PROBLEME DE ORDONARE

PROBLEME DE ORDONARE

Pentru abordarea problemelor din acest capitol este bine sa retinem urmatoarele notiuni teoretice:

Daca a si b sunt doua numere atunci este adevarata una si numai una din relatiile:

a > b , a = b , a < b .

Daca numarul a este mai mic sau egal cu numarul b scriem a £ b.

Prin max( a , b ) intelegem cel mai mare dintre numerele a si b , iar prin min( a , b ) cel mai mic

dintre numerele a si b .

Vom admite ca oricare ar fi numerel 929b18j e a si b , a>0 , a¹1 , b>0 , exista un singur numar real c

astfel incat a^c = b.

Deasemenea, daca a>1 atunci din a ^x₁ > a^x₂ rezulta x₁ > x₂ si reciproc. Daca a<1 atunci din

a^x₁ > a^x₂ rezulta x₁ < x₂ si reciproc.

Pentru a stabili care dintre numerele a si b este mai mare , cand acest fapt nu este evident ,

putem folosi mai multe procedee :

a)      Stabilim semnul diferentei a - b. Daca a - b > 0, atunci a > b. Daca a - b = 0 , atunci

a = b. Daca a - b < 0 , atunci a < b .

b)      In cazul in care numerele sunt pozitive si b ¹ 0, comparam raportul cu 1. Daca >1

rezulta a>b. Daca = 1 rezulta a = b. Daca <1 atunci a<b.

c)      In anumite cazuri, este suficient sa demonstram existenta unui numar c care sa se afle

intre a si b sau b si a. De exemplu, din a<c<b rezulta a<b.

PROBLEME :

Sa se scrie in ordine crescatoare numerele: 3³, 3³³ , 333 , 33³ , (3³)³.

Solutie. Avem: 3³³ >3²⁷= 3³ 3⁹)³ > (3⁴)³=81³ > 33³ > 27³=(3³)³ > (3²)³=729 > 333.

Deci : 333 < (3³)³ < (33)³ < 3³< 3³³ .

Comentarii. In general (a^b)^c ¹ a^b.

2. Tripletele care verifica egalitatea (a^b = a^bsunt de forma (1,b,c), (a,b,1), (a,2,2)

Sa se determine: a) max ( 2²³⁷ , 3¹⁵⁸ ) ; b) max( , ) ; c) min ( 2⁷⁶ , 3⁵¹ ).

Solutie : a) Pornind de la observatia ca 2³ < 3² avem: 2²³⁷ = (2³)⁷⁹ si 3¹⁵⁸ = (3²)⁷⁹ obtinem deci ca

max( 2²³⁷ , 3¹⁵⁸ )= 3¹⁵⁸

b Avem 4³⁶= (2²)³⁶ = (2³)²⁴ si 9²⁴ = (3²)²⁴ , iar dintre doua fractii cu acelasi numarator

este mai mare cea care are numitorul mai mic , deci max( , ) =

c) Avem 2⁷⁶=2¹⁺⁷⁵=2 (2³)²⁵ si 3⁵¹=3¹⁺⁵⁰=3 (3²)²⁵ , deci min(2⁷⁶ , 3⁵¹)=2⁷⁶.

Generalizare: Oricare ar fi numarul natural n , nenul , are loc 2³ⁿ < 3²ⁿ.

Care dintre numerele : a = 1¹+2²+3³+ . + 1000¹⁰⁰⁰ si b = 2²este mai mare ? ( a si b sunt scrise

in sistemul zecimal).

Solutie: Avem b = 2= 2, iar 2¹⁶=2¹⁰ 64 > 64 1000 = 64000. Deci b > 2^64000.

Pe de alta parte : a < 1000¹⁰⁰⁰+1000¹⁰⁰⁰+ . +1000¹⁰⁰⁰=1000 1000¹⁰⁰⁰=1000¹⁰⁰¹<(1024)¹⁰⁰⁰=

de 1000 de ori-

2¹⁰)¹⁰⁰¹=2¹⁰⁰¹⁰ , rezultand deci ca a < b.

pag. 2

Comentariu: Nu am comparat direct numerele a si b , ci am aratat ca exista doua numere c si d care

indeplinesc conditiile : a < c , c < d , d < b , de unde ordinea a < c < d < b.

Sa se decida daca numarul este subunitar, echiunitar sau supraunitar.

Solutie: Scoatem factor pe 100⁹⁹ si avem :

= = = .

Orice putere naturala a unui numar subunitar este un numar subunitar. Produsul dintre un numar

pozitiv x si un numar subunitar pozitiv y este mai mic decat x.

Þ< 1 , deci < 1 si 99 < 99. Þ numaratorul este mai mare dacat numitorul ,

deci fractia este supraunitara.

SAU : Sa studiem semnul diferentei dintre numarator si numitor:

99⁹⁹+100¹⁰⁰ - 99¹⁰⁰ - 100⁹⁹ = (100¹⁰⁰ - - (99¹⁰⁰ - 99⁹⁹ ) = ( 100

si utilizand proprietatile inegalitatilor: a,b,c,d numere pozitive si a>b si c>d , atunci ac>bd,

ceea ce in cazul acestei probleme conduce la concluzia ca numaratorul este mai mare decat

numitorul.

Generalizare: Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n nenul este adevarata inegalitatea:

> 1 (exercitiu propus spre rezolvare pentru acasa )

Evaluare prin proba scrisa: ( pe nivele de dificultate )

Ex 1) - pentru nota 5 :

Daca a,b,cIN ,pot fi fractiile ,, simultan subunitare ?

Ex 2) - pentru nota 7 :

Sa se scrie in ordine crescatoare numerele : 9⁹⁹ , (9⁹)⁹, 9⁹, 999 , 99⁹.

Ex 3) - pentru nota 9:

Determinati max ( 26¹⁵⁰ ).

Ex 4) - pentru nota 10:

Stabiliti cea mai mica valoare a lui n, numar natural, astfel incat 37ⁿ > 215¹⁰.