PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR DERIVABILE

CONŢINUTURI

COMPETENŢE

SPECIFICE

ACTIVITĂŢI  DE ÎNVĂŢARE

RESURSE

EVALUARE

Puncte

de

extrem.

Teorema

lui

Fermat

Identificarea punctelor de extrem local/relativ, ale unei functii f: DR (DR).

Comentarii : 1) O functie poate avea mai multe puncte de extrem local/relativ, iar un minim relativ, poate fi mai mare dacât un maxim relativ, ceea ce justifica adjectivul ; "relativ"/ "local'.

2) Exemple grafice.

Teorema( lui Fermat)

Fie f: I R( IR, interval deschis), functie derivabila pe I si x₀ I,

punct de extrem . Atunci f'(x₀) = 0.

Interpretarea geometrica, a teoremei lui Fermat.

În conditiile teoremei lui Fermat, tangenta la grafic, într-un punct x₀ de extrem, este paralela cu axa Ox.. Exemplificare grafica.

Comentarii

       Toate conditiile din teorema sunt necesare, în sensul ca daca se renunta la una din ele, teorema nu mai are loc. Exemplu: daca I nu este interval deschis, teorema nu mai are loc : fie f : [ - 2, 3 ] R, f(x) = x + 1; x = - 2 este punct de minim, x = 3 este punct de maxim si totusi f'( - 2) = f'( 3 ) = 1 0.

       Reciproca teoremei lui Fermat este, în general, o propozitie falsa. Exemplu : f: ( - 1, 1) R, f(x) = x³; f'(x) = 3x² f'(0) = 0, dar x₀ = 0 nu este punct de extrem local.

       Din teorema lui Fermat punctele de extrem local ale lui f, se afla printre punctele critice.

Definitie : Fie f: I R, (IR, interval deschis), o functie derivabila pe I; solutiile ecuatiei f'(x) = 0, se numesc puncte critice ale lui f (pe I).

Observatii

• Teorema lui Fermat, se poate extinde pe reuniuni de intervale deschise.
• Nu orice punct critic al lui f este punct de extrem local.

Aplicatii

1) Determinati punctele critice ale functiei f :RR:

a) f(x) = x² - 2x + 1; b) f(x) = e^x (x² - x);

Determinati punctele critice ale functiei f : DR, f(x) = ln( x² + x).

3) Determinati a > 0, stiind ca : 2^x + a^x 2, xR.

4) Fie a, b, c > 0, astfel încât a^x + b^x + c^x 3, xR. Demonstrati ca : abc=1.

5) Determinati a > 0, astfel încât 3^x + a^x 2^x + 9^x , xR.

6) Demonstrati ca exista a > 0, astfel încât a^x 2x + 1, xR.

Manual.

Metode:

explicatia,

conversatia

euristica,

demonstratia,

exercitiul,

activitati

frontale

si

individuale.

Tema

pentru

acasa

pag.

143, ex.

1, 2, 3, 6(a, b), 7

Observarea

sistematica a elevilor, aprecierea verbala,

chestionarea

orala,

aprecierea

raspunsurilor

primate

evaluare în

ora

urmatoare

prin tema

pentru

acasa.

Teorema

lui

Rolle

Rezolvarea la tabla, a exercitiilor din tema, mai dificile, pe care elevii nu le-au putut rezolva/finaliza( daca exista).

Definitie : O functie f : [ a, b ] R, cu proprietatile :

f este continua, pe intervalul închis [ a, b ];

f este derivabila, pe intervalul deschis ( a, b).

se numeste functie Rolle.

Teorema lui Rolle : Fie f : [ a, b ]R, o functie Rolle, cu : f(a) = f(b) ; atunci

exista cel putin un punct c ( a, b), astfel încât: f'(c) = 0.

Interpretarea geometrica, a teoremei lui Rolle.

Fie A( a, f(a)), B(b, f(b)) si AB // Ox. Atunci exista c(a, b), astfel încât tangenta la graficul lui f, în x = c, este // Ox .

Comentarii :

       Teorema lui Rolle, este o teorema de existenta. Toate conditiile din teorema sunt necesare.

       Exemple, în sprijinul afirmatiei, de mai sus.

       Conditiile, din teorema lui Rolle sunt suficiente si nu neaparat necesare, pentru ca derivata sa se anuleze, într-un punct. Exemple.

Consecinte

Între doua zerouri ale unei functii derivabile, pe un interval, se afla cel putin un zerou al derivatei. Reciproca consecintei este falsa.

Fie f :RR, o functie polinomiala de grad n 2.

a)       Daca f are toate zerourile reale si distincte, atunci toate zerourile lui f', sunt reale si distincte.

b)       Între doua zerouri reale consecutive, ale lui f', exista cel putin un zerou al lui f.

Aplicatii.

Fie f : [ 0 , 2 ] R, f(x) = x² - 2x. Aratati ca f verifica teorema lui Rolle si determinati c.

Cercetati daca sunt satisfacute conditiile teoremei lui Rolle, si-n caz afirmativ, aplicati teorema pentru functia: .

Fie . Determinati a, b, c, astfel încât functiei f sa i se poata aplica teorema lui Rolle, pe [ -1, 1 ]. Pentru  valorile determinate, sa se aplice teorema lui Rolle.

Manual.

Metode:

explicatia,

conversatia

euristica,

demonstratia,

exercitiul,

problematizarea,

descoperirea,

activitati

frontale

si

individuale .

Tema :

Pag. 148, ex.

1(a,..,g);3.

Verificarea

temei, prin

sondaj,

aprecierea raspunsurilor

primite,

observarea sistematica

a elevilor,

chestionarea

orala;

evaluare în

ora

urmatoare

prin

tema

pentru

acasa.

sirul

lui

Rolle

Teorema : Daca Fie f: I R( IR, interval deschis), este functie derivabila

pe I, atunci f' are proprietatea lui Darboux, pe acel interval.

Consecinta : Fie f: I R, derivabila pe I. Daca derivata f' nu se anuleaza pe I,

atunci f' are semn constant pe I.

Consecinta a teoremei lui Rolle Fie f: I R, derivabila pe I. Între doua zerouri consecutive ale derivatei, exista cel mult un zerou al functiei.

Comentarii : Cu ajutorul sirului lui Rolle, determinam numarul radacinilor reale ale ale ecuatiei f(x) = 0, indicând si intervalele în care se afla aceste radacini.

Pentru aceasta, se stabileste un interval, sau o reuniune de intervale, pe care f este derivabila.

Etapele formarii sirului lui Rolle.

       Se stabileste intervalul I de studiu, al ecuatiei f(x) = 0, functia f:I R, fiind presupusa derivabila pe I.

       Se rezolva ecuatia : f'(x) = 0 si se ordoneaza(crscator), radacinile reale, din I, ale ecuatiei: x_m<..<x₁<x₂<.....x_M .

       Se calculeaza, valorile functiei în aceste puncte, la care se adauga limitelel functiei, notate l₁ , l₂ la capetele intrvalului I; obtinem sirul de valori : l₁, f(x_m),...,f(x₁), f(x₂),.., f(x_M), l₂ .

       Datele obtinute se trec într-un tabel/tablou, pentru x, f(x); sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori( poate aparea si zero) :

       Comentarii:

Daca f(x₁)f(x₂) < 0ecuatia : f(x) = 0, are în intervalul (x₁,x₂), o singura radacina reala.

Daca f(x₁)f(x₂) > 0ecuatia : f(x) = 0, nu are în intervalul (x₁,x₂), nici o solutie reala.

Daca f(x_i) = 0, atunci x_i este radacina multipla, a ecuatiei f(x) = 0, si în intervalul (x_i-1,x_i), (x_i, x_i+1), ecuatia f(x) = 0, nu mai are solutii reale.

Observatie : Metoda sirului lui Rolle, este eficienta în cazul în care, exista posibilitatea, rezolvarii efective a ecuatiei f(x) = 0.

Concluzii ; Numarând schimbarile de semn si zerourile, se determina, numarul de solutii reale ale ecuatiei date, si intervalele în care se afla acestea.

Aplicatii

Determinati numarul radacinilor reale, ale ecuatiei :

a)       x³ - 3 x² - 9x + 8 = 0; b) x⁴ - 2 x² - 4 = 0.

2) Sa se discute, în raport cu parametrul real m, numarul solutiilor reale ale ecuatiei : a) x³ + 2x + m = 0; b) x³ + 3x² + m = 0; c) x⁴ - 4x³ + m = 0;

d) x² - 4x +2 ln x = m, mR.

Manual.

Metode:

explicatia,

conversatia

euristica,

exercitiul,

problematizarea,

descoperirea,

activitati

frontale

si

individuale .

Tema :

Pag. 150, ex.

1(a,.,f),

4(d,e,f),

5(a,b).

Verificarea

temei, prin

sondaj,

aprecierea raspunsurilor

primite,

observarea sistematica

a elevilor,

chestionarea

orala;

evaluare în

ora

urmatoare

prin

tema

pentru

acasa.

Teorema

lui

Lagrange

Rezolvarea la tabla, a exercitiilor din tema, mai dificile, pe care elevii nu le-au putut rezolva/finaliza( daca exista).

Teorema lui Lagrange

Fie f : [ a, b ] R, a functie Rolle. Atunci exista, cel putin un punct c(a,b)

Astfel încât : f(b) - f(a) = ( b - a ) f'(c)

Interpretarea geometrica a teoremei lui Lagrange.

În conditiile teoremei, exista cel putin un punct c(a,b), pentru care tangenta la graficul lui f, în punctul C( c, f(c)), este paralela cu coarda AB, unde

A( a, f(a)), B( b, f(b)).

Observatii : 1) Teorema lui Lagrange se mai numeste prima teorema de medie, sau prima teorema a cresterilor finite.

2) Teorema lui Lagrange este o teorema de existenta, iar punctul c nu este unic. Putem aplica teorema lui Lagrange, la orice subinterval [ a, x ]

[ a , b ], unde a <x b. Avem : f (x) - f(a) = (x -a ) f'(c), unde c(a, x), nu neaparat unic. De aceea, se noteaza c = c_x ; se observa ca daca xa, atunci

c_x a.

Consecinta 1 Fie f : [ a, b ] R, continua pe [ a, b ] si derivabila pe ( a, b).

Pentru orice submultime [ x₁, x₂ ] [ a , b ], exista c( x₁, x₂ ),

cu f(x₂) - f(x₁) = (x₂ - x₁) f'(c).

Consecinta 2 Fie f o functie definita pe o vecinatate V a lui x₀, cu proprietatile:

a)       f este derivabila pe V -

b)       f este continua în x₀, ( deci pe V );

c)       exista limita = f'(x).

Atunci exista f'(x₀) si f'(x₀) = . Daca R, atunci f este derivabila în x₀.

(Aceasta consecinta, o numim Corolarul Teoremei lui Lagrange )

Consecinta 3. Daca o functie derivabila, are derivata nula pe un interval, atunci

ea este constanta pe acel interval.

Consecinta 4. Daca doua functii f,g : I R, sunt derivabile pe intervalul I si

Daca f' = g', atunci diferenta lor f - g este o constanta pe I.

Comentarii: 1) Conscinta 2 se poate aplica si-n cazurile separate

a)       f este continua la stânga în x₀ si exista = f'(x), rezulta ca exista f'_s(x₀) = .

b)       F este continua la dreapta în x₀ si exista = f' (x₀ + 0), rezulta ca

exista f'_d(x₀) = .

Corolarul impune o conditie suficienta ca f sa fie derivabila în x₀.

Aplicatii : I  Sa se aplice teorema lui Lagrange, urmatoarelor functii :

f: [ 0, 2 ]R, f(x) = ;

f ; [ 1, 3 ] R, f(x) = ;

f : [ 0 ,2 ] R, f(x) = ;

f ; [ - 4, 3 ] R, f(x) = ;

II Sa se rezolve ecuatia : 2^x + 8^x = 4^x + 6^x .

Manual.

Metode:

explicatia,

conversatia

euristica,

demonstratia,

exercitiul,

problematizarea,

descoperirea,

activitati

frontale

si

individuale .

Tema

Pag : 154,

ex. 1, 2, 3 .

Verificarea

temei, prin

sondaj,

aprecierea raspunsurilor

primite,

observarea sistematica

a elevilor,

chestionarea

orala;

evaluare în

ora

urmatoare

prin

tema

pentru

acasa.

Teorema

lui

Cauchy

Rezolvarea la tabla, a exercitiilor din tema, mai dificile, pe care elevii nu le-au putut rezolva/finaliza( daca exista).

Teorema lui Cauchy(sau a doua teorema de medie ) :

Fie f , g : [ a, b ]R, doua functii Rolle si g'(x)0, x(a,b).

Atunci : g(a) g(b) si exista cel putin un punct c(a,b), astfel încât

= .

Observatii : 1) Teorema lui Cauchy este tot o teorema de existenta.

2 Teorema lui Lagrange, se obtine din teorema lui Cauchy, luând

cazul particular : g(x) = x , x [a , b ] .

Aplicatii : Sa se aplice teorema lui Cauchy, pentru functiile :

f, g : [ 1,e ] R, f(x) = ln x , g(x) = 2x - 1 .

f, g : [, ]R, f(x) = sin x , g(x) = cos x .

f, g : [ - 1,1 ] R, f(x) = , g(x) = x³

Manual.

Metode:

explicatia,

conversatia

euristica,

demonstratia,

exercitiul,

problematizarea,

descoperirea,

activitati

frontale

si

individuale .

Tema

din

Culegeri.

Verificarea

temei, prin

sondaj,

aprecierea raspunsurilor

primite,

observarea sistematica

a elevilor,

chestionarea

orala;

evaluare în

ora

urmatoare

prin

tema

pentru

acasa.

Functii

derivabile

Aplicatii

Teorema lui Fermat , Rolle , Lagrange , Cauchy .

A . E . L .

Teorema lui Fermat................ . .15 min.

Observatii la teorema lui Fermat........... . 20 min.

Teorema lui Rolle ................. .10 min.

Consecintele teoremei lui Rolle ...........15 min.

Teorema lui Lagrange ............... 15 min.

sirul lui Rolle ................... 15 min.

Test grila, pentru evaluarea cunostintelor...... 15 min.

Calculatorul

si

softul

educational, cu

continutul stiintific

temei

abordate,

testul grila.

Resurse

procedurale :

investigatia

stiintifica, problematizarea,

descoperirea,

studiu de caz,

conversatia,

conversatia

euristica,

explicatia,

exercitiul.

Tema din

culegeri.

Observarea

sistematica

a elevilor,

aprecierea

capacitatilor

elevilor, de a aplica/parcurge

pasii lectiei, ce au

facut obiectivul

altor lectii, se vor

aprecia abilitatile

elevilor, de a

dirija/mânui/

conduce

calculatorul,prin

implicarea afectiva

a elevilor, în

procesul de învatare, referitoare la teoremele lui

Fermat, Rolle,

Lagrange

interpretare

geometrica,

consecinte.