Operatii cu numere reale

Operatii cu numere reale

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale

^{1.   &nbs 12312f515m p;}    (+a)ⁿ = +aⁿ

2.   &nbs 12312f515m p; (-a)²ⁿ = +a²ⁿ

3.   &nbs 12312f515m p; (-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹

4.   &nbs 12312f515m p; a^m aⁿ = a^m+n

5.   &nbs 12312f515m p; a^m:aⁿ = a^m-n, a 0

6.   &nbs 12312f515m p; a^m b^m=(a b)^m

7.   &nbs 12312f515m p; a^m:b^m = , b 0;

, a 0;

a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m;

10. a⁰ = 1, a 0;

11. 0ⁿ = 0, n 0, n N.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenti rationali pozitivi sau negativi, cât si pentru exponenti reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul sirurilor de puteri rationale. Aceste puteri au proprietăti identice cu exponenti numere naturale.

V.2. Identităti fundamentale

Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c R si n N, avem:

1.   &nbs 12312f515m p; a² - b² = (a - b)(a + b); 4ab = (a + b)² - (a - b)²;

2.   &nbs 12312f515m p; (a² + b²)(x² + y²) = (ax - by)² + (ax + bx)²;

3.   &nbs 12312f515m p; (a² + b² + c²)(x² + y² + z² + t²) = (ax - by - cz - bt)² + (bx + ay - dz - ct)² + (cx + + dy +az - bt)² + (dx - cy + bz + at)²;

4.   &nbs 12312f515m p; a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²);

5.   &nbs 12312f515m p; a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²);

6.   &nbs 12312f515m p; x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz);

7.   &nbs 12312f515m p; x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ - 3(x + y)(y + z)(z + x);

8.   &nbs 12312f515m p; a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²);

9.   &nbs 12312f515m p; a⁴ + b⁴ = (a² + b² - ab

a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴);

a⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ - a³b + a²b² - ab³ + b⁴);

(1 + a)(1 + a² + a⁴) = 1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵;

a⁶ + b⁶ = (a³ - 2ab²)² + (b³ - 2a²b)² (G. de Recquigny-Adanson);

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + . + ab^n-2 + b^n-1);

a²ⁿ - b²ⁿ = (a² - b²)(a^2n-2 + a^2n-4b² + . + a²b^2n-4 + b^2n-2);

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ + a^2n-1b + . + ab^2n-1 +b²ⁿ);

(1 + a + a² + . + aⁿ)(1 + aⁿ⁺¹) = 1 + a + a² + . + a²ⁿ⁺¹.

V.3. Radicali. Proprietăti

1.   &nbs 12312f515m p; ;

2.   &nbs 12312f515m p; ;

3.   &nbs 12312f515m p; ;

4.   &nbs 12312f515m p; ;

5.   &nbs 12312f515m p; ;

6.   &nbs 12312f515m p; ;

7.   &nbs 12312f515m p; ;

8.   &nbs 12312f515m p; ;

9.   &nbs 12312f515m p; ;

;

;

;

;

14.;

15.;

16 R;

17.;

18.;

19.;

20., dacă si numai dacă A² - B = C²;

21.Expresia conjugată a lui este iar pentru este