Ordinul sistemului

Se determina categoria careia ii apartine sistemul exprimānd functia sa de transfer in circuit deschis H(s) sub forma rationala a polilor si a zerourilor:

unde exponentul polilor situat la origine este N, ordinul sistemului.

Practic, N reprezinta numarul de integratori prezenti in aceasta schema directa.

Un sistem de ordin 0 nu poseda nici un integrator pentru schema directa, este de exemplu cazul unui reglaj direct.

Un sistem de ordin 1 poseda un integrator pur in schema directa, este de exemplu caz 313c28d ul unui reglaj de pozitie.

Eroarea in regim permanent va lua deci o forma mult mai explicita chiar daca tipul intrarilor si tipul sistemului sunt cunoscute.

Sistem de ordin 0 : N = 0

Intrare scara: īnlocuind in (7.7), sub ipoteza G(s) = G, devine: unde este constanta de eroare de "pozitie" pentru un sistem de ordin 0.

Intrare rampa: īnlocuind in (7.7),

se ajunge la concluzia ca un sistem de ordin 0 nu poate urma unei intrari rampa.

Intrare parabolica: īnlocuind in (7.7),

, din nou sistemul de ordin 0 nu poate urma unui semnal de intrare de tip parabola.

Sistemul de ordin 1 : N = 1

Intrare scara : se īnlocuieste scara de intrare in ecuatia (7.7) : , se observa ca pentru un sistem de ordin 1, numitorul lui H(s) (ecuatia 7.9) tinde catre zero atunci cānd s tinde catre zero. H(0) va tinde deci catre infinit.

Concluzie: un sistem de ordin 1 este capabil sa urmareasca scara de intrare fara eroare de regim. Se va spune ca eroarea statica este nula.

Intrare rampa : īnlocuirea rampei in ecuatia (7.7) : (7.12)

Unde K₁ este constanta de eroare a sistemului de ordinul 1 pentru intrarea rampa. Se vorbeste de asemenea de constanta erorii de viteza.

(7.13)

Valoarea lui K₁ este finita, ne-nula deoarece s H(s) tinde catre valoarea j = 1,2,.m (ec. 7.9 )

i = 1,2,.n

Concluzie : un sistem de ordin 1 poate urmari un semnal rampa, dar poseda o eroare in regim, numita si eroare "de viteza".

Intrare parabolica: īnlocuirea intrarii parabolice in ecuatia (7.7) furnizeaza:

Un sistem de ordin 1 nu poate urma un semnal patratic(dreptunghiular): eroarea creste la nesfārsit.

SISTEM DE ORDIN 2 : N = 2

Cititorul va putea fara dificultate verificānd ca un sistem de ordin 2 va fi un semnal scara perfect si un semnal rampa.

Un astfel de sistem poseda doua integratoare pure in schema directa, se poate anula deci eroarea erorile in regim permanent pentru un semnal constant si pentru un semnal de panta constanta.

Intrare parabolica : īnlocuirea intrarilor din (7.7) furnizeaza (7.14)

Unde K₂, constanta erorii pentru un sistem de ordin 2 si pentru o intrare parabolica este definita prin:

(7.15)

Valoarea lui K₂, numita constanta de eroare de acceleratie, este finita, ne-nula. Ea va fi: j = 1,2,.m

i = 1,2,.n

se rezuma, se poate completa tabelul urmator 7.1 :

ERORILE IN REGIM IN FUNCTIE DE ORDINUL SISTEMULUI SI A INTRARII.

TIP

INTRARE N=0 N=1 N=2

Scara R u(t) 0 0

Rampa R tu(t) 0

Parabola

din acest tabel 7.1 si ecuatia (7.8) pentru un semnal de intrare polinomial , se poate conclude ca eroarea in regim permanent

este - nula cānd n < N

constanta cānd n = N

infinita cānd n > N

Aceasta analiza permite deja sa se constate si sa se deduca interesul asupra elementului integrator intr-o bucla de reglaj. Este functia integrala, prezentata cu acelasi semn al procedeului prin care īl regleaza (motor electric de exemplu) sau in structura regulatorului care va fi responsabil de reducerea erorii in regim permanent.

Tabelul 7.2

Traducerea in mod grafic a tabelului 7.1 caracterizānd eroarea in regim permanent dupa ordinul sistemului si pentru intrarile standard.

Fig.#

7.3. Senzitivitatea sistemelor

Paragraful precedent arata ca un sistem in circuit īnchis va putea fi redus mai precis prin ajustarea cāstigului in circuit.

Este un exemplu care arata ca performanta unui sistem poate fi ameliorata multumita utilizarii unui feedbak negativ.

O alta caracteristica importanta a oricarui sistem controlat este sensibilitatea sistemului cu o variatie a parametrilor sai.

Presupunem ca un component al H(s) sau al G(s)calea valorii sale va fluctua valoarea intr-o perioada de timp. Astfel poate fi datorata variatiilor energiei de alimentare, cu īmbatrānirea, cu cresterea, sau cu derivata a temperaturii, etc.

In mod independent de cauza unui astfel de schimbari, noi trebuie sa putem estima efectul sau semnificativ asupra performantelor sistemului.

Se defineste astfel sensibilitatea sistemului controlat in circuit īnchis cu variatii parametrice a functiei de transfer in circuit deschis prin factorul de sensibilitate S_H astfel īncāt: 7.16

numaratorul reprezinta variatia relativa (in procente) a functiei de transfer in bucla īnchisa definita in (7.1),

numitorul reprezinta variatia relativa a functiei de transfer in bucla deschisa.

este simbolul derivatei partiale, care implica variatii destul de slabe in proportie de 10 sau mai putin. Bine īnteles, F este o functie cu mai multe variabile.

Daca intrarea este un semnal constant, echivaleaza cu , daca se īnlocuieste F prin Y / R.

Se poate scrie (7.17)

Facānd calculul pe (7.1) daca G = constant, va deveni:

care, īnlocuit in (7.17) da (7.18)

Concluzie: sistemul in circuit īnchis este cu atāt mai sensibil asupra unei variatii a H(s) care creste cāstigul in circuitul GH(s). La limita S_H = 0.

Sensibilitatea sistemului in circuit īnchis cu o variatie a parametrilor lantului de reactiune G(s) se exprima prin:

(7.19)

se calculeaza daca H = constant

de aceea   (7.20)

Concluzie : Sistemul in circuit īnchis este foarte sensibil la o variatie a lui G(s) si in plus ca si cāstig in circuitul G(s)H este crescuta.

La limita, daca G(s)H >> 1; S_G = -1.

Sensibilitatea unui sistem in circuit deschis cu o variatie a parametrilor H(s) este foarte crescuta.

Intr-adevar cu

Sau, deci (7.21)

Se obtine deci: S_N = 1 (G = 0)

Aceasta scurta analiza a sensibilitatii arata deci:

- ca un sistem pilotat in circuit deschis este foarte sensibil la orice variatie a parametrilor proprii si necesita deci sa fie puse la munca de componentele de calitate, mult mai scumpe.

- pentru ca un sistem pilotat in bucla īnchisa este foarte sensibila la variatia parametrica a lanturi de reactie (7.20), caci adesea cāstigul in circuit este cu mult mai mare decāt unitatea. Trebuie deci sa se puna cele mai mici preturi pentru a realiza schemele de masura si de achizitie.

Din contra, acest mod de reglare este mai putin sensibil la o variatie parametrica a functiilor de transfer a schemei de actionare. Se va putea deci sa se instaleze elementele robuste si mai putin scumpe.

Exemplul 7.2

Sistemul reprezentat mai sus modeleaza reglajul vitezei unui motor de curent continuu, traductorul de viteza are un factor constant de 0,1 V/tpsec. Daca cāstigul amplificatorului scade cu 10 , sa se calculeze valoarea cāstigului cu modificarea pentru ca viteza motorului sa nu alterneze cu mai mult de 0,1

Solutie:

In regim ,functiile de transfer se reduc la : H = 20Ka; G = 0.1

Cāstigul in circuit GH = 2 KA. Īnlocuind in (7.20)

gasim Ka = 49,5

Este vorba despre valoarea minima a cāstigului pentru care cāstigul in circuit devine 99. deci orice schimbare in schema de actionare este atenuata in schema directa intr-un raport de 100 la 1inaintea punerii la iesire.

Rezulta de aici ca amplificatorul si alimentatorul sau nu trebuie sa fie prea stabile pentru a asigura o buna functionare. Aceasta se rasfrānge favorabil asupra reducerii costului elementelor.

El va antrena totul daca valoarea captorului se modifica cu 10 , de exemplu trecānd de la 0,1 la 0,09 V/tpsec.

Luam pentru Ka=49,5 modificarea in viteza de iesire va fi de la +(99/100) . (0.1), fie o marire de 10 pentru o micsorare cu 10 de la valoarea captorului.

Componentele schemei de īntoarcere trebuie sa fie deci foarte stabile si in mod general de calitate foarte buna, deci foarte scumpe.

CAZUL UNOR VARIATII MARI

Atunci cānd trebuie sa se tina cont de variatiile mari ale parametrilor lui H(s), modelul diferential nu mai este valabil. Trebuie sa se faca referire la un model incremental D care nu este limitat la 10 din variatii.

O schimbare incrementala dintr-o functie de o singura variabila independenta x, se exprima prin

Daca functia depinde de 2 parametrii incrementeaza:

Forma incrementala a factorului de sensibilitate va fi :

G = constant.

Dupa reductie:

deci daca ( 7.23) echivaleaza cu (7.18):

Exemplul 7.3

Recalculati valoarea lui Ka in exemplul 7.1 daca ipoteza de 10 a variatiei Ka este o variatie destul de mare.

Initial cāstigul Ka este egal cu 20, Ka scade brusc in mare cantitate si trece la K₀.

Calculānd K₀ , daca variatia vitezei maxime autorizate este de 5%.

Solutia : Plecānd de la valorile exemplului 7.1 si ecuatia (7.23)

1) se gaseste Ka = 55

2) fie (7.23) da:

Rezolutia furnizeaza : deci K₀ =6,3

Se constata deci ca Ka poate trece de la un cāstig de 20 la 6.3 fara ca viteza controlata sa varieze cu mai mult de 5%.

7.4. Efectul de perturbare

Pe parcursul existentei sale, sistemul va fi supus asupra solicitarilor exterioare ne-dorite. Acestea predomina forma zgomotelor sau a parazitilor electromagnetice. Ele pot fi de tip mecanic, actionānd in sistem in modul in care se cupleaza perturbatiile: o bataie de vānt asupra unei antene telecomunicatii folosita provoaca un cuplu rezistent la nivelul servomecanismelor. O variatie de sarcina termica sub forma īnsorita sau o reīmprospatare brutala a conditiilor atmosferice ce provoaca o perturbare pentru reglajul temperaturii in apartamente.

Caracteristicile perturbarilor:

Sunt in mod general imprevizibile in acest caz si dificile situate asupra instalatiilor. Acest caracter aleatoriu al perturbarilor nu ne permit sa le modelam mai simplu. Trebuie sa se faca apelul la analiza statistica si cu ipoteza de reparatie gausiana sau nu, in medie nul sau nu, etc.

In plus, ele sunt din ce in ce mai dificile si foarte scumpe pentru a fi masurate.

Noi avem deci de analizat efectul acestor perturbatii asupra unui sistem controlat in circuit deschis mai īntāi, in circuit īnchis mai departe. Considerānd sistemul perturbat reprezentat in figura 7.5.

Fig.

(fig. 7.5) Sistem in circuit īnchis cu intrarea P, perturbata.

Sistemul in circuit Deschis : G = 0

Iesirea Y corespunde:

(7.24)

ea este constituite dintr-o parte datorita constrāngerii R si a unei parti datorita perturbatiei.

Raportul corespunde raportului (semnal/zgomot) īntālnit in telecomunicatii: S/B.

El va deveni aici:

(7.25)

Ceea ce sugereaza o crestere a semnalului de intrare sau de cāstig a controlorului H₁, pentru a creste acest raport.

2) Sisteme in circuit īnchis : G

Iesirea Y se obtine considerānd :

Izolānd Y, se obtine:

(7.26)

Raportul semnalului/zgomotului : (7.27)

Constatam ca este o prima vedere, retroactiunea negativa nu ofera nici o ameliorare spectaculoasa in raport cu circuitul deschis din punct de vedere al respingerii zgomotului.

Totusi, structura in circuit īnchis (7.26) arata ca o crestere a cāstigului H, afecteaza cel de-al doilea termen Y_p fara a modifica pe primul.

Raportul semnalului/zgomotului va fi ameliorat daca se mareste amplitudinea lui R.

Printre altele, in anumite conditii, este posibil sa se mareasca raportul S/B al sistemului circuitului.

Presupunem ca H₂ sa fie acelasi pentru cele doua structuri de reglaj. Daca H₁ si R sānt angajate in circuit deschis, k₁ H₁ si k₂ R sunt utilizate in circuit īnchis cu scopul obtinerii semnalelor de iesire comparabile. Daca se egaleaza iesirea datorata īnregistrarii pentru cele 2 structuri:

Raportul: (7.28)

Daca semnalul de iesire in circuit deschis si in bucla īnchisa sunt egale, k₃ = 1 si conditia urmatoare trebuie sa fie respectata :

Cea care arata dependenta de k₁fata de k₂ .

Daca k₂ este ales, k₁ este dat de catre: (7.29)

k₂ trebuie sa fie astfel īncāt k₂ > H₁ H₂ G pentru care k₁ > 0.

Astfel vom arata ca se poate ameliora raportul S/B in structura circuitului īnchis daca se realizeaza k₁ k₂ >1. Asa cum e si cazul in continuare.

Exemplul 7.4 Daca elementele figurii(7.5) sunt urmatoarele:

H₁ = 2; G = 0.2; R = 1; P = 0.5 si H₂ = 10/(s+1)

Sa se adapteze R si H pentru ca iesirea sistemului in circuit īnchis este egal cu cel in circuit deschis.

Sa se calculeze cota de respingere S/B pentru sistemul in circuit īnchis.

Cu cat aceasta cota a fost ameliorata in raport cu sistemul in circuit deschis?

Raspuns:

R = 4.5 in circuit īnchis

K₂ = 2 aplicānd (7.29); S/B = 36;

k₁k₂ = 9

7.5 Efectul revenirii asupra raspunsului tranzitoriu al sistemului

Un alt avantaj care deriva din structura de reglaj in circuit īnchis este obtinerea unui raspuns intr-un regim mai rapid decāt intr-un circuit deschis. De exemplu, raspunsul indicial in bucla īnchisa al sistemului elementar urmator pune in evidenta aceasta afirmatie.

Fig(7.6)

Sistemul este format dintr-un element de ordinul īntāi de cāstig unitar si constanta de timp T. Regulatorul este un amplificator de cāstig K. Aparatul de masura are o sensibilitate egala cu K_f .

Daca intrarea este o scara , marimea de iesire se va exprima:

in circuit deschis: daca K_f = 0 (7.30)

in circuit īnchis: (7.31)

cu , constanta de timp in bucla īnchisa.

Se observa ca aceasta constanta depinde de produsul KK_f , cāstigul in circuit. In plus cāstigul este crescut, si sistemul raspunde mai repede. Daca cāstigul in circuit ajunge la val 9, sistemul in circuit īnchis va raspunde de 10 ori mai repede decāt in circuit deschis.

Raspunsul tranzitoriu se obtine aplicānd cercetarea lui Heaviside la(7.30) sau la (7.31), ea va fi : y(t) = K* .R(1-e^-t/T*) (7.32)

Cu: K* =K; T* = T; K_f =0

K* =K/(1+KK_f); T* = T/(1+KK_f) daca K_f

7.6 Stabilitatea

Definitie.: Un sistem are un comportament stabil daca raspunsul sau la o comanda de amplitudine marginita si de asemenea marginita in amplitudine. In mod general, un sistem controlat in bucla deschisa poseda un comportament stabil neconditionat in sensul definit aici.

Nu este acelasi lucru pentru un sistem controlat in circuit īnchis!

Un sistem stabil in circuit deschis poate sa se comporte in mod instabil in circuit īnchis, chiar si in prezenta retroactiunii negative!!!

Aceasta explica de ce in secolele trecute si pana in 1950, īntelegerea gresita a conceptului de feedback si riscurile pe care acesta le implica au redus utilizarea sa in mod hazardos. Īncercarile si erorile tragice datorate lipsei serioasa a teoriei disponibila pana atunci au frānat utilizarea rationala a regularizari.

Rezultatele cercetarilor intensive īncepute in anii 1940 au fost duse la capat cu ajutorul unui ansamblu de metode de analiza ce permit sa elaboreze un sistem stabil in biroul de studii, multumita matematicii, sau a testarii unui sistem fizic existent si prezicānd gradul de stabilitate.

Aceste metode au astfel de rezultate precum sunt totodata folosite in zilele noastre. Chiar daca se folosesc programe de supervizare garanteaza īntretinerea stabilitatii unui sistem īntr-o gama prevazuta tinde sa redea problema mai putin cruciala īn reglajele mecanice, trebuie sa le treaca īn revista pentru a putea īntelege mai bine regulatoarele si structurile lor de reglaj.

Se poate īncerca sa se clasifice diferitele metode de analiza dupa domeniul timpului sau frecventa īn care se lucreaza, sau daca se testeaza stabilitatea dupa un criteriu algebric.

Definitia stabilitatii in sensul "intrarii legate, iesire legata" , ne permite sa consideram ca pe parcursul timpului, raspunsul unui sistem reglat stabil nu poate tine catre infinit.

Termenii tranzitorii trebuie deci sa scada cu totii pe parcursul timpului.

Consideram raspunsul indicial al unui sistem reglat in circuit īnchis. Functia sa de transfer sub forma poli-zero va fi sub forma:

(7.33)

Pentru claritate, presupunem ca orice pol p_i i = 1, 2, ., n distincte.

Raspunsul se obtine prin aplicatiile de reglaj vazute in capitolul 6 si va avea forma:

(7.34)

Se constata ca: - polii dicteaza forma raspunsului: ei sunt exponentii, omogen inversului timpului.

- zerourile, radacinile numaratorului N(s), combina asupra reziduurilor polilor determinānd amplitudinea constantelor c₀, c₁, ., c_n .

Polii p_i au forma generala a unui numar complex :

(sec^-1)

cu: | a_i = Re'(p_i) = inversul unei constante de timp

| b_i = Im(p_i) = pulsatia cisoidala

Am vazut (cap. 6) ca exponentul e ^pit nu se anuleaza pe parcursul intervalului de timp ca daca si numai daca partea reala a polilor este negativa.

Se traseaza deci criteriul general de stabilitate:

Un sistem controlat in bucla īnchisa este stabil daca orice pol al functiei de transfer in bucla īnchisa au partea lor reala si negativa.

Legaturi intre domeniul t si planul variabilei s

Daca se reprezinta in planul variabilei s punctele singulare ale functiei de transfer F(s), si in particular polii printr-o cruce(x) si zerourile printr-un cerc(o), apartine in mod clar unei reprezentari echivalente a termenilor tranzitorii corespunzatori planului (y, t).

Trebuie in mod absolut sa se faca achizitia acestor tipuri de fenomene pentru care planul s nu este in plus in acest domeniu "misterios" care nu are complexe ca si numele ales gresit in secolul XVII.

Figura (7.7) urmatoare ilustreaza cele doua reprezentari echivalente.

Pentru a asigura stabilitatea sistemului, polii functiei de transfer in circuit īnchis trebuie sa se gaseasca in semiplanul stāng al planului s.

Fig.(7.7)

7.6.2. Relatia fundamentala la originea metodelor de analiza

Orice metoda de analiza a stabilitatii sunt bazate pe traducerea criteriului general de stabilitate enuntata precedent.

In circuit īnchis, polii functiei ce au legatura Y(s) la R(s):

Trebuie sa fie radacinile numitorului, numite polinom.

Caracteristici:  1+GH(s) = 0

Sau īnca GH(s) = -1

In care variabila independenta este variabila complexa

S= a + jw (sec^-1)

Calitatea GH(s) complexa poate deci sa se reprezinte sub forma polara a:

| amplitudinea |GH(s)| = 1

| si faza < GH(s) = 180^o k. 360^o

k = 1, 2, 3, .

7.7 Metodele de analiza

Aceste doua ecuatii formeaza baza metodei lui Evans, numite:

1) Metoda locului radacinilor

Produsul GH(s) se exprima ca si o fractie rationala de doua polinoame in s: (7.39)

Cu N(s), polinomul de grad m; D(s) polinom de grad n; m n.

Polinomul caracteristic se va scrie deci: D(s) + K[N(s)] = 0 sau K este cāstigul din circuitul deschis.

Daca se face varierea valorii sale de la zero la infinit, cele n radacini descriu liniile din planul s. Reprezentarea grafica a evolutiei radacinilor in functie de cāstigul K este locul radacinilor, altfel spus polilor functiei de transfer in bucla īnchisa.

Avantajele si dezavantajele metodei locului radacinilor

Avantajul principal al metodei este de a permite vizualizarea grafica a pozitiei polilor in planul s pentru o valoare particulara a cāstigului sistemului.

Caracterul eventual instabil al sistemului se vede imediat si este posibil sa se specifice castigul stabilizat.

Se va utiliza metoda pentru:

A compensa un sistem instabil(stabilitatea absoluta).

A se atinge un grad de stabilitate specific(stabilitate relativa).

Atingerea unui nivel de performante dorita(precizie, timp de raspuns).

Dezavantajele asociate metodei sunt urmatoarele:

-presupune disponibilitatea functiei de transfer al sistemului.

- urma locurilor este de asemenea īngreunata. Pentru a ajuta utilizatorul, anumite reglaje de simplificare au fost propuse.

Acum, folosirea Desenului Asistat de catre Calculator(DAC), ne pun la dispozitie puterile utile pentru a reprezenta locurile(Matlab- Control- Toolbox).

2) Diagrama lui Bode

Cum vom vedea in continuare, metoda locului radacinilor presupune in mod unic planul s al variabilei Laplace. Aceasta metoda exceleaza asupra cunostintelor analitice a functiei de transfer, ceea ce nu este momentan disponibil.

O alternativa este datorata lui Bode. Ea e bazata pe raspunsul in regim permanent sinusoidal.

Aceasta se reprezinta in domeniul frecvential.

Obtinerea experimentala a raspunsului frecvential se realizeaza ca mai departe. Trebuie sa se aplice in semnal sinusoidal sistemului in circuit deschis si sa se masoare raspunsul sau in regim permanent. Daca sistemul este liniar, raspunsul sau este de asemenea sinusoidal si de aceeasi frecventa ca si solicitarea. Ea difera numai in amplitudine si faza.

Se repeta aceasta procedura pentru mai multe frecvente, se īnregistreaza raspunsul pentru fiecare punct de masura si se raporteaza aceste valori in doua grafice. Un grafic de amplitudine, exprimat in decibeli in functie de frecventa. Un grafic de faza, exprimat in grade in functie de frecventa.

Multimea celor doua grafice constituie diagrama lui Bode.

Avantaje si dezavantaje ale metodei lui Bode

Avantaje:

In primul rānd, stabilitatea sistemului se poate deduce din datele experimentale fara cunostinta cu prioritate a functiei de transfer. Este evident ca diagrama lui Bode se poate deduce din functia de transfer a sistemului daca aceasta este disponibila.

Printre altele, se poate identifica functia de transfer a unui sistem plecānd de la raspunsul frecvential.

Performantele sistemului din domeniul "timp" pot fi prezise plecānd de la raspunsul in frecventa.

Criteriul de sabilitate se poate exprima prin doua moduri:

Sistemul in circuit īnchis este stabil daca unghiul GH > -180^o cand |GH| = 1 = 0 dB (cāstig unitate)

Sistemul in circuit īnchis este stabil daca |GH| < 0 dB cānd unghiul GH = -180^o

Astfel putem defini stabilitatea marginala(oscilatia īntretinuta) ca: un sistem este marginit stabil daca castigul in dB corespunde fazei de -180^o.

Stabilitatea relativa a unui sistem in bucla īnchisa se poate masura in mod direct pe diagrama lui Bode(fig 7.8). Ea se exprima in termen de marja de castig M_G sau in termen de marja de faza M_f definita in raport cu pulsatiile W_p si W₀.

W_p - pulsatie(sau frecventa f_p) pentru care faza se duce la -180^o

W₀ - pulsatie(sau frecventa f₀) pentru care castigul este unitatea(dB).

(7.40)

(7.41)

(Fig 7.8)

Inconveniente

- Relatarile experimentale ale fazei sunt adesea delicate(paraziti, valori false).

- Este dificil sa se aplice metoda sistemelor lente(termice, hidraulice, de exemplu) unde durata experimentului si securitatea sunt obstacole majore.

- Se cere o investitie intelectuala sigura - mai ales pentru corespondenta(t--w).

3) Diagrama lui Nyquist

In mod contrar lui Bode care reprezinta o functie GH de w prin intermediul a 2 grafice, Nyquist combina amplitudinea si faza lui GH intr-un singur grafic. Este o diagrama polara, numita īnca plan GH sau in coordonate carteziene, planul lui Gauss:  GH(jw) = x + jY (7.42)

Forma polara: GH(jw) = |GH(jw)| < Φ (7.43)

Forma exponentiala: GH(jw) = |GH(jw)| e^jΦ (7.44)

Sarcina ce constituie urma contorului lui Nyquist este cu mult mai grea decāt acele ale diagramei lui Bode sau a locului radacinilor.

Contorul lui Nyquist este bazata de asemeni pe ecuatia caracteristica :

P(s) = 1+ GH(s) = 0

Stabilitatea sistemului este asigurata daca radacinile lui P(s), care sunt polii functiei de transfer in bucla īnchisa sunt toate situate in semiplanul stāng al planului s.

Pentru a determina existenta eventualilor zero ai P(s) situate in semiplanul din dreapta al planului s, semiplanul este inspectat in mediul unui contor apropriat. Acest contor C utilizeaza pe acest efect in planul "s", īncepe din origine si se īntinde de-a lungul axei jw pana la w = + ∞, se prelungeste in sensul acelor de ceasornic in mediul semicercului razei infinite pana la -j∞ si revine catre origine de-a lungul axei W negativa. Se modifica singularitatile situate pe axa imaginara prin semicercurile razei cele mai mici.

Conturul C este deci transformat in planul GH(s).

Un exemplu este ilustrat in figura 7.9. Un punct s este transformat intr-un vector de amplitudine si de faza unghiul GH(s) = Φ, evaluat la frecventa selectionata w, care este un punct pe conturul C al planului s.

(fig 7.9a) (fig 7.9b)

In planul GH un contor este determinat pentru o valoare K.

Criteriul de stabilitate al lui Nyquist stabileste ca: Nz = Np + Nc.

Nz - numarul de zerouri din P(s) situat in semiplanul drept al variabilei s este egal cu numarul de īncercuiri al punctului - 1 + j0 in planul GH: Np + Nc este luat pozitiv pentru īncercuirile orare si negativ pentru īncercuirile in sens invers acelor de ceasornic.

Daca Np = 0, ceea ce este in general cazul, sistemul este stabil daca

Nz = 0, in acest caz conturul in planul GH nu poate fi īncercuit punctul -1 + j0, numit "punct critic".

Daca Np ≠ 0, sistemul este stabil daca Nc = - Np si daca Nz = 0, ceea ce semnifica ca numarul de īncercuiri antiorare ale punctului critic in planul GH trebuie sa fie egal cu numarul de poli P(s) situati in semiplanul drept al variabilei s.

Stabilitatea relativa se exprima ca pentru ca si pentru diagrama lui Bode: fig 7.9b ilustrata marja de faze MΦ si marja de cāstig M_G .

Metoda Ruth-Hurwitz

In 1885, Ruth si Hurwitz au facut cercetari, in mod independent, asupra unei metode ce permite observarea stabilitatii sistemelor liniare. Aproprierile lor difera considerabil de metodele mai recente cea a lui Bode, Nyquist si Evans.

Ea depinde de cunoasterea prioritatii polinomului caracteristic,

Anumiti coeficienti ai lui P(s) pot fi nedeterminati,

Metoda permite afirmatia daca sistemul este absolut stabil sau nu. Ea nu poate prezice stabilitatea relativa.

Criteriul stabilitatii lui Ruth-Hurwitz permite sa se numeasca polinomul caracteristic P(s) = 1 + GH(s) = 0 poseda radacini cu parte reala pozitiva si combinate.

Este bazat pe anumite proprietati ale polinoamelor lui Hurwitz.

Numim polinom lui Hurwitz un polinom cu variabila complexa a si coeficienti reali, astfel īncāt partea reala cu toate zerourile sa fie negativa.

Semnul coeficientilor unui polinom al lui Hurwitz:

toti coeficientii trebuie sa fie prezenti

toti coeficientii trebuie sa fie de acelasi semn.

Este o conditie necesara, dar nu si suficienta pentru un polinom fie el hurtwitzian.

Proprietatile raportului partilor pare si impare ale unui polinom de-al lui Hurwitz

Daca zerourile sunt la stānga axei imaginara si simetrica in raport cu axa reala, de aici rezulta ca:

|P(s)| > |P(-s)| daca Re'(s) > 0 (7.45)

|P(s)| < |P(-s)| daca Re'(s) < 0 (7.46)

Daca s este pe axa imaginara: Re'(s) = 0 deci |P(s)| = |P(-s)| (7.47)

Se poate totodata descompune un polinom intr-o suma de un polinom pereche: A(s) si dintr-un polinom impar B(s).

P(s) = A(s) + B(s)

Se stabileste raportul celor doua polinoame:

(7.49)

Daca se pune

Conditia necesara si suficienta pentru care P(s) sa fie polinomul lui Hurwitz este ca |Y(s)| >=< 1 in acelasi timp ca Re'(s) >=< 0.

De plus,

Conditia necesara devine: pentru care P(s) este polinomul lui Hurwitz, trebuie si este suficient ca Re'(X(s)) sa fie pozitiv, nul sau negativ in acelasi timp ca Re'(s).

Hurwitz a aratat ca:

toti polii lui X(s) sunt simplii si puri imaginari, reziduurile relative la poli sunt pozitive.

functia 1/X(s) completeaza aceleasi conditii, deci toate zerourile sale sunt simple si pur imaginare.

In plus chiar daca polii si zerourile din X(s) si din 1/X(s) sunt simple si doar daca A(s) si B(s) sunt din diferite parti, gradele acestora nu difera cu mai mult de numai o unitate. 

toate proprietatile sale se īnteleg prin functia X(1/p) si 1/X(1/p) sau s= 1/p.

Conditia necesara si suficienta pentru ca un polinom cu coeficientii pozitivi sa fie un polinom al lui Hurwitz este zeroul acestor parti pare si impare unde gradele nu difera decāt numai cu o unitate sunt simple, imaginare pure si interpuse.

Criteriul lui Routh-Hurwitz

(7.53)

Se poate descompune X(s) in fractii continue:

daca , functia poseda un pol in p = 0.

Ea trebuie deci sa aiba un rest pozitiv pentru acest pol. Acest rest este: .

Restul B₁ relativ polului p = 0 al functiei 1/X₁(1/p) este pozitiv. Din motivul precedent.

Urmarind calculul: (7.55)

Toti coeficientii (A_i, B_i) sunt pozitivi cum rezulta dintr-un pol p = 0 a unei functii X_i sau 1/X_i care au proprietatile lui X.

Daca n este par, sunt n/2 termeni A_i si n/2 termeni B_i.

Daca n este impar, sunt (n+1)/2 termeni A_i si (n-1)/2 termeni B_i.

Calculul termenilor A_i si B_i conduce la rezultatele urmatoare:

A₁ = a₀/a₁ = a₀/D

B₁= D D

A₂ = D D D

B₂= D D₂ D

.

.

.

A_i= D _2i-2 D_2i-3 D_2i-1

B_i= D _2i-1 D_2i-2 D_2i  (7.56)

Valorile D sānt determinate in expresia de mai sus.

Caracterul pozitiv al lui A_i si B_i antreneaza caracterul pozitiv al determinantelor sale.

Se presupune totodata ca a₀ > 0

D = a₁ >0

(7.57)

Multimea conditiilor sale poarta numele de criteriul lui Ruth-Hurwitz

Prezentarea practica a criteriului

Mai recent, ca sa putem informatiza criteriul, el trebuie sa fie prezentat intr-un mod mai operational sub forma unui tabel triunghiular. Nu trebuie sa se faca evaluarea pentru determinantii de ordin 2.

Se pun coeficientii polinomului caracteristic in primele 2 linii ale unui tabel care comporta n+1 linii in total.

Se calculeaza elementele urmatoare dupa formulele:

etc.  (7.59)

Conditia necesara si suficienta pentru care P(s) reprezinta un sistem stabil este ca toate elementele primei coloane a tabelului sa fie de acelasi semn ca si a₀, pozitiv prin ipoteza.

Daca anumite elemente ale primei coloane sunt negative, sistemul este instabil.

El poseda tot atātia poli in semiplanul drept al variabilei s care are schimbul semnului in prima coloana a tabelului.