Olimpiada de matematica

Etapa locala Galati

7 februarie 2004

Clasa a VII-a

(7p) 1. Fie numerele rationale:

s₁= s₂= s₃= n N*

Sa se demonstreze ca:

a)      s₁+s₃>2n;

b)      s₁+s₂ este fractie ireductibila;

c)      s₁+2s₂-s₃<1

Problema propusa de prof. Valeria TOTOLICI, scoala Gen. "Iulia Hasdeu", Galati

(7p) 2. a) Stabiliti daca numarul

A=2+2²+.+2²⁰⁰⁴+7+7²+.+7²⁰⁰⁴+9+9²+.+9²⁰⁰⁴ este patrat perfect.

b)Aflati restul împartirii lui A la 7.

Problema propusa de prof. Petre BĂTRÂNEŢU, scoala 26, Galati

(7p) 3. Fie paralelogramul ABCD, în care AB>BC si punctul M (AB) astfel încât MB=BC. O dreapta care trece prin punctul D intersecteaza pe (MB) în punctul E si pe (MC) în punctul H, BH(AD)= , DH CB= . Sa se demonstreze ca:

a)

b)

c) AF=ME

Problema propusa de prof.Constantin URSU,C.N.V.A., Galati

(7p) 4. Fie a,b N* si c Q, direct proportionale cu p₁, p₂, p₃ unde p₁<p₂<p₃ sunt numere naturale prime.

a)      Aratati ca c N*;

b)      Determinati p₁, p₂, p₃ daca a+b<55 si c=55.

Problema propusa de prof. Cecilia Solomon, scoala 13, Galati

Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timp de lucru: 3 ore