Operatii diferentiale de ordinul 2

Operatii diferentiale de ordinul 2

1. Într-un câmp rotoric divergenta este nula în toate punctele

div rot a = 0 (1)

2. rot rot a = grad div a - Δa (2)

Demonstram relatia 2.

Notam prescurtat rot a prin b

(3)

Calculam proiectiile pe axele de coordonate ale lui rot b

(4)

Calculam derivatele în expresia de mai sus si grupam termeniii. Obtinem:

(5)

Adunam la prima paranteza termenul si-l scadem din ultima paranteza. Putem deci scrie:

(6)

Expresia din prima paranteza a relatiei de mai sus reprezinta div a, iar cea din a doua paranteza reprezinta laplacianul Δa_x al functiei scalare a_x.

Rezulta:

(7)

Analog

(8)

(9)

Înmultim prima egalitate cu , a doua cu si a treia cu , le adunam si obtinem:

rot b = grad (div a) - Δa (10)

c.c.t.d.

Operatiile diferentiale de ordinul doi se întâlnesc adesea în teoria câmpului electromagnetic

2. Principalele tipuri de câmpuri vectoriale

Divergenta si rotorul pot fi considerate ca doua caracteristici diferentiale ale câmpului vectorial si pun în evidenta proprietatile câmpului în fiecare punct. Divergenta este o marime scalara legata de prezenta surselor(izvoarelor) si puturilor, iar rotorul este o marime vectoriala legata de notiunea de integrala liniara sau de circulatia vectorului.

Câmpurile în care rotorul este identic nul, iar divergenta este o functie oarecare f(x, y, z) le vom numi câmpuri irotationale sau câmpuri potentiale. Pentru aceste câmpuri avem:

rot a = 0 (11)

div a = f(x,y, z) (12)

Câmpurile pentru care

div a = 0 (13)

rot a = h(x, y, z) (14)

adica în care divergenta este identic nula în toate punctele lor, iar rotorul este o functie vectoriala oarecare h(x, y, z) le vom numi câmpuri fara surse, sau câmpuri solenoidale.

Daca într-un câmp avem

div a = 0 (15)

rot a = 0 (16)

în toate punctele câmpului, atunci acest câmp se va numi câmp laplacian.

Câmpurile pentru care

div a = f(x, y, z) (17)

rot a = h(x, y, z) (18)

adica cele în care atât divergenta cât si rotorul sunt diferite de zero se numesc câmpuri de forma generala.

De exemplu, câmpul vitezelor unui corp solid care se roteste în jurul unui axe oarecare l este un câmp solenoidal, câmpul electrostatic produs de o sarcina spatiala va fi un câmp potential în întreg spatiul, inclusiv în punctele ocupate de sarcini, câmpul magnetic produs de un curent repartizat într-un volum va fi un câmp solenoidal în domeniile prin care trece curentul.

Daca vectorul a este gradientul unei functii scalare oarecare f, atunci câmpul acestui vector este un câmp potential. Functia f se numeste functie potentiala a acestui câmp, iar valoarea ei numerica într-un punct oarecare se numeste potentialul câmpului în acel punct.

Un exemplu de câmp solenoidal îl constituie câmpul rotorilor oricarui câmp vectorial.

3. Domeniu simplu conex

Studiem proprietatile principale ale câmpurilor vectoriale. Ne vom ocupa atât de forma functiei

a( r ) cât si de proprietatile geometrice ale domeniului D în care este definit câmpul.

Vom numi domeniu de definitie al câmpului acea parte a domeniului D in care el este determinat. De exemplu, domeniul de definitie al câmpului electrostatic produs de o sarcina punctiforma, va fi

constituit din întregul spatiu cu exceptia punctului în care se afla sarcina care-l produce. Pentru un câmp magnetic exterior produs de un curent cilindric infinit, domeniul de definitie va fi întregul spatiu, cu exceptia domeniului din interiorul conductorului cilindric. Pentru câmpul magnetic interior, domeniul de definitie este format din interiorul conductorului. Pentru câmpul de viteze al unui solid în miscare, domeniul de definitie, în fiecare moment, va fi volumul ocupat de acel corp într-un moment dat, iar suprafata lui limita coincide cu suprafata corpului. Un domeniu se numeste conex daca dintr-un punct oarecare putem trece într-un alt punct printr-o linie continua, ale carei puncte se afla toate în interiorul domeniului considerat. În anumite cazuri, domeniul D este constituit astfel încât orice contur C care-i apartine, poate fi redus , printr-o transformare continua, la un punct oarecare al domeniului, fara a traversa limitele domeniului si fara a intrerupe linia C. Aceste domenii se numesc simplu conexe, în caz contrar, ele se numesc multiplu conexe.

4. Câmp potential într-un domeniu simplu conex

Consideram într-un domeniu oarecare simplu conex D un câmp potential

(19)

Presupunem functiile a_x, a_y, a_z, functii uniforme, contiuni si diferentiabile în orice punct al domeniului împreuna cu primele derivate partiale, având derivatele de ordinul doi finite.

Proprietatile acestui câmp

Deoarece câmpul este potential, rotorul lui este nul, rot a = 0. Rezulta ca propiectiile rotorului pe axele de coordonate sunt nule. Se obtin astfel relatiile analitice ale potentialului

(20)

Relatiile (20) sunt atât necesare cât si suficiente, deoarece din ele se poate deduce relatia (19).

Teorema:

Într-un câmp potential situat într-un domeniu simplu conex, integrala de linie a vectorului de-a lungul unei traiectorii oarecare, care uneste doua puncte arbitrare ale câmpului din interiorul lui, nu depinde de forma traiectoriei.

Teorema:

Într-un câmp potential situat într-un domeniu simplu conex circulatia vectorului de-a lungul unui contur oarecare care apartine câmpului, nu depinde de forma lui, fiind întotdeauna egala cu zero.

Teorema:

Pentru un câmp potential poate fi gasita întotdeauna o functie scalara astfel încât vectorul câmp a sa fie gradientul acesteia, adica

a = grad f (21)

Teorema:

Într-un câmp potential liniile vectoriale sunt perpendiculare pe suprafetele de nivel ale functiei f.

Teorema:

Integrala liniara a vectorului de-a lungul traiectoriei cuprinse între doua puncte arbitrare date ale câmpului este egala cu diferenta valorilor functiei potentiale corespunzatoare punctului final si cel initial.

Teorema:

Într-un câmp potential al vectorului a functia lui potentiala satisface relatia lui Poisson

Δf = ρ (22)

sau

(23)

unde ρ este divergenta campului.

În cazul particular în care divergenta este nula egalitatea (23) se transforma în ecuatia lui Laplace.

Δf = 0 (24)

În teoria câmpurilor electrostatice ecuatia Laplace - Poisson are forma:

(25)

4. Câmpul solenoidal

Câmpul solenoidal a fost definit din conditia:

div a = 0 (26)

sau, sub forma analitica

(27)

Presupunem functiile a_x, a_y, a_z împreuna cu primele lor derivate partiale ca fiind uniforme si continui.

Teorema:

Într-un câmp solenoidal, liniile vectoriale nu pot începe sau sfârsi într-un punct oarecare situat în interiorul domeniului câmpului.

Rezulta ca liniile vectoriale ale unui câmp solenoidal pot fi:

sau inchise;

sau încep si se termina în limitele câmpului;

sau merg la infinit.