Parte intreaga si parte fractionara

Parte intreaga si parte fractionara

Definitie. Fie . Atunci partea intreaga a numarului , notata cu , este cel mai mare numar intreg mai mic sau egal cu .

Observatie. Deci pentru , si .

Exemple

Proprietati

• Daca , atunci (partea intreaga a unui numar intreg este chiar acel numar)
• Pentru , (toate numerele reale cuprinse intre doua numere intregi consecutive au aceeasi parte intreaga)
• (doua numere reale cuprinse intre doi intregi consecutivi au aceeasi parte intreaga)
• Daca si atunci .

In continuare vom aplica proprietatile enuntate mai sus in rezolvarea unor probleme ce contin partea intreaga .

1. De terminati pentru care .

Rezolvare : Din observatie, avem , iar de aici, daca impartim relatia prin 2, avem . Deci .

2. Sa se rezolve ecuatia : .

Rezolvare : Conform definitiei, partea intraga a unui numar real este un numar intreg. Vom nota . Inlocuim astfel determinat in ecuatie si obtinem : . Vom folosi in continuare

observatia : , de unde inlocuind cu , obtinem : . Pentru a scapa de numitor, vom inmulti ultima relatie cu 3 si obtinem : . Ultima relatie este echivalenta cu sistemul :

. In continuare tinem cont de faptul ca este numar intreg .

Valorile obtinute pentru le inlocuim in relatia , pentru a obtine valorile lui , de unde .

3. Rezolvati ecuatia : .

Rezolvare : Folosind ultima proprietate, obtinem :

, , , , , de unde :

. Folosind observatia, avem : .

4. Sa se rezolve ecuatia : .

Rezolvare : Folosind ultima proprietate, obtinem : si inlocuind in ecuatie obtinem : . Deoarece membrul stang al ecuatiei este un numar intreg, avem ca si este un numar intreg, deci . Inlocuind in ecuatie, obtinem :

. Dar , deoarece este un numar intreg. . Dar , deoarece este numar intreg si deci .

Definitie. Fie . Atunci partea fractionara a numarului este numarul notat cu si egal cu .

Observatie. Din definitiile pentru partea intreaga si partea fractionara a numarului deducem .

Observatie. Orice numar real se poate scrie sub forma .

Exemple

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Proprietati

• Daca , atunci (partea fractionara a unui numar intreg este 0).
• ,.

Vom incheia prin demonstrarea unor proprietati mai putin evidente ale partii intregi :

1. , .
2. , .
3. , , .
4. , , .
5. , , .

Demonstratie :

1. Scriem sub forma . Distingem doua cazuri :

a) . In acest caz (si evident ). De asemenea si . Membrul drept este egal cu si deci cei doi membrii sunt egali .

b) , atunci si . Prin urmare . Membrul stang devine egal cu . Pentru membrul drept cand avem . De aici si din nou cei doi membrii sunt egali.

2. Avem , si deci

. Dar si deci . Prin urmare si .

3. Din inegalitatea , , , conform definitiei partii intregi, deducem : .

4. Scriem sub forma , unde . Fie , unde (din Teorema impartirii cu rest a numerelor intregi). Atunci , si , unde . Deci , unde si .

5. Fie si presupunem ca , unde , .

Deducem ca

Pe de alta parte, din relatia , daca o inmultim cu , obtinem si conform definitiei partii intregi obtinem . Si, deci, cei doi membrii sunt egali.

Exercitii propuse

. Sa se arate ca , unde , iar reprezinta partea intreaga a numarului .

. Rezolvati ecuatiile

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     .

. Sa se arate ca daca si, atunci . Reciproca este adevarata ?

. Sa se arate ca .

. Sa se arate ca daca :

a)     , atunci ;

b)     , atunci .

. Sa se arate ca

a)     , .

b)     .

. Sa se arate ca

a)     , , ;

b)     , , ;

c)     , .

. Rezolvati ecuatiile

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     ;

f)      ;

g)     ;

h)     ;

i)      ;

j)      ;

k)     ;

l)      ;

m)   ;

n)     ;

o)     ;

p)     ;

q)     ;

r)      ;

s)     , .

. Sa se rezolve sistemele

a)     ;

b)     .