Puncte laticiale

PUNCTE LATICIALE

Sa consideram planul raportat la un sistem de axe ortogonale de coordonate.

Definitie : Numim punct laticial in plan , orice punct care are ambele coordonate exprimate prin numere intregi.

De exemplu ,unde a,b.

Analog se definesc punctele laticiale din spatiul 3-dimensional, ,unde a,b,c .

Sa rezolvam in continuare,cateva probleme legate de puncte laticiale.

1. Sa se demonstreze ca oricare ar fi numarul natural n exista in plan un cerc care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale.

Solutie :

Sa demonstram la inceput ca nu exista doua puncte laticiale M(a,b) si N(c,d) (MN) care sa aiba aceeasi distanta la punctul de coordonate , (a,b,c,dZ).

Presupunem prin absurd ca exista astfel de puncte ; asta inseamna ca :

sau

(1) 

Cum membrul stang al egalitatii (1) este un numar irational pentru ca , iar membrul drept este un numar rational deducem ca

c=a si (2) .

Cum c=a , (2) este echivalenta cu

Cum , cu necesitate b=d.

Prin urmare ,trebuie neaparat ca MN.  

Trecem acum la rezolvarea problemei.

Fie punctul laticial cel mai apropiat de punctul de coordonate urmatorul s.a.m.d. (din cele aratate la inceput, )

Cercul cu centrul in punctele de coordonate si de raza cuprinsa strict intre distantele de la punctul de coordonate la si contine in interiorul sau punctele laticiale si numai pe acestea ,care sunt in numar de n.

2. Sa se demontreze ca daca un cerc, avand raza de lungime un numar natural ,trece prin doua puncte laticiale situate la distanta 1 unul de celalalt,atunci pe circumferinta cercului nu se mai afla niciun alt punct laticial. (OM-1997,M. Cavachi)

Solutie:Fie A si B puncte laticiale situate la distanta 1 intre ele (vezi fig 1.).Vom considera un sistem de axe de coordonate cu originea in A avand pe AB drept axa iar perpendiculara in A pe AB drept axa .

Fie C centrul unui cerc de raza rN ce trece prin A si B;coordonatele lui C sunt

Daca M(x,y) este un punct laticial prin care mai trece cercul cu centru in C si de raza r,atunci

(1)  .

Cum x,y egalitatea (1) e posibila numai daca e patrat perfect.Deci (cu k) (2r+k)(2rk)=1 o ecuatie ce nu are solutii intregi.Deci cercul numai poate trece prin alt punct laticial diferit de A si B.

3. Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n exista in spatiul 3-dimensional o sfera care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale din spatiu.

Solutie:

Fie (x),i=1,2,coordonatele a doua puncte laticiale diferite.

Vom demonstra ca distantele de la aceste doua puncte la punctul de coordonate sunt diferite.

Presupunem prin absurd ca ele sunt egale.Atunci:

Deducem: adica    - absurd,deoarece am presupus ca punctele de coordonate (x),i=1,2,sunt diferite.

De aici rationamentul este identic cu cel de la problema 1.  

4. Sa se demontreze ca oricare ar fi numarul natural n exista in plan un cerc ce contine pe circumferinta sa exact n punte laticiale.(Schinzel).

Solutie:

Vom folosi urmatorul rezultat cunoscut din teoria numerelor:numarul perechilor ordonate de numere intregi (x,y) care sunt solutii ale ecuatiei (n_{N) este egal cu}

_{r(n)=4(),unde si reprezinta numarul divizorilor de forma 4k+1 si respectiv 4k+3 ai lui n.}

_{Vom demonstra ca:}    

_{i)daca n este par,adica n=2k ,kN atunci cercul cu centrul in punctul de coordonate si de raza contine pe circumferinta sa exact n puncte laticiale.}

_{ii)daca n este impar,adica de forma n=2k+1,atunci cercul cu centrul in punctul de coordonate si de raza contine pe circumferinta sa exact n puncte laticiale.}

_{Daca n este de forma 2k cu kN,sa gasim numarul solutiilor intregi (ordonate!) ale ecuatiei:}

(1)  .

Cum numarul divizorilor de forma 4k+1 ai lui este k (deoarece orice numar de forma cu l=0,1,,k-1 este de forma 4k+1) iar al celor de forma 4k+3 este 0,atunci conform celor amintite mai sus,numarul solutiilor intregi (ordonate!) al ecuatiei (1) este egal cu 4(k-0)=4k.

Cum este impar rezulta cu necesitate ca daca (x,y) este o solutie intreaga a ecuatiei (1) atunci,sau x este impar si y par,sau y este impar si x par.

Deoarece ,daca perechea intreaga (x,y) este solutie a ecuatiei (1) atunci si (y,x) este solutie a aceleiasi ecuatii,ajungem la concluzia ca numarul de solutii intregi de forma (x,y) cu x impar si y par este egal cu .

Fie acum (p,q) coordonatele unui punct laticial care se afla pe circumferinta cercului cu centrul in si de raza , atunci cu necesitate:

(2) sau

(3) .

Se observa ca ecuatia (3) este o ecuatie de tipul (1) cu x impar si y par.

Conform celor stabilite mai sus ,ecuatia 3 are exact 2k=n solutii numere intregi;acestea sunt de fapt coordonatele a exact n puncte laticiale ce se afla pe circumferinta cercului cu centrul in punctul de coordonate si de raza .

iii)In cazul in care n este impar,adica de forma n=2k+1,cu _{kN,vom considera la inceput ecuatia : (4) .}

_{Numarul solutiilor intregi ordonate ale ecuatiei (4) este egal cu}

_{Fie acum (p,q) coordonatele unui punct laticial in care se afla pe circumferinta cercului cu centrul in punctul de coordonate () si de raza .}

_Avem:

_{(5) .}

_{Ecuatia (5) este de tipul (4).}

_{Observam ca daca (x,y) este o solutie intreaga a ecuatiei (4),atunci si (x,-y),(-x,y),(y,x),}

_{(y,-x),(-y,x),(-y,-x) sunt de asemenea solutii.}

_{Cum este impar atunci x si y sunt de paritatii diferite , deci .}

_{Solutiile ecuatiei (4) cand o componenta este 0 sunt .}

_{Prin urmare cele 8k + 4 solutii intregi ale ecuatiei (4) le putem imparti in k familii de 8 solutii si una singura de 4 solutii.}

_{Pentru a arata ca ecuatia (5) este exact n = 2k + 1 solutii intregi sa observam ca trebuie gasit numarul de solutii intregi ale ecuatiei (4) de forma x = 3p – 1,y = 3q ,unde p,q.}

_{Fiecare familie din cele k contine numai doua solutii de aceasta forma iar familia de 4 solutii contine numai una , deci in total 2k + 1 = n.}

_{5. Sa se demontreze ca daca pentru orice numar natural n,exista in plan un cerc de centru avand coordonatele (a,b),care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale ,atunci a si b nu pot fi simultan numere rationale.}

_{Solutie : Fie si cu p,q,rZ , q0.}

_{Atunci punctele laticiale (r,-p),(-r,p) au aceeasi distanta pana la punctul de coordonate (x,y) deoarece:}

_.

Prin urmare ,pentru orice punct de coordonate rationale exista doua puncte laticiale distincte egal departate de acel punct.

Daca a_{Q si bQ atunci exista doua puncte laticiale distincte care sunt egal departate de punctul de coordonate (a,b) ; daca cercul cu centru (a,b) care trece prin aceste doua puncte contine in interiorul sau n puncte laticiale,atunci orice cerc concentric cu el si de raza mai mare va contine in interiorul sau cel putin n + 2 puncte laticiale.}

_{In nici un caz nu exista un cerc cu centru in (a,b) care sa contina exact n + 1 puncte.}

_{Deci sau Q sau Q.}

_{6. Fie C cercul circumscris patratului determinat de punctele laticiale de coordonate (0,0),(1978,0),(1978,1978),(0,1978).}

_{Sa se demonstreze ca nu mai contine nici un alt punct laticial diferit de cele 4 varfuri ale patratului. (Propusa pentru O.I.M 1978)}

_{Solutie : Coordonatele x si y ale unui punct M de pe   C satisfac egalitatea}

_{(1) .}

_{Observam ca membrul drept al egalitatii (1) este par:deci,daca x,y,atunci x – 989 si}

_{y – 989 au aceeasi paritate.}

_{Prin urmare si sunt numere intregi.}

_{Atunci x – 989 = A + B , y – 989 = A – B , iar cum , (1) devine : .}

_{Vom arata ca singurele solutii intregi ale lui (2) sunt A = 0 ; B = si A = , B = 0.}

_{Daca (2) mai are alta solutie ,atunci exista de asemenea o solutie cu > 0 , > 0.}

_{Fie d cel mai mare divizor comun al lui si ; atunci d este divizor si pentru 989.}

_{Punand = ad , = bd , 989 = cd ,atunci din (2) obtinem:}

_{(3) >0}

_{Cum c este impar,putem presupune ca a este par si b este impar .}

_{Atunci si sunt intregi satisfacand}

_{Cum b si c nu au nici un divizor comun,nu vor avea nici un divizor comun nici numerele si ; prin urmare si trebuie sa fie simultan patrate perfecte.}

_{Punand si (u,v >0) , atunci c = .}

_{Cum 989 = , c = 1,23,43 sau 989.}

_{Deducem imediat ca c23,43 deoarece orice patrat se termina cu una din cifrele 0,1,4,5,6 sau 9.}

_{Prin urmare,c poate fi 989 numai daca u sau v se termina cu 0 sau 5.}

_{Ori in acest caz se observa usor ca ecuatia = 989 nu are solutii intregi.Cu aceasta demonstratia este completa.}

_Bibliografie

_{1. Dumitru Busneag,Ioan Maftei:Teme pentru cercurile si concursurile de matematica ale elevilor,Scrisul Romanesc,Craiova,1983.}

_{2. Seria Gazeta Matematica.}

_{3. A.E. Morozova;I.S. Pefakov;V.A Skortov}

_{Olimpiadele internationale de matematica,Ed. Tehnica,Bucuresti,1978.}

Rezumat

Un interes deosebit il reprezinta punctele laticiale in plan sau spatiu ,in lucrarea de fata referindu-ne la punctele laticiale in plan,puncte de forma A(a,b),unde a,bZ,sau in spatiu,M(a,b,c), a,b,cZ.

Problemele prezentate in acest material sunt probleme culese din seria Gazeta Matematica sau propuse pentru Olimpiada Internationala de Matematica.

S-a demonstrat ca pentru orice numar natural,exista in plan un cerc care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale.De asemenea,daca un cerc care are raza un numar natural,trece prin doua puncte laticiale situate la distanta n unul de celalalt,atunci pe circumferinta sa nu se mai afla niciun alt punct laticial.

Pentru orice numar natural n exista o sfera care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale din spatiu.

O problema deosebita este cea in care am demonstrat ca oricare ar fi numarul natural n,exista in plan un cerc ce contine pe circumferinta sa exact n puncte laticiale.

Tot pentru orice numar natural n,exista in plan un cerc de centru O(a,b),care contine in interiorul sau exact n puncte laticiale,unde a si b sunt numere rationale.

Ultima problema a fost propusa pentru O.I.M. 1978,in care s-a demonstrat ca cercul circumscris unui patrat determinat de patru puncte laticiale date,nu mai contine alt punct laticial diferit de cele patru varfuri ale patratului.