
(omogenitate în prima variabila)
Observatie: Produsul scalar <,> este liniar si în a II-a variabila si este o functionala biliniara ,pozitiv definita.
Exemple:
X=C
Definitie Se numeste spatiu euclidian un spatiu pe care s-a definit un produs scalar.
Propozitie (Inegalitatea Cauchy Buniakovski)
Intr-un spatiu euclidian X ,are loc relatia:
Exemple:
Definitie Functia:
se
numeste norma a spatiului euclidian.
Norma are urmatoarele proprietati:
N1)
N2)
N3) ( inegalitatea
triunghiului)
Observatii: 1) se numeste norma indusa de
produsul scalar.
2) Din inegalitatea Cauchy Buniakovski se poate defini unghiul dintre x si y.
,
Definitie Vectorii x si y se numesc ortogonali daca:
Propozitie Un sistem de vectori nenuli si ortogonali doi cate doi este liniar independent
Definitie O baza a spatiului X se numeste ortogonala vectorii ei sunt ortogonali doi cate doi.
Propozitie Într-un spatiu finit dimensional X exista o baza ortogonala.
Procedeul Gramm Schimdt de ortogonalizare a unei baze
oarecare,
si determinam
astfel încât
Presupunem ca s-au construit astfel vectorii g1,g2,.gk-1 nenuli si ortogonali doi câte doi.
Construim determinând
astfel încât
sau
si
Se obtine baza G=cu vectorii ortogonali doi câte doi.
Definitie Functia
se numeste distanta în X.
Un spatiu vectorial pe care s-a desfinit o distanta se numeste spatiu metric.
Functia distanta are propretatile:
P1)
P2)
P3)
Exemplu: În Rn distanta între
vectorii x,y este
iar norma Pt.n=2,n=3 se obtine distanta obisnuita din geometria
euclidiana.
|