Opratii cu numere reale

Opratii cu numere reale

ADUNAREA NUMERELOR REALE are toate proprietatile adunarii numerelor rationale :

-asocitativitatea a+(b+c)+c;

- comutativitatea: a+b=b+a;

-are pe zero ca element neutru: a+0=a;

- orice numar real are un opus: a+ (-a)=0.

DIFERENTA A DOUA NUMERE REALEa si b este numarul real c , notrat a-b, cu proprietatea ca b+c =a; a este descazut , iar b este scaztaorul.

a-b =c inseamna a=b+c

Diferenta a doua numere reale se efectueaza adunand descazutul cu opusul scaztorului.

*pentru a aduna mai multe numere reale de forma a b , care au acelesi numar sub radical , se aduna factorii din fata radicalilor , iar rezultatul se inmulteste cu radicalul.

*o succesiune de adunari de numere reale se numeste suma algebrica de numere reale.

*opusul unei sume algebrice de numere reale este suma algebrica a opusilor termenilor ce o alcatuiesc

Prin INMULTIREA A DOUA NUMERE REALE a si b se obtine un numar real notat a.b numit produsul numerelor a si b . Numerele a si b se numesc factorii produsului.

Inmultirea numerelor reale are toate proprietatile inmultirii numerelor rationale:

asociativitatea : a(b c)=(a b) c;

comutativitatea : a b = b a;

are pe 1 ca ellement neutru: a a;

distributiviatea inmultirii fata de adunare : a (b +c)= a b +a c.

*produsul numerelor reale b si c d ( b >0, d >0) este numarul real ac bd, deci a b c d= a c b d .

* produsul dintre un numar real si -1 este egal cu opusul numarului real:

a

CATUL( sau RAPORTUL) a doua numere reale a si b 0) este numarul real c, notat a:b ( sau a/b) cu proprietatea ca a= b c ; b este impartitorul, iar a este deimpartitul ( a este numaratorul, b este numitorul si c valoarea raportului) : a:b = c sau a/b =c inseamna a=b c.

*impartirea a doua numere reale se efectueaza inmultind deimpartitul cu inversul impartitorului.

INVERSUL UNUI NUMAR REAL   a (a 0) este numarul a^-1= 1/a.

* produsul dintre un numar real si inversul sau este egal cu 1.

* daca numitorul uni raport de numere reale este un numar rational de forama a b prin amplifiacrea raportului cu b, numitorul devine un numar rational si spunem ca am rationalizat numitorului:

^{b )} c/a b=c b/a b , a Q*, b Q*.

RIDICAREA UNUI NUMAR REAL a numerelor rale are oate proprietatile din Q: aⁿ= a a a; a⁰= (") a R-.

Sa retinem 0⁰ nu se defineste.

a^m aⁿ=a^m+n (a R*, m,n N);

a(m)ⁿ=a^{m n} A a R*, m, n N)

a^m:aⁿ= a^m-n(a R*, m, n N)

(a b)ⁿ =aⁿ bⁿ(a,b R*, n N)

(a:b )ⁿ=aⁿ:bⁿ(a,b R*, n N)

a^-n=1/aⁿ, a R*, n N.

PENTRU A RIDCA UN NUMAR REAL de forma a b ( a 0, b>0) la o putere , ridicam la puterea respectiva factorul din fata radicalului si numarul de sub radical:

( a b) ⁿ= aⁿ b ⁿ, n Z.

* intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu nr. reale se efectuieaza:

-mai intai ridicari la putere

- apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise ;

- apoi adunarile si scaderile in ordinea in care sunt scrise .

* in ecxercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai :

-calaculele din paranteze mici ( rotunde) ; apoi cele din parantezele mari ( drepte) ; cele din acolade , respectand ordine operatiilor.

PROPRIETATI ALE MODULULUI

urmatoarele proprietati sunt legate de oparatiile de adunare si inmultire;

pt orice a,b R , avem: a b = |a| |b|

daca b 0 , atunci |a:b|=|a|:|b|.

daca a , x R si b R, b>0, atunci |a-x|<_a -x <_b.

daca a, b R, atunci |a+b| =|b|.

CALCUL CU RDAICALI

am definit radicalul dintr-un numar rational negtiv a ca fiind acel unic numar real negativ , al carui patrat este numarul a.Extindem notiunea de radical astfel:

definitie

daca a ste un numar real , a>_0, atunci prin a intelgem unicul numrar real negativ b pentru care b²= a .

De retinut !

* a are sens numai dac a este un numar real negativ.

a este numar real negativ.

REGULI DE CALUL

a²= |a| , a R

a²= a ,a R a >_0)

a)²=a,(a R, a >_ 0)

a b = a b , ( a,b R, a >_0, b>0)

a: b = a:b , ( a,b R, a> 0 >)

a/b = a / b ,(a,b R, a> 0, b> 0)

aⁿ =( a)ⁿ ( a> 0, n Z).

De retinut:

a ² b =a b , a>0 si b>0.

RATIONALIZAREA UNEI FRACTII:

Rationalizarea numitorului unei fractii inseamna eliminarea prin amplificare a radicalilor de la numitor.Dupa amplificare, numitorul fractiei obtinute este numar rational.

Daca numitorul este de forma a b, a Q, b Q, b>0,conjugata este b (amplificam fractia cu b ).

Daca numitorul este de forma a b , a, b R, a>0 b>0 atunci conjugata este b (amplificam fractia prin a b )

In calcule se foloseste formula ( x-y (x+y )= x²-y²

In particular ( a + b )( a- b)=a-b