PLAN DE LECTIE Geometrie - Conditii necesare si suficiente ca un triunghi sa fie isoscel

Nr. Crt.

Secventa pedagogica

Activitatea profesorului

Activitatea si conduita posibila a elevilor

Prezentarea obiectivelor lectiei si titlul acesteia.

Prof. noteaza titlul pe tabla:

,, Conditii necesare si suficiente ca un triunghi sa fie isoscel”

Prezinta oral si pe scurt obiectivele urmarite.

Elevii scriu pe caiete titlul lectiei si asculta obiectivele expuse de catre profesor.

Recapitularea cunostintelor

Inainte de a cere elevilor sa formuleze toate teoremele directe cu privire la triunghiul isoscel, profesorul recapituleaza liniile importante in triunghi, constructia lor, modul de a transcrie folosind simbolistica matematica .

Elevii definesc fiecare linie importanta in parte specificand:

- pentru inaltimea AD: AD BC, m(<ADB)=m(<ADC)=90⁰

-Pentru bisectoarea AE: (AE I int , < BAE s < EAC

-Pentru mediana AM : M IBC, BM=MC.

Momentul grafic

Prof. realizeaza la tabla, constructia grafica a unui triunghi isoscel si cere unui elev sa reprezinte liniile importante in triunghi.

Elevii deseneaza in caiete, urmariti si corectati de catre profesor care se deplaseaza printre banci.

Punerea problemei

Pasul 1.

Profesorul propune spre rezolvare urmatoarea problema :

In D ABC,cu AB =AC, se duce bisectoarea AE.

Invita elevii sa lase loc liber pentru concluzie si sa caute sa demonstreze tot ce se poate demonstra cu privire la elementele acestui triunghi.

Profesorul le arata elevilor ca in acest enunt sunt stranse patru teoreme .

Elevii scriu ipoteza : D ABC, [AB] s[AC],

=.

Concluzie :

a)      [BE] s[EC].

b)      m(<AEB)=90⁰.

Elevii pot nota in caiet rezultatele:

Intr-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din varf este si mediana bazei; unghiurile de la baza sunt congruente; bisectoarea unghiului de la varf este si inaltimea bazei;inaltimea corespunzatoare bazei este si mediana.

Punerea problemei si rezolvarea efectiva.

Pasul 1.

Punerea problemei

Pasul 2.

Punerea problemei

si demonstrarea efectiva.

Profesorul propune spre rezolvare urmatoarea problema :

Sa se demonsteze ca bisectoarele unghiurilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.

Profesorul pune intrebarea:

Concluzia era adevarata si daca BD si CE erau inaltimi sau mediane?

Profesorul enunta concluziile :

- Bisectoarele unghiurilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.

- Medianele corespunzatoare laturilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.

- Inaltimile corespunzatoare laturilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.

Profesorul cere elevilor ca teoremele R₁,R₂, ,R₄,R₇ sa le demonstreze prin munca independenta.

Se vor demonstra in continuare teoremele R₃, R₅, R₆.

R₃: Daca intr-un triunghi, mediana si bisectoarea corespunzatoare aceleiasi laturi coincid, atunci triunghiul este isoscel.

Ipoteza : D ABC, [BD] s[DC],

< BAD s<DAC

Concluzia: [AB] s [AC]

Profesorul sugereaza o constructie auxiliara: se prelungeste mediana AD cu un segment [DE] s[AD] si se uneste E cu C. Patrulaterul ACEB este un paralelogram deoarece diagonalele lui se taie intr-un punct care determina pe fiecare segmente congruenteT [CE] s [AB] si

<CED s< BAD ( alterne interne), dar si < CAD s < CED, adica

D ACE este isoscel cu [AC] s[CE].

Cum [CE] s[AB] si [CE] s[AC] T [AB] s[AC].

Elevii fac desenul :

Fig. 1

Ipoteza: D ABC, [AB] s [AC], ,

Concluzie: [BD] s [EC]

Demonstratie: Elevii trebuie sa aplice metoda triunghiurilor congruente.

D ACE s D ABD ( U.L.U), sau ca

D BCEs D BCD (U.L.U)

Elevii observa ca aceleasi triunghiuri ar fi fost congruente .

Pentru mediane conform criteriului LUL, si pentru inaltimi conform criteriului IU.

Elevii noteaza aceste concluzii.

Elevii enunta apoi toate reciprocele teoremelor demonstrate la problemele propuse:

R₁: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.

R₂: Daca intr-un triunghi, mediana si inaltimea corespunzatoare aceleiasi laturi coincid, atunci triunghiul este isoscel.

R₃: Daca intr-un triunghi, mediana si bisectoarea corespunzatoare aceleiasi laturi coincid, atunci triunghiul este isoscel.

R₄: Daca intr-un triunghi, inaltimea si bisectoarea corespunzatoare aceleiasi laturi coincid, atunci triunghiul este isoscel.

R₅: Daca intr-un triunghi, doua mediane sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

R₆: Daca intr-un triunghi, doua bisectoare sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

R₇: Daca intr-un triunghi, doua inaltimi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Fig. 2

Elevii incearca sa incadreze segmentele [AB] si [AC] in D ABD si DADC, ca la teoremele precedente si observa ca nu se poate demonstra congruenta acestora deoarece au cate doua laturi respectiv congruente dar nu si cate un unghi cuprins intre ele ( pentru a se incadra in unul din cazurile de congruenta cunoscute).

Punerea problemei si demonstrarea efectiva.

R₅: Daca intr-un triunghi, doua mediane sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Si aici este nevoie de o constructie ajutatoare: Prin D construim o paralela la BC, care intersecteaza prelungirea bazei in F. Din [AE]s[EB] si [AD] s[DC] T

DE || BC. Deci: DECF este un paralelogramT [DF]s[EC]. Dar si [BD]s[EC] T D BDF este isoscelT <DBF s<BFL.Dar <BFD s < BCE

( corespondente)T < DBC s< ECB.

Abia acum putem incadra medianele congruente in triunghiuri congruente: D BDC sDCEB (LUL) T < DBC s < EBC T D ABC este isoscel.

Ipoteza: DABC, [AE] s [EB], [AD]s[DC],[BD]s[CE]

Concluzie : [AB] s [AC].

Fig. 3.

Punerea problemei  si demonstrarea efectiva.

R₆: Daca intr-un triunghi, doua bisectoare sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Demonstratia se face prin reducere la absurd. Presupunem ca AB AC si fie AB > ACT .

Din D EBC si D DBC care au cate doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprinse intre ele cu relatia de mai sus T BE>DC.

Prin E si D construim paralele la BD respectiv la AB si fie F intersectia lor.

In paralelogramul BDEF avem:

[DF] s[BE]>DC, de unde in D DCFT Dar

Din si T

, adica Dar EF=BDTCE<BD ceea ce contrazice o parte a ipotezei (BD=CE)T presupunerea facuta este falsaT AB=AC.

Ipoteza:

DABC, <BCE s <ECA, <ABD s < DBC, [BD] s[CE]

Concluzie: [AB] s[AC].

Fig. 4

Concluzii

Profesorul, impreuna cu elevii strang in cate un enunt fiecare teorema si reciproca ei, obtinand conditiile necesare si suficiente ca un triunghi sa fie isoscel:

1. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca sa

aiba doua unghiuri congruente.

2. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

mediana si inaltimea corespunzatoare aceleiasi laturi sa coincida.

3. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

bisectoarea si mediana corespunzatoare aceleiasi laturi sa coincida.

4. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

inaltimea si bisectoarea corespunzatoare aceleiasi laturi sa coincida.

5. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

triunghiul sa aiba doua mediane congruente.

6. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

triunghiul sa aiba doua bisectoare congruente.

7. O conditie necesara si suficienta ca un triunghi sa fie isoscel este ca

triunghiul sa aiba doua inaltimi congruente.

Stabilirea temei

Profesorul fixeaza tema pentru acasa.Elevii trebuie sa gaseasca toate conditiile necesare si suficiente ca un patrulater sa fie paralelogram, ca un paralelogram sa fie dreptunghi, ca un paralelogram sa fie romb.

Elevii noteaza tema pentru acasa.