PROIECT DIDACTIC - Functii - Matematica/Algebra

PROIECT  DIDACTIC

Data: 24-X-2005

Clasa a X-a B, C, D, F.

Disciplina: Matematica/Algebra

Unitatea de continut: Functii.

Tipul lectiei: Fixare de cunostinte/consolidare

Durata: 100 minute( 2ore consecutiv)

Locul desfasurarii: Sala de clasa.

CG1 Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor în functie de cont 22522w2210w extul în care au fost 

definite.

CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunturi

matematice.

CG3 Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a

unei situatii concrete.

CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a

algoritmilor de prelucrare a acestora.

CG5 Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema.

CG6 Modelarea matematica a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunostintelor din

diferite domenii.

CS1 Trasarea prin puncte a graficelor unor functii.

CS2 Prelucrarea informatiilor ilustrate prin graficul unei functii în scopul deducerii unor proprietati

algebrice ale acesteia (monotonie, semn,continuitate,convexitate)

CS3 Utilizarea de proprietati ale functiilor în trasarea graficelor si rezolvarea de ecuatii.

CS4 Exprimarea în limbaj matematic a unor situatii concrete si reprezentarea prin grafice a unor

functii care descriu situatii practice.

CS5 Interpretarea pe baza lecturii grafice a proprietatilor algebrice ale functiilor.

Stilul vizual de învatare va fi favorizat de vederea informatiilor în forma tiparita (fise de lucru) privirea ,forma cuvintelor, folosirea cuvintelor.

Stilul auditiv de învatare va fi favorizat de ascultarea altor persoane care redau sau explica informatiile

Stilul practic de învatare va fi favorizat de scrierea rezultatelor/rezolvarilor problemelor din "Fise de lucru", la tabla.

EXPRIMAREA PROPRIILOR CONCLUZII -generarea de idei si concluzii privind problemele propuse

pentru recapitularea capitolului "Functii

TRANSFERUL CONCLUZIILOR - realizarea de conexiuni, generalizari,întrebari.

Principii didactice

v      Principiul participarii si învatarii active

v      Principiul asigurarii si progresului gradat al performantei

v      Principiul conexiunii inverse

Metode de învatamânt/de instruire

v      Conversatia euristica

v      Explicatia

v      Exemplificarea

v      Algoritmizarea

v      Exercitiul

v      Problematizarea

v      Descoperirea dirijata

Forme de organizare a clasei

v      Frontala

v      Individuala

v      Pe grupe/echipe

Continutul învatari

v      Câmpul de informatii: manualul de mathematica ( clasa a IX-a, clasa a X-a), culegera de

matematica, editura Mathpress, autor Mircea Ganga.

v      Informatiile si cunostintele care au legatura directa cu competentele stabilite.

Resurse psihologice

v      Capacitatea de învatare de care dispune clasa : elevii poseda cunostinte legate de functii (definitie,moduri de definire a unei functii, analizarea graficului unei functii numerice,monotonie, axa de simetrie, centru de simetrie,semnul unei functii,compararea a doua functii, valori extreme)

v      Diagnosticul motivatiei: elevii prezinta interes pentru lectie, deoarece li s-a descris câmpul de aplicabilitate al acesteia.

v      Motivatia învatarii: elevilor le este explicat faptul ca notiunile din aceasta unitate de învatare, au numeroase aplicatii practice.

Resurse materiale

v      Materiale didactice: fise de lucru, proiect didactic.

v      Mijloace de învatamânt: tabla, creta.

Resurse procedurale: investigatia stiintifica, problematizarea, observarea sistematica a elevului, 

rezolvarea de probleme/situatii problema.

Secventele activitatii didactice

v      Captarea atentiei

v      Actualizarea

v      Anuntarea competentelor

v      Suport notional

v      Fixarea cunostintelor, prezentarea de material pentru fixarea notiunilor.

v      Asigurarea feed-backului,tema pentru acasa.

I  Reactualizarea: Repetarea capitolului "Functii", studiat în clasa a IX-a.

II  Prezentarea situatiei/problema si formularea temei de lucru:

v      Profesorul informeaza elevii asupra continutului/tipurilor de probleme, propuse în :Fisele de lucru.

III Rezolvarea problemei. Vom repeta:

Notiunea de functie. Graficul unei functii.

Fie A si B doua multimi nevide. Se numeste functie definita pe A cu valori în B o lege, procedeu sau conventie prin care fiecarui element xA i se asociaza un singur element din B. Elementul x se numeste argument sau variabila independenta; y se numeste variabila dependenta. Notatie: f: AB, sau AB, sau AB, xy = f(x), unde f(x) este imaginea elementului x din A prin functia f în x.

Orice functie este definita,deci,prin trei elemente:

a) A: domeniul de definitie.

b) B: codomeniul sau multimea în care functia ia valori.

c) legea f care leaga cele doua multimi.

Multimea = f(A)B, reprezinta multimea valorilor functiei f. Notam cu

F(A,B) = ; daca A, BR, atunci functia f: AB se numeste functie numerica.

Doua functii f: AB, g: CD sunt egale, notat: f = g, daca:

a)       A = C ( functiile au acelasi domeniu de definitie).

b)       B = D ( functiile au acelasi codomeniu).

c)       f(x) = g(x), A ( punctual functiile coincid).

Graficul functiei f este multimea G_f = = AXB .

Graficul unei functii numerice se reprezinta geometric printr-o submultime a planului, numita reprezentarea geometrica a graficului functiei. Reprezentarea grafica a functiei f: AR, este o curba numita curba reprezentativa a functiei f: C_f = . Relatia y = f(x) se numeste ecuatia curbei reprezentative a functiei f. În loc de reprezentarea de reprezentarea geometrica a graficului unei functii, prin abuz de limbaj, vom spune simplu: graficul functiei, iar prin scrierea M(x,y)G_f, vom întelege M(x,y)C_f, adica y = f(x).

Interpretarea geometrica a definitiei functiei: faptul ca unui element xîi corespunde un singur element y, se traduce în limbaj geometric prin: orice paralela la Oy, dusa prin x de pe Ox, x, taie graficul functiei într-un singur punct.

Modalitati de a defini o functie

Indiferent de modul cum definim o functie, trebuie sa precizam cele trei elemente ce o caracterizeaza: domeniul de definitie, codomeniul si legea de corespondenta.

a) Functiile definite sintetic: corespund acelor functii f:A, pentru care se indica fiecarui element x din A, elementul y din B. Acest lucru se poate realiza prin:

Diagrama carteziana

Diagrama cu sageti

A f B

Tabelul de valori:

Tabloul: f =

Graficul functiei: f = (A,B,G_f), unde A = , B = , este: G_f = .

b) Functiile definite analitic, sunt acele functii f:AB, care se definesc cu ajutorul unor

formule sau proprietati, corespondenta f legând între ele, elementul arbitrar x din A de imaginea sa unica y =f(x) din B . Corespondenta f poate fi definita prin

O regula de calcul.

Mai multe reguli de calcul/formule, dupa restrictiile care se pun asupra argumentului( functii multiforme

Pentru un x dat, f(x) se calculeaza dupa o singura regula. Fiecare formula prin care calculam f(x), x, este valabila pe o anumita submultime a lui A si deci , doua formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginii unuia si acelasi element.

Corespondente care sunt de tip functie, obtinute pe cale experimentala, prin studierea unui fenomen( electrocardiograma, cursul de schimb euro-leu pe o anumita perioada,etc)

Schema analizarii unui grafic.

a)       Domeniul de definitie si multimea de valori ale functiei.

Daca f:AB este o functie numerica, atunci în reperul xOy, multimea A este o submultime de puncte de pe axa Ox, iar B de pe axa Oy. f(A) = Imf se numeste imaginea functiei f. Daca A^' A, atunci

f(A^') = se numeste imaginea multimii A^' prin functia f. Daca f:AB, B^' B, atunci multimea f^-1(B^') = se numeste imaginea reciproca a lui B' prin f.

b)       Marginirea unei functii numerice.

Functia f:AB , A , BR, este marginita, daca exista doua doua numere reale a, b, astfel încât a ; altfel spus, f este marginita, daca f(A)[a,b], ceea ce geometric înseamna ca, graficul ei este cuprins între dreptele paralele cu axa Ox, y = a, y = b. Se arata, ca functia f este marginita M>0, astfel încât , .

c)       Intersectia graficului cu axele de coordonate.

G_f Ox: y = 0; solutiile ecuatiei f(x) = 0, daca exista, reprezinta abscisele punctelor în care graficul taie axa Ox.

G_f Oy: x = 0A. Daca 0A, se calculeaza f(0) si punctul ( 0,f(0)) este punctul în care graficul taie axa Oy.

4 Continuitatea unei functii.

În limbaj comun , la nivel intuitiv, spunem ca, graficul este continuu pe o multime A, daca nu prezinta "ruperi", "fragmentari", în nici un punct, altfel spus, daca acesta poate fi desenat cu creionul, pe portiunea considerata, fara ridicarea creionului de pe foaia de hârtie. Daca graficul este discontinuu în punctul x₀, spunem ca functia este discontinua în x₀.

Functiile de gradul întâi, doi, constanta sunt functii continue. Functia , a_i R, , numita functie polinomiala de grad n, este de asemenea functie continua. Functiile continue au proprietatea de a nu sari valori. Aceasta proprietate permite

De a stabili daca o ecuatie de forma f(x)=0 are cel putin o solutie în intervalul (x₁, x₂).

Daca f(x₁).f(x₂)<0, atunci exista x₀ (x₁, x₂), astfel încât f(x₀) = 0.

Sa stabilim semnul functiei între doua zerouri consecutive: x₁, x₂, x₁ < x₂. Daca x₀ (x₁, x₂), atunci semnul lui f(x₀) va fi semnul lui f pe intervalul (x₁, x₂). Se spune ca o functie continua, pastreaza acelasi semn între doua zerouri consecutive. În plus, daca zerourile sunt simple, atunci semnele pe orice doua intervale consecutive alterneaza.

Algoritmul pentru stabilirea stabilirea semnului unei functii f: RR, si rezolvarea unei inecuatii, se numeste metoda intervalelor si are urmatorii pasi:

Se rezolva ecuatiaf (x) =0, pe domeniul de definitie.

Se ordoneaza aceste zerouri, pe axa numerelor reale.

Stabilim semnul functiei pe fiecare din aceste intervale obtinute.

Semnul unei functii.

A determina semnul unei functii numerice, f:AB, înseamna a determina valorile lui x din A pentru care f(x)>0 si valorile lui x din A pentru care f(x)<0.

Daca I A, spunem ca

Solutiile ecuatiei f(x) = 0 se numesc zerourile functiei f.

Compararea functiilor. Rezolvari de ecuatii, inecuatii.

Daca pe multimea A, graficul lui f este "deasupra" graficului luig, atunci f(x)>g(x); punctele în caref,g au aceeasi valoare, sunt date de abscisele punctelor de intersectie ale celor doua curbe.

Geometric, pentru a rezolva o inecuatie f(x)>g(x) pe multimea A, se urmareste pe desen, unde graficul lui f este situat deasupra graficului lui g si se proiecteaza aceste portiuni pe axa Ox. Reuniunea acestor multimi de puncte de pe axa Ox, repezinta solutia inecuatiei f(x)>g(x).

Simetrizarea graficului.

• Dreapta x = a este axa de simetrie pentru graficul functiei f:AB, daca f(a-) = f(a+), , pentru care au sens f(a-), f(a+),

Geometric punctele M( a-, f(a-)), N( a+, f(a+)) sunt simetrice în raport cu dreapta x=a.

• Punctul S(a,b) este centrul de simetrie pentru graficul functiei f, daca :

b = , pentru care au sens valorile: f(a-), f(a+),

7) Functie para, functie impara, functie periodica.

Fie A ,o multime simetrica în raport cu zero ( A si -x A).

Functia f: A R, se numeste para, daca f(-x) = f(x), A.

Functia f: A R, se numeste impara, daca f(-x) = - f(x), A.

Comentarii. a) Daca f: A R, este functie para, rezulta ca punctele de coordonate (-x, f(-x)),(x, f(x)), 

de pe graficul functiei, sunt simetrice în raport cu axa Oy.

b) Daca f: A R, este functie impara, rezulta ca punctele de coordonate (-x, f(-x)),(x,f(x)) 

de pe graficul functiei, sunt simetrice în raport cu originea O a reperului cartezian.

c) Fie f,g: A R si f+g, f.g, functiile suma si produs; atunci:

c') daca f,g sunt pare/impare, atunci f+g este functie para/impara.

c'') daca f,g sunt pare/impare, atunci f.g este functie para.

c''') daca f,g au paritati diferite, atunci f.g este impara.

Fie functia f: A R A . Functia f se numeste periodica, daca T>0, astfel încât, A, au loc: x+TA si f(x+T) = f(x). Numarul T se numeste perioada a functiei f. Daca exista o cea mai mica perioada T>0, atunci aceasta se numeste perioada principala a functiei f. Daca f: A R A , este periodica, de perioada T, atunci si , astfel încât x+kT, avem f(x+kT) = f(x). Graficul unei functii periodice este suficient sa fie trasat pe un interval de lungime egal cu perioada T, iar generarea lui pe tot domeniul de definitie, se face, translându-l la stânga si la dreapta, de-a lungul axei Ox, pe intervale de lungime egale cu T.

Monotonia unei functii. Intevale de monotonie.

Fie f:AB, A,B R si IA.

Functia f se numeste strict monotona pe I, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe I.

Functia f se numeste strict crescatoare/descrescatoare pe I I, x₁<x₂f(x₁)<f(x₂) respectiv f(x₁)>f(x₂)

Functia f se numeste monotona pe I, daca este cresatoare sau descrescatoare.

Functia f se numeste crescatoare/descrescatoare pe I I, x₁<x₂f(x₁) f(x₂)

respectiv f(x₁) f(x₂).

Comentarii: a) A preciza intervalele de monotonie pentru o functie f:AB, A,B R, revine la a

Indica submultimea lui, pe care f este crescatoare si submultimea lui A pe care f

este descrescatoare.

b) A arata ca f nu este monotona pe o multime A, revine la a gasi x₁, x₂, x₃ A, cu

x₁<x₂<x₃, pentru care f(x₁)f(x₂) f(x₃).

d) Pentru a studia monotonia functiei numerice f:AR, AR si IA,se pot aplica doua procedee

Procedeul diferentei valorilor: se considera doua elemente arbitrare x₁, x₂I, x₁< x₂ si se calculeaza diferenta f(x₂) - f(x₁), care se compara cu zero:

Daca f(x₂) - f(x₁)>0 f(x₁)< f(x₂), atunci f este strict crescatoare pe I.

( Geometric , graficul lui f "urca", privit de la stânga la dreapta).

Daca f(x₂) - f(x₁)<0, f(x₁)> f(x₂), atunci f este strict descrescatoare pe I.

( Geometric, graficul lui f "coboara", privit de la stânga la dreapta)

Procedeul raportului de variatie: R(x₁,x₂) = , x₁,x₂I, x₁x₂, se numeste raportul de variatie asociat functiei f si numerelor x₁,x₂, sau rata cresterii, daca R>0, respectiv rata descresterii, daca R<0. Diferenta x₂-x₁ se numeste variatia argumentului, iar diferenta f(x₂) - f(x₁) se numeste cresterea functiei.

Teorema

Puncte de extrem ale unei functii.

Fie f: I R, IR, interval.

Definitii a) Un punct aI, se numeste punct de maxim local al lui f, daca exista intervalul (a-, a+

>0, astfel încât f(x)f(a) si x I(a-, a+). Numarul f(a) se numeste valoarea

maxima locala a lui f. Punctul ( a,f(a)) se numeste punct de maxim local al graficului

functiei.

b) Un punct aI, se numeste punct de minim local al lui f, daca exista intervalul (b-, b+

>0, astfel încât f(x) f(b) si x I(b-, b+). Numarul f(b) se numeste valoarea

minima locala a lui f. Punctul ( b,f(b)) se numeste punct de minim local al graficului functiei.

c) Valorile functiei în punctele sale de extrem: maximele sau minimele functiei se numesc

extremele locale ale functiei.

d) Un punct x₀ I se numeste punct de maxim absolut al functiei f, daca:   f(x)f(x₀),

e) Un punct x₀ I se numeste punct de minim absolut al functiei f, daca: f(x) f(x₀),

Comentarii: Toate aceste, aspecte teoretice referitoare la functii, vor fi repetate concomitent cu rezolvarea problemelor propuse în Fisele de lucru.

IV Evaluarea rezultatelor si stabilirea concluziilor.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a defini o functie: sintetic/analitic.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a defini graficul unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a determina multimea de valori a unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a manevra calculul algebric, în determinarea unor valori.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a recunoaste egalitatea a doua functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a reprezenta grafic functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a stabili semnul unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a determina o axa/centru de simetrie, la graficul unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a stabili paritatea unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a stabili/studia monotonia unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a exprima o functie, în diferite moduri.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a rezolva grafic inecuatii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a determina imaginea unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a determina valorile extreme ale unei functii.

Se evalueaza capacitatile elevilor de a stabili continuitatea unei functii, utilizând graficul.

Momentele de evaluare faciliteaza munca profesorului, în realizarea unui feed - back continuu, permanent, corectiv.

La sfârsitul orei elevii vor fi capabili

OP1 Sa recunoasca o functie dintr-o serie de corespondente date.

OP2 Sa determine valori ale unei functii, imaginea unei functii.

OP3 Sa recunoasca functii egale.

OP4 Sa reprezinte grafic functii.

OP5 Sa stabileasca paritatea unei functii.

OP6 Sa stabileasca domeniul de definitie al unei functii.

OP7 Sa determine multimea de valori pentru diferite functii.

OP8 Sa studieze monotonia unei functii.

OP9 Sa rezolve grafic inecuatii.

Se vor face aprecieri individuale si colective, asupra activitatii elevilor.

Tema pentru acasa.

Fisa de lucru 1 - clasa a X-a (3h/sapt)

Functii - recapitulare

Fie A = , B = . Determinati toate functiile f:AB, descriindu-le efectiv.

Fie A = ; B = . Care din diagramele urmatoare reprezinta o functie definita pe A cu valori în B ? De ce ?

A B A B A B

f g h

3) Stabiliti care din urmatoarele enunturi f: A B este o functie: a) f: RR, f(x) = ;

b) G_f = , A = B = ;c) G_f = , A = B = ;

4) Determinati multimea de valori pentru fiecare din functiile masina: a)

5) Se considera functia f:RR, f(x) =; sa se calculeze: f(-2),f(-1),f(o),f(),f(1),f(2).

6) Stabiliti care din urmatoarele functii (f,g) sunt egale: a) f,g:RR, f(x) = 3x+1, g(x) = 3(x+1).

b) f,g:,f(x) =x², g(x)=.

7) Sa se reprezinte grafic functiile: a) f: , f(-1 )= 0, f(1) = 5, f(0 )= -2;

b) f:R, f(x) = -2;c) f:[-3,5] , f(x) = -2; d) f:[-5,-1][2,6] , f(x) = -2.

8) Determinati punctele de intersectie ale graficului functiei:

f:R, f(x) = x(x+1)(x-2) cu axele de coordonate.

) Stabiliti semnul functiei f:R, f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) utilizând metoda intervalelor.

) Aratati ca graficul functiei: a) f:R, f(x)=are ca axa de simetrie dreapta x = 2;

b) g:R, g(x) = x³+2 are drept centru de simetrie punctul S(0,2).

11) Stabiliti paritatea functiei f:R, în cazurile:

a) f(x) = -3x², b) f(x) = 2x+1, c) f(x) = -x.

12) Stabiliti domeniul de definitie al functiei f: A, în cazurile: a) f(x) = x²-3, b) f(x) = ,

c) f(x) = , d) f(x) = , f(x) = .

13) Stabiliti monotonia functiei f în cazurile

1)

2)

prof. Matrescu Maria.

Fisa de lucru 2- clasa a X a (3h/sapt.)

(Functii- aplicatii)

Fie functia definita prin diagrama alaturata:  f

a) Scrieti functia sub forma de tabel.

b) Determinati G_f.

c) Trasati graficul lui f.

d) Exprimati corespondenta printr - o formula.

Se considera functiile f,g: RR, f(x) = x²- 9, g(x) = -x² + 9. Trasati graficele acestor functii în acelasi reper cartezian si rezolvati grafic inecuatiile: a) f(x) > g(x); b) f(x) < g(x).

Sa se calculeze f(A') în cazurile:

a)

A₁^' =

A^'₂ = .

b) f: R, f(x) = 2x+5, A^'₁ = ; A^'₂ = .

c) f: R, f(x) = x², A^'₁ = , A^'₂ = .

4) Sa se determine imaginile urmatoarelor functii, definite astfel:

a) b) f: [ -2,3] R, f(x) = 2x

c) f:[-2,3] R, f(x) =

5) Determinati f ^-1(B') în cazurile:

a) B^'₁ = ; B^'₂ = .

b)

B^'₁ = ; B^'₂ = .

c) f: RR, f(x) = x² - 4x, B^'₁ = ; B^'₂ =

Sa se determine valorile extreme ale lui f, în cazurile:

a)

b) f: R, f(x) = -3x+1.

c) f: [- 5,3] R, f(x) = 2x+1.

d) f: [- 3,2] R, f(x) = x².

Studiati monotonia functiilor f: RR, în cazurile: a) f(x) = 6x+5;

b) f(x) = .

8) Utilizând graficul functiei, stabiliti care din functiile, urmatoare, f: RR sunt continue:

a)       f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = .

Prof. Matrescu Maria